Lembar kerja ini mencakup Topik 2: Matematika Murni Lanjutan 2. Ini menambahkan fungsi hiperbolik, nilai eigen, diferensiasi dan integrasi baru, teorema de Moivre, dan metode untuk persamaan diferensial.
Matematika Murni Lanjutan 2
Matematika Lanjutan A-Level · Topik 2
11:29
Matematika Murni Lanjutan 2
Perhatikan rantai gantung apa pun, jalur listrik apa pun, kabel penyangga apa pun. Selalu settling ke satu kurva khusus. Anda mungkin menduga parabola — tetapi bukan. Itu adalah…
Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
2.1
Fungsi hiperbolik
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| memahami definisi fungsi hiperbolik $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$, $\text{sech } x$, $\text{cosech } x$, $\text{coth } x$ dalam hal fungsi eksponensial | |
| membuat sketsa grafik fungsi hiperbolik | |
| membuktikan dan menggunakan identitas yang melibatkan fungsi hiperbolik | Mis. $\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1$, $\sinh 2x \equiv 2 \sinh x \cosh x$, dan hasil serupa yang sesuai dengan identitas trigonometri standar. |
| memahami dan menggunakan definisi fungsi invers hiperbolik dan menurunkan serta menggunakan bentuk logaritmiknya |
Sumber: Silabus Cambridge International
Fungsi hiperbolik dibangun dari fungsi eksponensial:
$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}.$$
Mereka mematuhi identitas mirip dengan trigonometri, yang utama adalah $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Tiga resiprokal melengkapi himpunan: $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$, dan $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ – semuanya juga dibangun dari $e^x$, dan penting dikenali dalam integral dan kunci jawaban. Fungsi invers hiperbolik memiliki bentuk logaritmik, misalnya $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.
Contoh terpecahkan. Tunjukkan bahwa $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{4} = \frac{4}{4} = 1.$$
Jelajahi
Fungsi hiperbolik
y = a cosh(x)
cosh adalah katenari (rantai yang menggantung) — bahkan, dengan minimumnya di (0, a).
2.2
Matriks
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| merumuskan masalah yang melibatkan penyelesaian 3 persamaan linear simultan dalam 3 variabel tak diketahui sebagai masalah yang melibatkan penyelesaian persamaan matriks, atau sebaliknya | |
| memahami kasus-kasus yang mungkin muncul terkait konsistensi atau inkonsistensi 3 persamaan linear simultan, menghubungkannya dengan singularity atau tidaknya matriks yang sesuai, menyelesaikan sistem yang konsisten, dan menafsirkannya secara geometris dalam hal garis dan bidang | Mis. tiga bidang yang bertemu di satu titik bersama, atau pada garis bersama, atau tidak memiliki titik bersama. |
| memahami istilah 'persamaan karakteristik', nilai eigen dan vektor eigen, yang diterapkan pada matriks persegi | Termasuk penggunaan definisi $\mathbf{Ae} = \lambda \mathbf{e}$ untuk membuktikan sifat-sifat sederhana, mis. bahwa $\lambda^n$ adalah nilai eigen dari $\mathbf{A}^n$. |
| temukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks $2 \times 2$ dan $3 \times 3$ | Dibatasi pada kasus di mana nilai eigen bersifat real dan berbeda. |
| nyatakan sebuah matriks persegi dalam bentuk $\mathbf{QDQ}^{-1}$, di mana $\mathbf{D}$ adalah matriks diagonal dari nilai eigen dan $\mathbf{Q}$ adalah matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor eigen, dan gunakan ekspresi ini | mis. dalam menghitung pangkat dari matriks $2 \times 2$ atau $3 \times 3$. |
| gunakan fakta bahwa matriks persegi memenuhi persamaan karakteristiknya sendiri. | mis. dalam mencari pangkat berurutan dari suatu matriks atau mencari matriks invers; dibatasi hanya untuk matriks $2 \times 2$ atau $3 \times 3$. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Anda dapat menulis tiga persamaan linear dalam tiga variabel tak diketahui sebagai satu persamaan matriks $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Jika $A$ non-singular, ada satu solusi; jika $A$ singular, persamaan-persamaan tersebut tidak konsisten (tidak ada solusi) atau memiliki tak hingga banyak solusi.
Untuk matriks persegi $A$, persamaan karakteristik adalah $\det(A - \lambda I) = 0$. Solusinya adalah nilai eigen $\lambda$, dan untuk masing-masingnya vektor $\mathbf{v}$ dengan $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ adalah vektor eigen. Anda kemudian dapat menulis $A = QDQ^{-1}$, di mana $D$ adalah matriks diagonal dari nilai-nilai eigen dan kolom-kolom dari $Q$ adalah vektor-vektor eigen.
Contoh terpecahkan. Temukan nilai-nilai eigen dari $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
Persamaan karakteristiknya adalah
$$\det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = 0 \;\Rightarrow\; 2 - \lambda = \pm 1.$$
Sehingga $\lambda = 1$ atau $\lambda = 3$. (Vektor eigen untuk $\lambda = 3$ adalah $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ dan untuk $\lambda = 1$ adalah $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.)
Jelajahi
Transformasi dan determinan
Ubah matriks untuk memutar, meregangkan, atau menggeser persegi satuan; determinan menunjukkan bagaimana luas berubah.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Matematika Murni Lanjutan |
| hyperbolic functions/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | fungsi hiperbolik |
| inverse hyperbolic functions/ɪnˈvɜːs ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | fungsi hiperbolik invers |
| logarithmic form/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk fɔːm/ | bentuk logaritma |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | persamaan matriks |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | persamaan karakteristik |
| eigenvalues/ˈaɪdʒənvæljuːz/ | nilai eigen |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | vektor eigen |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | matriks diagonal |
| Maclaurin's series/məˈklɔːrɪnz ˈsɪəriːz/ | deret Maclaurin |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | melengkapkan kuadrat sempurna |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | rumus reduksi |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | panjang busur |
| surface area of revolution/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | luas permukaan revolusi |
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | jumlah Riemann |
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | bilangan kompleks |
| De Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | teorema De Moivre |
2.3
Diferensiasi
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • turunkan fungsi hiperbolik dan turunkan $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$, $\cosh^{-1}x$ dan $\tanh^{-1}x$ | |
| • peroleh ekspresi untuk $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ dalam kasus di mana hubungan antara $x$ dan $y$ didefinisikan secara implisit atau parametrik | |
| • turunkan dan gunakan beberapa suku pertama dari deret Maclaurin untuk suatu fungsi. | Penurunan suku umum tidak termasuk, tetapi langkah diferensiasi 'implisit' berurutan mungkin diperlukan, mis. untuk $y = \tan x$ setelah penyusunan ulang diferensiasi awal menjadi $y' = 1 + y^2$. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Sekarang Anda dapat mendiferensiasikan fungsi-fungsi hiperbolik dan fungsi invers $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$ dan seterusnya. Anda juga dapat menemukan $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ untuk kurva yang diberikan secara implisit atau parametrik.
Deret Maclaurin menuliskan sebuah fungsi sebagai deret pangkat:
$$f(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}\,x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}\,x^3 + \cdots$$
Sebagai contoh $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$
Contoh terpecahkan. Temukan deret Maclaurin dari $f(x) = \ln(1+x)$ hingga suku dalam $x^3$.
$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ sehingga $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ sehingga $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ sehingga $f'''(0) = 2$. Substitusikan ke dalam deret:
$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$
Jelajahi
Gradien pada suatu titik
gradien = dy/dx
Turunan adalah kemiringan garis singgung, seekstrem apapun fungsinya.
2.4
Integrasi
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • integralkan fungsi hiperbolik dan kenali integral dari fungsi berbentuk $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ dan $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$, serta integralkan fungsi terkait menggunakan substitusi trigonometri atau substitusi hiperbolik sesuai kebutuhan | Termasuk penggunaan melengkapkan kuadrat sempurna jika perlu, mis. untuk mengintegralkan $\frac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$. |
| • turunkan dan gunakan rumus reduksi untuk evaluasi integral tentu | mis. $\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sin^n x \text{ d}x$, $\int_0^1 \text{e}^{-x}(1-x)^n \text{ d}x$. Pada kasus yang lebih sulit, petunjuk mungkin diberikan, mis. $\int_0^{\frac{1}{4}\pi} \sec^n x \text{ d}x$ dengan mempertimbangkan $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan x \sec^n x)$. |
| • pahami bagaimana luas di bawah kurva dapat didekati oleh luas persegi panjang, dan gunakan persegi panjang untuk memperkirakan atau menetapkan batas atas/bawah untuk luas di bawah kurva atau untuk menurunkan ketaksamaan atau limit mengenai jumlah | Pertanyaan dapat melibatkan persegi panjang dengan lebar satuan atau persegi panjang yang lebarnya cenderung ke nol, mis. $1 + \ln n > \sum_{r=1}^n \frac{1}{r} > \ln(n+1)$, $\sum_{r=1}^n \frac{1}{n}\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{-1} \approx \int_0^1 (1+x)^{-1} \text{ d}x$. berlanjut |
| • gunakan integrasi untuk mencari – panjang busur untuk kurva dengan persamaan dalam koordinat Kartesius, termasuk penggunaan parameter, atau dalam koordinat polar – luas permukaan revolusi terhadap salah satu sumbu untuk kurva dengan persamaan dalam koordinat Kartesius, termasuk penggunaan parameter. | Pertanyaan yang melibatkan integrasi mungkin memerlukan teknik dari Matematika Cambridge International A Level (9709) yang diterapkan pada kasus yang lebih sulit, mis. integrasi parsial untuk $\int e^x \sin x \mathrm{d}x$, atau penggunaan substitusi $t = \tan \frac{1}{2}x$. Luas permukaan revolusi untuk kurva dengan persamaan dalam koordinat polar tidak diperlukan. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Pelajari integral standar ini:
$$\int \frac{1}{a^2 + x^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C, \qquad \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx = \sin^{-1}\frac{x}{a} + C.$$
Substitusi trigonometri, substitusi hiperbolik, atau melengkapi kuadrat pada penyebut menangani bentuk-bentuk terkait. Rumus reduksi menghubungkan integral $I_n$ ke $I_{n-1}$, sehingga Anda dapat bekerja turun langkah demi langkah. Integrasi juga memberikan panjang busur dari sebuah kurva dan luas permukaan revolusi ketika kurva diputar tentang sumbu.
Contoh terarah. Temukan $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.
Di sini $a^2 = 4$, sehingga $a = 2$ dan
$$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx = \sin^{-1}\frac{x}{2} + C.$$
Membatasi jumlah dengan integral. Gambarlah persegi panjang dengan lebar satuan di bawah, atau di atas, kurva yang menurun seperti $y=\frac1x$. Setiap persegi panjang dengan tinggi $\frac1r$ terjebak di antara dua strip integral, sehingga menjumlahkannya menghasilkan
$$\ln(n+1) < \sum_{r=1}^{n}\frac1r < 1 + \ln n.$$
Memperkecil lebar persegi panjang menjadi $\frac1n\to 0$ mengubah jumlah semacam itu menjadi jumlah Riemann yang sama dengan integral dalam limit, mis. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{r=1}^{n}f\!\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$.
Jelajahi
Luas di bawah kurva
luas = ∫ f(x) dx
Setiap integral mengukur luas di bawah kurva — seret batas-batasnya.
2.5
Bilangan kompleks
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • pahami teorema de Moivre, untuk eksponen bilangan bulat positif atau negatif, dalam hal efek geometris perkalian dan pembagian bilangan kompleks | |
| • buktikan teorema de Moivre untuk eksponen bilangan bulat positif | mis. melalui induksi. |
| • gunakan teorema de Moivre untuk eksponen bilangan rasional positif atau negatif | mis. mengekspresikan $\cos 5\theta$ dalam istilah $\cos \theta$ atau $\tan 5\theta$ dalam istilah $\tan \theta$. |
| – untuk menyatakan rasio trigonometri sudut majemuk dalam bentuk pangkat dari rasio trigonometri sudut dasar | mis. mengekspresikan $\sin^6 \theta$ dalam istilah $\cos 2\theta$, $\cos 4\theta$ dan $\cos 6\theta$. |
| – untuk menyatakan pangkat dari $\sin \theta$ dan $\cos \theta$ dalam istilah sudut majemuk | |
| – dalam penjumlahan deret | mis. menggunakan metode '$C + \mathrm{i}S$' untuk menjumlahkan deret seperti $\sum_{r=1}^{n} \binom{n}{r} \sin r\theta$. |
| – dalam menemukan dan menggunakan akar kesatuan ke-$n$. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Sebuah bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. Teorema De Moivre menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat $n$,
$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta.$$
Ini digunakan untuk memperluas $\cos n\theta$ dan $\sin n\theta$ dalam pangkat, untuk menjumlahkan deret, dan untuk menemukan $n$ akar kesatuan (solusi dari $z^n = 1$, tersebar merata di sekitar lingkaran satuan).
Contoh terpecahkan. Gunakan teorema De Moivre untuk mengekspresikan $\cos 3\theta$ dalam hal $\cos\theta$.
Ambil bagian real dari $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$:
$$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta.$$
Jelajahi
Diagram Argand
Seret titik untuk mengeksplorasi modulus dan argumen — bahasa bilangan kompleks dalam bentuk polar (modulus–argumen).
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | akar-akar kesatuan |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | faktor pengintegrasi |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | solusi umum |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | fungsi komplemen |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | integral parsial |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | solusi khusus |
| separable variables/ˈsepərəbl ˈveərɪəblz/ | variabel terpisah |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | persamaan pembantu |
2.6
Persamaan diferensial
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • temukan faktor peng integrating untuk persamaan diferial linear orde pertama, dan gunakan faktor peng integrating untuk menemukan solusi umum | mis. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2y = x^2$, $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - y = x^4$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\coth x = \cosh x$. |
| • ingat arti istilah 'fungsi komplementer' dan 'integral khusus' dalam konteks persamaan diferial linear, dan ingat bahwa solusi umum adalah jumlah dari fungsi komplementer dan integral khusus | |
| temukan fungsi komplementer untuk persamaan diferial linear orde pertama atau kedua dengan koefisien konstan | Untuk persamaan orde kedua, termasuk kasus di mana persamaan bantu memiliki akar real yang berbeda, akar real ganda, atau akar kompleks konjugat. |
| ingat bentuk, dan temukan integral khusus untuk persamaan diferial linear orde pertama atau kedua dalam kasus di mana polinomial atau $ae^{bx}$ atau $a\cos px + b\sin px$ merupakan bentuk yang sesuai, dan dalam kasus sederhana lainnya temukan koefisien yang tepat given a suitable form of particular integral | mis. evaluasi $k$ given that $kx \cos 2x$ is a particular integral of $$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4y = \sin 2x$$ . |
| gunakan substitusi yang diberikan untuk mengurangi persamaan diferial menjadi persamaan linear orde pertama atau kedua dengan koefisien konstan atau menjadi persamaan orde pertama dengan variabel terpisah | mis. substitusi $x = e^t$ untuk mengurangi ke bentuk linear persamaan diferial dengan suku-suku berbentuk $$ax^2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + bx\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + cy$$ , atau substitusi $y = ux$ untuk mengurangi $$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+y}{x-y}$$ ke bentuk variabel terpisah. |
| gunakan kondisi awal untuk menemukan solusi khusus dari persamaan diferial, dan interpretasikan solusi dalam kaitannya dengan model masalah yang dimodelkan oleh persamaan diferial. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Untuk persamaan linear orde pertama $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, kalikan dengan faktor pengintegralkan $\mu = e^{\int P\,dx}$. Sisi kiri kemudian menjadi $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, sehingga Anda dapat mengintegrasikan langsung.
Untuk persamaan linear dengan koefisien konstan, solusi umum adalah jumlah dari dua bagian: fungsi komplementer (solusi dari persamaan dengan sisi kanan diatur ke $0$, ditemukan dari persamaan bantu) dan integral khusus (salah satu solusi dari persamaan penuh). Kondisi awal kemudian menetapkan konstanta untuk memberikan solusi khusus; persamaan yang lebih sederhana dengan variabel yang dapat dipisahkan diintegrasikan langsung.
Contoh terpecahkan. Selesaikan $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$.
Faktor pengintegrasinya adalah $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Mengalikan seluruhnya menghasilkan $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$, sehingga
$$y\,e^{2x} = \tfrac13 e^{3x} + C \;\Rightarrow\; y = \tfrac13 e^x + C e^{-2x}.$$
Orde kedua, koefisien konstan. Untuk $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$, selesaikan persamaan bantu $m^2+bm+c=0$. Fungsi komplementer bergantung pada akarnya:
- dua akar real berbeda $m_1,m_2$: $y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}$;
- akar kembar $m$: $y=(A+Bx)e^{mx}$;
- akar kompleks $p\pm qi$: $y=e^{px}(A\cos qx+B\sin qx)$.
Kemudian tambahkan integral khusus dengan mencoba bentuk yang sesuai dengan $f(x)$ (polinomial, $ae^{bx}$, atau $a\cos px+b\sin px$); jika cobaan tersebut sudah muncul dalam fungsi komplementer, kalikan dengan $x$.
Contoh terpecahkan. Selesaikan $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. Persamaan bantu $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ memiliki akar kembar $m=2$, sehingga $y=(A+Bx)e^{2x}$.
Jelajahi
Persamaan diferensial
dy/dx = a y
Persamaan menetapkan kemiringan di mana-mana; solusi mengikuti kemiringan-kemiringan tersebut.
2.6
Tips ujian
- Pelajari identitas hiperbolik dan turunannya, serta gunakan fungsi hiperbolik invers dalam integrasi.
- Selesaikan persamaan diferensial linear sebagai fungsi komplementer $+$ integral khusus, lalu terapkan kondisi batas.
- Gunakan teorema de Moivre untuk pangkat dan akar bilangan kompleks serta untuk menurunkan identitas trigonometri.
- Sederhanakan suatu integral menjadi bentuk standar melalui substitusi yang ditentukan.
Pelajaran interaktif untuk topik ini
Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.