Bilangan kompleks (Pure 2 Lanjutan)
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| de Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | teorema de Moivre |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | bentuk polar |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | argumen |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | modulus |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | bagian imajiner |
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | akar-akar kesatuan |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | lingkaran satuan |
Memangkatkan, cara mudah
- Untuk menghitung $(\cos\theta + i\sin\theta)^{10}$ secara panjang, Anda harus mengalikan sepuluh kali.
- Teorema De Moivre melakukannya dalam satu baris — dan sebagai bonus, teorema ini membagi lingkaran menjadi bagian-bagian yang sama.
Teorema De Moivre
- Bilangan kompleks dalam bentuk polar: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
- Teorema De Moivre — untuk setiap integer $n$:
- Memangkatkan mengalikan argumen dengan $n$ (dan modulus dengan $r^n$).
Bilangan kompleks
z = x + yi
Plot z sebagai titik: jaraknya dari O adalah modulus, sudutnya adalah argumen.
Teorema De Moivre menyatakan (cos θ + i sin θ)ⁿ sama dengan:
Pemangkatan dengan pangkat n mengalikan argumen dengan n: cos nθ + i sin nθ.
Memperbanyak sudut
- Membandingkan bagian real dan imajiner dari $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ menghasilkan identitas.
- Contoh terpecahkan: bagian real dari pangkat tiga menghasilkan $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.
Menggunakan de Moivre, cos 3θ dijabarkan menjadi:
Ambil bagian real dari (cosθ + i sinθ)³: cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ.
Akar-akar kesatuan
- Persamaan $z^n = 1$ memiliki tepat $n$ solusi — yaitu $n$ akar kesatuan.
- Mereka terletak pada lingkaran satuan, tersebar merata $\dfrac{360^\circ}{n}$ terpisah, dimulai dari $1$.
Lima solusi dari $z^5 = 1$ berada pada lingkaran satuan, terpisah $72^\circ$ — sebuah pentagon sempurna.
Mengapa tersebar merata? Setiap akar memiliki modulus $1$ dan argumen $\dfrac{360^\circ k}{n}$ untuk $k = 0, 1, \dots, n-1$ — sehingga akar berturut-turut berbeda oleh sudut yang sama.
Berapa banyak akar kesatuan yang berbeda yang dimiliki persamaan z⁵ = 1?
zⁿ = 1 memiliki tepat n akar, tersebar merata pada lingkaran satuan; di sini n = 5.
Akar-akar kesatuan kelima tersebar merata pada lingkaran satuan. Berapa derajat jarak antar akar berturut-turut?
360°/5 = 72° antara akar-akar berturut-turut.
n akar kesatuan tersebar merata di sekitar lingkaran satuan.
Mereka berada pada celah sudut yang sama sebesar 360°/n di sekitar lingkaran.
Kesalahan umum
De Moivre memerlukan bentuk polar terlebih dahulu. $(1 + i)^8$ bukan $1^8 + i^8$ — konversi $1+i$ ke $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ dengan $r = \sqrt2$, $\theta = 45^\circ$, lalu terapkan teoremanya.
- Menjumlahkan deret suku-suku $\cos$/$\sin$ menggunakan jumlah kompleks $C + \mathrm{i}S$ dari bilangan kompleks.
Sebelum menerapkan de Moivre pada (1 + i)⁸, Anda harus terlebih dahulu menulis 1 + i dalam bentuk ______.
Konversikan ke r(cosθ + i sinθ) terlebih dahulu, kemudian pangkatkan.
Anda telah memahaminya
- de Moivre: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
- ia memperbanyak sudut, mis. $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
- $n$ akar-akar kesatuan tersebar merata $\dfrac{360^\circ}{n}$ terpisah pada lingkaran satuan