Persamaan diferensial (Pure 2 Lanjutan)
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | persamaan diferensial |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | faktor pengintegrasi |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | solusi umum |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | fungsi komplemen |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | persamaan pembantu |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | syarat batas |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | syarat awal |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | integral parsial |
Ketika yang tak diketahui adalah fungsi
- Persamaan biasa menyelesaikan untuk angka. Persamaan diferensial menyelesaikan untuk seluruh fungsi — berdasarkan aturan tentang laju perubahannya.
- Mereka memodelkan kopi yang mendingin, pertumbuhan populasi, pengisian kapasitor, dan ayunan pendulum.
Orde pertama linear: faktor pengintegrasian
- Untuk $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, kalikan dengan faktor pengintegrasian:
- Ini membuat sisi kiri mereduksi menjadi $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, sehingga Anda dapat mengintegralkan kedua sisi secara langsung.
Contoh terpecahkan. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$. Di sini $P = 2$, sehingga $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Sisi kiri menjadi $\dfrac{d}{dx}(e^{2x}y)$.
Persamaan diferensial
dy/dx = a y
Persamaan menetapkan kemiringan di mana-mana; solusi mengikuti kemiringan-kemiringan tersebut.
Untuk dy/dx + 2y = eˣ, faktor pengintegrasian μ = e^(∫2 dx) adalah:
∫2 dx = 2x, sehingga μ = e^(2x).
Mengalikan dengan faktor integrasi membuat sisi kiri menjadi d/dx(μy), sehingga Anda dapat mengintegrasikan secara langsung.
Itulah tujuan utama dari faktor integrasi — ia mengubah sisi kiri menjadi turunan eksak.
Orde kedua, koefisien konstan
- Untuk $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$, solusi umum memiliki dua bagian:
- Fungsi komplementer (CF) berasal dari persamaan bantu $am^2 + bm + c = 0$.
Untuk persamaan linear koefisien konstan, solusi umumnya adalah:
Solusi umum = fungsi komplementer (RHS = 0) + integral khusus.
Membaca akar persamaan bantu
- Akar persamaan bantu menentukan bentuk CF:
| akar | fungsi komplementer |
|---|---|
| real & berbeda $m_1, m_2$ | $Ae^{m_1 x} + Be^{m_2 x}$ |
| kembar $m$ | $(A + Bx)e^{mx}$ |
| kompleks $p \pm qi$ | $e^{px}(A\cos qx + B\sin qx)$ |
Persamaan diferensial memiliki keluarga kurva solusi; kondisi batas memilih salah satunya.
Untuk y″ − 5y′ + 6y = 0 persamaan pembantu adalah m² − 5m + 6 = 0. Berapakah akarnya yang lebih besar?
m² − 5m + 6 = (m − 2)(m − 3) = 0, sehingga m = 2 atau 3; yang lebih besar adalah 3.
Cocokkan setiap jenis akar bantu dengan fungsi komplementer yang dihasilkannya.
Akar nyata yang berbeda menghasilkan dua eksponensial; akar berulang menambahkan faktor x; akar kompleks menghasilkan bentuk osilasi berskala eksponensial.
Kondisi batas
- Konstanta $A, B$ ditentukan oleh kondisi batas atau kondisi awal (mis. $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$).
- Tanpa mereka Anda mendapatkan seluruh keluarga; dengan mereka, satu kurva yang sesuai.
- Selesaikan persamaan diferensial dengan substitusi atau melalui variabel terpisah, lalu terapkan kondisi awal untuk solusi khusus.
Konstanta sembarang A dan B ditentukan oleh kondisi ______.
Kondisi batas atau awal (seperti y(0) = 1) menentukan A dan B.
Anda telah memahaminya
- orde pertama linear: kalikan dengan $\mu = e^{\int P\,dx}$, lalu integralkan
- orde kedua: umum = fungsi komplementer + integral parsial
- CF berasal dari persamaan pembantu; syarat batas menentukan konstantanya