Fungsi hiperbolik
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| catenary/kæˈtiːnəri/ | katenari |
| hyperbolic function/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃn/ | fungsi hiperbolik |
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | eksponensial |
| identity/aɪˈdentɪti/ | identitas |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | turunan |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | songsang |
Kurva yang menggantung dari rantai
- Rantai yang menggantung membentuk kurva katena — bukan parabola, tetapi grafik dari $\cosh x$.
- Fungsi hiperbolik dibangun dari eksponensial dan muncul di mana-mana: jembatan gantung, kabel listrik, bahkan bentuk alam semesta dalam relativitas umum.
Definisi
- Dibangun dari fungsi eksponensial:
Contoh terarah. $\cosh 0 = \dfrac{e^0 + e^0}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$. $\sinh 0 = \dfrac{1 - 1}{2} = 0$. Jadi kurva katenari melewati $(0, 1)$, bukan titik asal.
cosh dan sinh adalah rata-rata dan selisih setengah dari e^x dan e^-x
Fungsi hiperbolik
y = a cosh(x)
cosh adalah katenari (rantai yang menggantung) — bahkan, dengan minimumnya di (0, a).
Menggunakan cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2, berapakah cosh 0?
cosh 0 = (e⁰ + e⁰)/2 = (1 + 1)/2 = 1.
Menggunakan sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2, berapakah sinh 0?
sinh 0 = (1 − 1)/2 = 0.
Identitas Utama
- Identitas utama: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (bandingkan dengan $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$).
- Penjumlahan: $\sinh(A + B) = \sinh A \cosh B + \cosh A \sinh B$.
Tanda kurang, bukan tambah. Identitasnya adalah $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (kurang), bukan $\cosh^2 x + \sinh^2 x = 1$. Ini adalah perbedaan kunci dari identitas trigonometri.
Kabel yang tergantung membentuk kurva katenari, yaitu kurva kosinus hiperbolik y = a cosh(x/a)
Untuk sembarang x, berapakah hasil dari cosh²x − sinh²x?
Identitas hiperbolik adalah cosh²x − sinh²x = 1.
Identitas cosh²x + sinh²x = 1 adalah benar.
Identitas yang benar adalah cosh²x − sinh²x = 1 (minus, bukan plus).
Turunan
- $\dfrac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$, $\quad\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$ (tidak ada tanda kurang!).
- $\dfrac{d}{dx}\tanh x = \text{sech}^2 x$.
Turunan dari sinh x adalah:
d/dx(sinh x) = cosh x (tanpa tanda minus, berbeda dengan turunan trigonometri d/dx(sin x) = cos x).
Turunan dari cosh x adalah:
d/dx(cosh x) = sinh x (tanpa tanda minus, berbeda dengan d/dx(cos x) = −sin x).
Fungsi Invers Hiperbolik
- Bentuk invers-nya bersifat logaritmik:
- $\sinh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$
- $\cosh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ untuk $x \geq 1$.
Anda telah memahaminya
- $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
- Identitas kunci: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- fungsi invers hiperbolik memiliki bentuk logaritmik