Matriks (Pure 2 Lanjutan)
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| stretch/stretʃ/ | peregangan |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | vektor eigen |
| eigenvalue/ˈaɪdʒənvæljuː/ | nilai eigen |
| diagonalisation/daɪˌæɡənəlaɪˈzeɪʃn/ | diagonalisasi |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | persamaan matriks |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | persamaan karakteristik |
| scalar/ˈskeɪlə/ | skalar |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | matriks diagonal |
Arah Tersembunyi dalam Matriks
- Setiap matriks mengubah ruang. Beberapa arah bersifat khusus: matriks hanya meregangkan mereka, tanpa memutar. Ini disebut vektor eigen, dan faktor peregangan tersebut adalah nilai eigen.
- Nilai eigen membuka struktur matriks — mereka merupakan kunci untuk diagonalisasi, analisis stabilitas, dan algoritma PageRank Google.
Persamaan Matriks
- Tiga persamaan linear dalam tiga variabel tak diketahui → sebuah persamaan matriks $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Matriks $A$ yang non-singular memberikan satu solusi unik: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.
Contoh terarah. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$. Menyelesaikan: $2x + y = 5$ dan $x + 3y = 7$. Solusi: $x = \dfrac{8}{5}$, $y = \dfrac{9}{5}$.
Vektor eigen mempertahankan arahnya di bawah matriks; vektor umum diputar
Matriks (Pure 2 Lanjutan)
(x', y') = M(x, y)
Rotasi, refleksi, dan geser semuanya adalah matriks — baca dari vektor basis yang ditransformasikan.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
- Persamaan karakteristik $\det(A - \lambda I) = 0$ menghasilkan nilai eigen $\lambda$.
- Untuk setiap $\lambda$, vektor eigen $\mathbf{v}$ memenuhi $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$.
- Mengalikan vektor eigen dengan $A$ hanya meregangkannya (dengan faktor $\lambda$), tanpa mengubah arahnya.
Vektor eigen tidak unik. Jika $\mathbf{v}$ adalah vektor eigen, maka $k\mathbf{v}$ juga merupakan vektor eigen untuk sebarang skalar tak nol $k$. Kita biasanya memilih bentuk paling sederhana (bilangan bulat terkecil).
Matriks [[2,1],[1,2]] memiliki persamaan karakteristik (2−λ)² − 1 = 0, menghasilkan λ = 1 atau λ = 3. Berapakah nilai eigen yang lebih besar?
(2−λ)² = 1 → 2−λ = ±1 → λ = 1 atau 3; yang lebih besar adalah 3.
Nilai eigen dari matriks A ditemukan dengan menyelesaikan:
Persamaan karakteristik det(A − λI) = 0 memberikan nilai eigen.
Mengalikan vektor eigen dengan A hanya meregangkannya (Av = λv).
Vektor eigen mempertahankan arahnya; A hanya mengukurnya dengan faktor skala λ.
Jika v adalah vektor eigen dari A, maka 2v juga merupakan vektor eigen dari A.
Vektor eigen tidak unik — kelipatan skalar non-nol dari sebuah vektor eigen juga merupakan vektor eigen.
Diagonalisasi
- Anda dapat menulis $A = QDQ^{-1}$, di mana $D$ adalah matriks diagonal dari nilai eigen dan kolom-kolom dari $Q$ adalah vektor-vektor eigennya.
- Hal ini membuat perhitungan $A^n$ menjadi mudah: $A^n = QD^nQ^{-1}$, dan $D^n$ hanyalah entri-entri diagonal yang dipangkatkan dengan $n$.
Dalam diagonalisasi A = QDQ⁻¹, matriks D berisi:
D adalah matriks diagonal dengan nilai eigen A pada diagonal utamanya.
Jika A = QDQ⁻¹, maka A³ = QD³Q⁻¹. Jika D memiliki entri diagonal 1 dan 3, D³ memiliki entri diagonal 1 dan ?
D³ memiliki entri diagonal 1³ = 1 dan 3³ = 27.
Contoh kerja
- $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Persamaan karakteristik: $(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$ atau $3$.
- Untuk $\lambda = 1$: vektor eigen $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. Untuk $\lambda = 3$: vektor eigen $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
- Matriks dengan determinan nol memiliki singularitas (ia singular dan tidak memiliki invers).
Anda telah memahaminya
- nilai eigen menyelesaikan $\det(A - \lambda I) = 0$; vektor eigen memenuhi $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$
- mengalikan vektor eigen dengan $A$ hanya meregangkannya
- diagonalisasi: $A = QDQ^{-1}$ (D = nilai eigen, kolom Q = vektor eigen)