Diferensiasi (Pure 2 Lanjutan)
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinomial |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | Deret Maclaurin |
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | turunan |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | hiperbolik |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | koefisien |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | interval konvergensi |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | divergen |
Bagaimana Kalkulator Menemukan eˣ?
- Kalkulator Anda tidak bisa "melakukan" $e^{0.7}$ secara langsung — tidak ada tombol yang mengetahui hal itu.
- Sebaliknya ia menjumlahkan beberapa suku polinomial yang meniru $e^x$ di dekat nol.
- Polinomial tersebut adalah deret Maclaurin — dan membangunnya dimulai dengan diferensiasi berulang.
Turunan Baru yang Perlu Diketahui
- Further Pure 2 menambahkan turunan dari fungsi hiperbolik dan invers:
| fungsi | turunan |
|---|---|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
- Anda juga dapat menemukan $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ untuk kurva implisit dan parametrik.
Setiap suku Maclaurin tambahan lebih mendekati e^x pada rentang yang lebih luas
Gradien pada suatu titik
gradien = dy/dx
Turunan adalah kemiringan garis singgung, seekstrem apapun fungsinya.
Turunan dari sinh x adalah:
d/dx(sinh x) = cosh x (dan d/dx(cosh x) = sinh x).
Turunan dari tan⁻¹x adalah 1/(1+x²). Berapakah nilainya pada x = 0?
1/(1+0²) = 1.
Cocokkan setiap fungsi dengan turunannya.
Pasangan hiperbolik saling menukar (tanpa tanda minus, berbeda dengan sin/cos); turunan trigonometri invers adalah bentuk rasional/akar standar.
Deret Maclaurin
- Deret Maclaurin membangun kembali fungsi sebagai polinomial tak hingga menggunakan turunannya di $0$:
- Setiap koefisien memerlukan turunan berikutnya, yang dievaluasi pada $x = 0$.
Dalam deret Maclaurin, suku konstan adalah f(0). Untuk f(x) = eˣ, berapakah f(0)?
e⁰ = 1, sehingga suku konstan adalah 1.
Dalam deret Maclaurin, koefisien dari xⁿ memiliki n-faktorial (ditulis n!) di dalam ______.
Suku xⁿ adalah f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ — n! berada di penyebut.
Contoh Terarah — Deret untuk eˣ
- Untuk $f(x) = e^x$, setiap turunan adalah $e^x$, dan $e^0 = 1$. Jadi setiap koefisien adalah $\dfrac{1}{n!}$:
Setiap suku tambahan membengkokkan polinomial lebih dekat ke $e^x$ di sekitar $x = 0$ — tepat seperti cara kerja kalkulator.
Deret standar lainnya. $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ dan $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ (valid untuk $|x| < 1$).
Deret Maclaurin dari eˣ dimulai:
eˣ = Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
Di mana Deret Tersebut Valid
- Deret Maclaurin hanya cocok dengan fungsi dalam interval konvergensi-nya.
- $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ konvergen untuk semua $x$; tetapi $\ln(1+x)$ hanya untuk $-1 < x \leq 1$.
Periksa konvergensi sebelum mempercayainya. Jauh di luar interval yang valid, polinomial menyimpang sangat jauh dari fungsi — semakin banyak suku justru membuatnya lebih buruk, bukan lebih baik.
- Diferensiasi fungsi hiperbolik dan fungsi invers, serta hubungan yang diberikan secara implisit atau parametrik.
Deret Maclaurin untuk ln(1+x) berlaku untuk setiap nilai x.
Deret ini hanya konvergen untuk −1 < x ≤ 1; di luar interval tersebut ia divergen.
Anda telah memahaminya
- turunan baru: $\sinh x \to \cosh x$, $\tan^{-1}x \to \dfrac{1}{1+x^2}$, $\sin^{-1}x \to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- Maclaurin: $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$ — semakin banyak suku sesuai lebih baik, dalam batas interval konvergensi