Integrasi (Pure 2 Lanjutan)
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | antiturunan |
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | bentuk baku |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | substitusi |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | hiperbolik |
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | trigonometri |
| surd/sɜːd/ | surd |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | rumus reduksi |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | panjang busur |
Integral yang Menentang
- Beberapa integral tidak memiliki antiturunan yang jelas — sampai Anda menemukan bentuk standar atau substitusi yang tepat.
- Further Pure 2 menyediakan alat: integral standar trigonometri invers, substitusi trigonometri/hiperbolik, dan rumus reduksi.
Integral standar
- Dua hasil yang perlu dihafal:
- Cocokkan integral dengan bentuknya, baca $a$, lalu tuliskan jawabannya.
Integral tentu mengukur luas di bawah kurva
Luas di bawah kurva
luas = ∫ f(x) dx
Setiap integral mengukur luas di bawah kurva — seret batas-batasnya.
Berapakah ∫ 1/(a² + x²) dx?
Ini adalah integral tangen invers standar.
Berapakah ∫ 1/√(4 − x²) dx?
Dengan a = 2, ∫1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) = sin⁻¹(x/2) + C.
Cocokkan setiap integral dengan hasilnya.
Dua pertama adalah bentuk standar trigonometri invers; ∫1/x dx = ln|x| + C.
Substitusi
- Substitusi trigonometri ($x = a\sin\theta$ atau $x = a\tan\theta$) mengubah penyebut bentuk akar atau kuadrat menjadi sesuatu yang sederhana.
- Substitusi hiperbolik ($x = a\sinh u$) menangani $\sqrt{a^2 + x^2}$.
Contoh terpecahkan. $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$. Di sini $a^2 = 9$, sehingga $a = 3$: jawabannya adalah $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$.
Dalam ∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C, berapakah a?
a² = 9 sehingga a = 3; integralnya adalah (1/3)tan⁻¹(x/3) + C.
Rumus reduksi
- Rumus reduksi menghubungkan integral $I_n$ ke integral yang lebih rendah $I_{n-1}$ (atau $I_{n-2}$).
- Terapkan berulang kali untuk turun ke kasus dasar yang dapat diintegralkan langsung.
Jangan hilangkan batasnya. Untuk integral tentu, suku batas dalam rumus reduksi dievaluasi pada batas setiap kali — tempat umum untuk kehilangan tanda atau faktor.
Rumus reduksi menghubungkan integral Iₙ ke Iₙ₋₁ agar Anda dapat bekerja secara bertahap.
Rumus reduksi mengekspresikan integral indeks lebih tinggi dalam istilah integral indeks lebih rendah.
Aplikasi
- Integrasi juga mengukur kurva itu sendiri:
- Panjang busur: $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Luas permukaan putar: $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Integralkan menggunakan substitusi trigonometri, fungsi hiperbolik, dan menyempurnakan kuadrat pada penyebut.
Panjang busur adalah integral dari √(1 + (______)²) dx.
Panjang busur s = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx.
Anda telah memahaminya
- $\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
- gunakan substitusi trig/hiperbolik untuk bentuk akar dan penyebut kuadrat
- rumus reduksi menurunkan $I_n$ ke $I_{n-1}$; integrasi juga memberikan panjang busur dan luas permukaan