A-Level Further Mathematics · Matematika Lanjutan A-Level · Topic 4 · Topik 4
8:08
Probabilitas & Statistik Lanjutan
Dublin, seribu sembilan ratus delapan. Di dalam pabrik bir Guinness, seorang ahli kimia muda bernama William Gosset menghadapi masalah yang sangat praktis. Ia hanya dapat menguji beberapa batch dari…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
This handout covers Topic 4: Further Probability & Statistics 进阶概率统计. It adds continuous distributions, small-sample inference, the chi-squared and non-parametric tests, and probability generating functions.
Lembaran ini mencakup Topik 4: Probabilitas & Statistika Lanjutan. Ini menambahkan distribusi kontinu, inferensi sampel kecil, uji chi-squared dan non-parametrik, serta fungsi pembangkit probabilitas.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use a probability density function which may be defined piecewise | |
| use the general result $\text{E}(g(X)) = \int f(x)g(x) \, \mathrm{d}x$ where $f(x)$ is the probability density function of the continuous random variable $X$ and $g(X)$ is a function of $X$ | |
| understand and use the relationship between the probability density function (PDF) and the cumulative distribution function (CDF), and use either to evaluate probabilities or percentiles | |
| use cumulative distribution functions (CDFs) of related variables in simple cases. | e.g. given the CDF of a variable $X$, find the CDF of a related variable $Y$, and hence its PDF, e.g. where $Y = X^3$. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| gunakan fungsi kepadatan probabilitas yang mungkin didefinisikan secara bagian-bagian | |
| gunakan hasil umum $\text{E}(g(X)) = \int f(x)g(x) \, \mathrm{d}x$ di mana $f(x)$ adalah fungsi kepadatan probabilitas dari variabel acak kontinu $X$ dan $g(X)$ adalah fungsi dari $X$ | |
| pahami dan gunakan hubungan antara fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dan fungsi distribusi kumulatif (CDF), dan gunakan keduanya untuk mengevaluasi probabilitas atau persentil | |
| gunakan fungsi distribusi kumulatif (CDFs) dari variabel terkait dalam kasus sederhana. | mis. diberikan CDF dari variabel $X$, temukan CDF dari variabel terkait $Y$, dan karenanya PDF-nya, mis. di mana $Y = X^3$. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
A continuous variable $X$ is described by a probability density function 概率密度函数 $f(x)$, which may be defined piecewise. The probability over a range is the area under $f$, and the mean of any function of $X$ is
The cumulative distribution function 累积分布函数 $F(x) = P(X \leqslant x)$ is the running total: $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, and $f(x) = F'(x)$. Use $F$ to find probabilities and percentiles 百分位数 (for example, the median 中位数 solves $F(x) = 0.5$).
Worked example. A variable has $f(x) = \tfrac12 x$ for $0 \leqslant x \leqslant 2$. Find the median.
The cumulative distribution function is $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$. Set $F(m) = 0.5$:
The distribution of a related variable. If $Y=g(X)$, find $Y$'s distribution through its cumulative function. For $Y=X^2$: $F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$, then differentiate for $f_Y=F_Y'$. When $g$ is monotonic increasing there is a shortcut, $F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$.
Worked example. With $f_X(x)=\tfrac12 x$ on $[0,2]$ (so $F_X(x)=\tfrac14 x^2$), let $Y=X^2$. For $0\leqslant y\leqslant 4$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$, so $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$ – that is, $Y$ is uniform on $[0,4]$.
Variabel kontinu $X$ dijelaskan oleh fungsi kepadatan probabilitas $f(x)$, yang mungkin didefinisikan secara berselang-seling. Probabilitas dalam suatu rentang adalah area di bawah $f$, dan rata-rata dari setiap fungsi dari $X$ adalah
Fungsi distribusi kumulatif $F(x) = P(X \leqslant x)$ adalah total berjalan: $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, dan $f(x) = F'(x)$. Gunakan $F$ untuk menemukan probabilitas dan persentil (misalnya, median menyelesaikan $F(x) = 0.5$).
Contoh terpecahkan. Sebuah variabel memiliki $f(x) = \tfrac12 x$ untuk $0 \leqslant x \leqslant 2$. Temukan median.
Fungsi distribusi kumulatif adalah $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$. Tetapkan $F(m) = 0.5$:
Distribusi variabel terkait. Jika $Y=g(X)$, temukan distribusi $Y$ melalui fungsi kumulatifnya. Untuk $Y=X^2$: $F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$, kemudian turunkan untuk $f_Y=F_Y'$. Ketika $g$ monoton naik terdapat jalan pintas, $F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$.
Contoh terpecahkan. Dengan $f_X(x)=\tfrac12 x$ pada $[0,2]$ (sehingga $F_X(x)=\tfrac14 x^2$), misalkan $Y=X^2$. Untuk $0\leqslant y\leqslant 4$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$, sehingga $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$ – yaitu, $Y$ bersifat seragam pada $[0,4]$.
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
For a continuous variable, probability is the area under the density curve. · Untuk variabel kontinu, probabilitas adalah luas di bawah kurva densitas.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | fungsi kepadatan peluang |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | fungsi distribusi kumulatif |
| percentiles/pəˈsentaɪlz/ | persentil |
| median/ˈmiːdiːən/ | median |
| hypothesis test/haɪˈpɒθəsɪs test/ | uji hipotesis |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | interval kepercayaan |
| pooled estimate/puːld ˈestɪmət/ | estimasi gabungan |
| chi-squared test/kaɪ skweəd test/ | uji chi-kuadrat |
| theoretical distribution/θɪəˈretɪkl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribusi teoritis |
| degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/ | derajat kebebasan |
| goodness of fit/ˈɡʊdnəs ɒv fɪt/ | kesesuaian kecocokan |
| independence/ˌɪndɪˈpendəns/ | independensi |
| contingency table/kənˈtɪndʒənsi ˈteɪbl/ | tabel kontingensi |
| non-parametric test/nɒn ˌpærəˈmetrɪk test/ | uji non-parametrik |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| formulate hypotheses and apply a hypothesis test concerning the population mean using a small sample drawn from a normal population of unknown variance, using a t-test | |
| calculate a pooled estimate of a population variance from two samples | Calculations based on either raw or summarised data may be required. |
| formulate hypotheses concerning the difference of population means, and apply, as appropriate: - a 2-sample t-test - a paired sample t-test - a test using a normal distribution | The ability to select the test appropriate to the circumstances of a problem is expected. |
| determine a confidence interval for a population mean, based on a small sample from a normal population with unknown variance, using a t-distribution | |
| determine a confidence interval for a difference of population means, using a t-distribution or a normal distribution, as appropriate. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| susun hipotesis dan terapkan uji hipotesis mengenai rata-rata populasi menggunakan sampel kecil yang diambil dari populasi normal dengan variansi tak diketahui, menggunakan uji-t | |
| hitung estimasi gabungan variansi populasi dari dua sampel | Perhitungan berdasarkan data mentah atau data yang diringkas mungkin diperlukan. |
| susun hipotesis mengenai perbedaan rata-rata populasi, dan terapkan, sesuai: - uji-t 2 sampel - uji-t sampel berpasangan - uji menggunakan distribusi normal | Kemampuan untuk memilih uji yang sesuai dengan situasi masalah diharapkan. |
| tentukan interval kepercayaan untuk rata-rata populasi, berdasarkan sampel kecil dari populasi normal dengan variansi tak diketahui, menggunakan distribusi-t | |
| tentukan interval kepercayaan untuk perbedaan rata-rata populasi, menggunakan distribusi-t atau distribusi normal, sesuai. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
When a sample is small and the population variance is unknown, base your hypothesis test 假设检验 on the $t$-distribution instead of the normal. The same idea gives a confidence interval 置信区间 for the mean:
Worked example. A sample of $n = 10$ has mean $\bar{x} = 50$ and standard deviation $s = 4$. Find a $95\%$ confidence interval for the mean (use $t = 2.262$ for $9$ degrees of freedom).
Ketika sampel kecil dan varians populasi tidak diketahui, dasar uji hipotesis Anda pada distribusi $t$ daripada normal. Ide yang sama memberikan interval kepercayaan untuk rata-rata:
Contoh terpecahkan. Sebuah sampel $n = 10$ memiliki rata-rata $\bar{x} = 50$ dan simpangan baku $s = 4$. Temukan interval kepercayaan $95\%$ untuk rata-rata (gunakan $t = 2.262$ untuk derajat kebebasan $9$).
With $\sigma$ unknown you use $t$, and $t$ has heavier tails than the normal (drawn dashed behind it) — so its critical values are larger and the interval is wider. At the worked example's $9$ degrees of freedom the widget reads $t^* = 2.262$, exactly the table value used above. Sweep df up and $t$ collapses onto the normal. · Dengan $\sigma$ yang tidak diketahui Anda menggunakan $t$, dan $t$ memiliki ekor lebih berat daripada normal (digambar putus-putus di belakangnya) — sehingga nilai kritisnya lebih besar dan intervalnya lebih lebar. Pada $9$ derajat kebebasan contoh terpecahkan, widget membaca $t^* = 2.262$, tepat nilai tabel yang digunakan di atas. Sweep df naik dan $t$ merapat ke normal.
Shade a tail to find a probability — the basis of confidence intervals and hypothesis tests. · Arsir ekor untuk menemukan probabilitas — dasar dari interval kepercayaan dan uji hipotesis.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| fit a theoretical distribution, as prescribed by a given hypothesis, to given data | Questions will not involve lengthy calculations. |
| use a $\chi^2$-test, with the appropriate number of degrees of freedom, to carry out the corresponding goodness of fit analysis | Classes should be combined so that each expected frequency is at least 5. |
| use a $\chi^2$-test, with the appropriate number of degrees of freedom, for independence in a contingency table. | Yates’ correction is not required. Where appropriate, either rows or columns should be combined so that the expected frequency in each cell is at least 5. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| sesuaikan distribusi teoritis, sesuai dengan hipotesis yang diberikan, pada data yang ada | Soal tidak akan melibatkan perhitungan yang panjang. |
| lakukan uji $\chi^2$, dengan jumlah derajat kebebasan yang sesuai, untuk melakukan analisis kesesuaian (goodness of fit) yang bersangkutan | Kelas harus digabungkan sedemikian rupa sehingga frekuensi harapan setiap kelas minimal 5. |
| lakukan uji $\chi^2$, dengan jumlah derajat kebebasan yang sesuai, untuk independensi dalam tabel kontingensi. | Koreksi Yates tidak diperlukan. Di mana perlu, baris atau kolom harus digabungkan sedemikian rupa sehingga frekuensi harapan di setiap sel minimal 5. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
A $\chi^2$-test (chi-squared test 卡方检验) compares observed counts $O$ with expected counts $E$ from a theoretical distribution 理论分布:
Worked example. Four equally likely categories give observed counts $20, 30, 25, 25$ (so each expected count is $25$). Test the fit at the $5\%$ level.
Uji $\chi^2$ (uji chi-kuadrat) membandingkan jumlah observasi $O$ dengan jumlah ekspektasi $E$ dari distribusi teoritis:
Contoh terpecahkan. Empat kategori yang setara kemungkinan memberikan jumlah observasi $20, 30, 25, 25$ (sehingga setiap jumlah ekspektasi adalah $25$). Uji kesesuaian pada tingkat $5\%$.
The worked example on this page gives $\chi^2 = 2$ with $3$ degrees of freedom against a table value of $7.815$ — the widget reproduces both. Drag df to see why the critical value changes with the number of categories. · Contoh terpecahkan di halaman ini memberikan $\chi^2 = 2$ dengan $3$ derajat kebebasan berbanding nilai tabel $7.815$ — widget mereproduksi keduanya. Seret df untuk melihat mengapa nilai kritis berubah dengan jumlah kategori.
Follow observed and expected counts to a test decision. · Ikuti jumlah observasi dan ekspektasi menuju keputusan uji.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the idea of a non-parametric test and appreciate situations in which such a test might be useful | e.g. when sampling from a population which cannot be assumed to be normally distributed. |
| understand the basis of the sign test, the Wilcoxon signed-rank test and the Wilcoxon rank-sum test | Including knowledge that Wilcoxon tests are valid only for symmetrical distributions. |
| use a single-sample sign test and a single-sample Wilcoxon signed-rank test to test a hypothesis concerning a population median | Including the use of normal approximations where appropriate. Questions will not involve tied ranks or observations equal to the population median value being tested. |
| use a paired-sample sign test, a Wilcoxon matched-pairs signed-rank test and a Wilcoxon rank-sum test, as appropriate, to test for identity of populations. | Including the use of normal approximations where appropriate. Questions will not involve tied ranks or zero‑difference pairs. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| pahami konsep uji non-parametrik dan persepsi situasi di mana uji semacam itu mungkin berguna | mis. saat mengambil sampel dari populasi yang tidak dapat diasumsikan berdistribusi normal. |
| pahami dasar uji tanda, uji Wilcoxon signed-rank dan uji Wilcoxon rank-sum | Termasuk pengetahuan bahwa uji Wilcoxon hanya valid untuk distribusi simetris. |
| gunakan uji tanda satu sampel dan uji Wilcoxon signed-rank satu sampel untuk menguji hipotesis mengenai median populasi | Termasuk penggunaan pendekatan normal di mana perlu. Soal tidak akan melibatkan peringkat terikat atau observasi yang sama dengan nilai median populasi yang diuji. |
| gunakan uji tanda pasangan sampel, uji Wilcoxon matched-pairs signed-rank dan uji Wilcoxon rank-sum, secukupnya, untuk menguji kesamaan populasi. | Termasuk penggunaan pendekatan normal di mana perlu. Soal tidak akan melibatkan peringkat terikat atau pasangan dengan perbedaan nol. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
A non-parametric test 非参数检验 makes no assumption that the data is normal, so it is useful when that assumption fails. The basic ones are:
Worked example. Test whether a median is $5$. In a sample of $10$ values (none equal to $5$), $9$ lie above $5$ and $1$ lies below. Test at the $5\%$ level (two-tailed).
Under $H_0$ (median $= 5$) the number above follows $B(10, 0.5)$. The observed result ($9$ above) is extreme, so find $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$. For a two-tailed test compare with $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$. Since $0.0107 < 0.025$, reject $H_0$: there is evidence the median is not $5$.
Uji non-parametrik tidak mengasumsikan data berdistribusi normal, sehingga berguna ketika asumsi tersebut tidak terpenuhi. Uji dasar meliputi:
Contoh terpecahkan. Uji apakah sebuah median adalah $5$. Dalam sampel $10$ nilai (tidak ada yang sama dengan $5$), $9$ terletak di atas $5$ dan $1$ terletak di bawahnya. Ujilah pada tingkat $5\%$ (dua sisi).
Di bawah $H_0$ (median $= 5$) jumlah nilai di atas mengikuti $B(10, 0.5)$. Hasil yang diamati ($9$ di atas) bersifat ekstrem, sehingga cari $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$. Untuk uji dua sisi, bandingkan dengan $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$. Karena $0.0107 < 0.025$, tolak $H_0$: terdapat bukti bahwa median bukan $5$.
Choose the rank-based test that matches the data situation. · Pilih uji berbasis peringkat yang sesuai dengan situasi data.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| sign test/saɪn test/ | uji tanda |
| Wilcoxon signed-rank test/ˈwɪlkɒksn saɪnd ræŋk test/ | uji peringkat tanda Wilcoxon |
| Wilcoxon rank-sum test/ˈwɪlkɒksn ræŋk sʌm test/ | uji Wilcoxon rank-sum |
| probability generating function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdʒenəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | fungsi pembangkit peluang |
| Further Probability & Statistics/ˈfɜːðə ˌprɒbəˈbɪlɪti ænd stəˈtɪstɪks/ | Probabilitas & Statistik Lanjutan |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the concept of a probability generating function (PGF) and construct and use the PGF for given distributions | Including the discrete uniform, binomial, geometric and Poisson distributions. |
| use formulae for the mean and variance of a discrete random variable in terms of its PGF, and use these formulae to calculate the mean and variance of a given probability distribution | |
| use the result that the PGF of the sum of independent random variables is the product of the PGFs of those random variables. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| pahami konsep fungsi pembangkit peluang (PGF) dan susun serta gunakan PGF untuk distribusi yang diberikan | Termasuk distribusi seragam diskrit, binomial, geometrik, dan Poisson. |
| gunakan rumus untuk rata-rata dan varians variabel acak diskrit dalam bentuk PGF-nya, dan gunakan rumus-rumus ini untuk menghitung rata-rata dan varians dari suatu distribusi peluang yang diberikan | |
| gunakan hasil bahwa PGF dari jumlah variabel acak independen adalah hasil kali PGF dari variabel-variabel acak tersebut. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
The probability generating function 概率母函数 of a discrete variable $X$ is
Worked example. $X$ has $P(X=0) = 0.5$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.2$. Find $E(X)$ using the PGF.
Here $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$, so $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ and
Fungsi pembangkit peluang dari variabel diskrit $X$ adalah
Contoh terpecahkan. $X$ memiliki $P(X=0) = 0.5$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.2$. Temukan $E(X)$ menggunakan PGF.
Di sini $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$, sehingga $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ dan
G(x) = p0 + p1 x + p2 x^2 + ...
Change x and see how a PGF stores probabilities in powers of x. · Ubah x dan lihat bagaimana PGF menyimpan peluang dalam pangkat x.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.
Past Papers · Soal-Soil Masa Lalu
Loading subjects… · Memuat mata pelajaran…