A-Level Further Mathematics · Matematika Lanjutan A-Level · Topic 1 · Topik 1
14:28
Matematika Murni Lanjutan 1
Berikut persamaan kubik, memotong sumbu di tiga akar. Menemukan akar-akar tersebut secara eksak bisa sulit — atau bahkan mustahil dengan tangan. Namun berikut adalah yang indah…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
This handout covers Topic 1: Further Pure Mathematics 进阶纯数学 1. It adds new algebra, matrices, polar coordinates, more vectors, and proof by induction.
Lembar kerja ini mencakup Topik 1: Matematika Murni Lanjutan 1. Materi ini menambahkan aljabar baru, matriks, koordinat polar, vektor tambahan, dan pembuktian dengan induksi.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • recall and use the relations between the roots and coefficients of polynomial equations | e.g. to evaluate symmetric functions of the roots or to solve problems involving unknown coefficients in equations; restricted to equations of degree 2, 3 or 4 only. |
| • use a substitution to obtain an equation whose roots are related in a simple way to those of the original equation | Substitutions will not be given for the easiest cases, e.g. where the new roots are reciprocals or squares or a simple linear function of the old roots. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • mengingat dan menggunakan hubungan antara akar dan koefisien persamaan polinomial | Mis. untuk mengevaluasi fungsi simetris dari akar atau untuk memecahkan masalah yang melibatkan koefisien tak diketahui dalam persamaan; dibatasi hanya pada persamaan berderajat 2, 3 atau 4. |
| • gunakan substitusi untuk mendapatkan persamaan yang akarnya terkait secara sederhana dengan akar persamaan asli | Substitusi tidak akan diberikan untuk kasus termudah, mis. di mana akar baru adalah resiprokal atau kuadrat atau fungsi linear sederhana dari akar lama. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
For a polynomial equation, the roots 根 are linked to the coefficients 系数. For $ax^2 + bx + c = 0$ with roots $\alpha, \beta$:
Worked example. The equation $x^2 - 5x + 6 = 0$ has roots $\alpha, \beta$. Find the equation with roots $\alpha + 1, \beta + 1$.
Here $\alpha + \beta = 5$ and $\alpha\beta = 6$. The new sum is $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$, and the new product is $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. So the new equation is
Untuk persamaan polinomial, akar-akarnya terkait dengan koefisien-koefisiennya. Untuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan akar $\alpha, \beta$:
Contoh terpecahkan. Persamaan $x^2 - 5x + 6 = 0$ memiliki akar-akar $\alpha, \beta$. Temukan persamaan dengan akar-akar $\alpha + 1, \beta + 1$.
Di sini $\alpha + \beta = 5$ dan $\alpha\beta = 6$. Jumlah baru adalah $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$, dan hasil kali baru adalah $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. Jadi persamaan barunya adalah
y = ax³ + bx² + cx + d
The roots are where the curve meets the x-axis — their sum and product link to the coefficients. · Akar adalah tempat kurva bertemu sumbu x — jumlah dan perkaliannya berkaitan dengan koefisien.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • sketch graphs of simple rational functions, including the determination of oblique asymptotes, in cases where the degree of the numerator and the denominator are at most 2 | Including determination of the set of values taken by the function, e.g. by the use of a discriminant. Detailed plotting of curves will not be required, but sketches will generally be expected to show significant features, such as turning points, asymptotes and intersections with the axes. |
| • understand and use relationships between the graphs of $y = f(x)$, $y^2 = f(x)$, $y = \frac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ and $y = f(|x|)$ | Including use of such sketch graphs in the course of solving equations or inequalities. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • membuat sketsa grafik dari fungsi rasional sederhana, termasuk penentuan asimtot miring, dalam kasus di mana derajat pembilang dan penyebut paling banyak 2 | Termasuk penentuan himpunan nilai yang diambil oleh fungsi, mis. dengan penggunaan diskriminan. Penggambaran kurva secara rinci tidak diperlukan, tetapi sketsa umumnya diharapkan menunjukkan fitur signifikan, seperti titik belok, asimtot dan perpotongan dengan sumbu. |
| • memahami dan menggunakan hubungan antara grafik $y = f(x)$, $y^2 = f(x)$, $y = \frac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ dan $y = f(|x|)$ | Termasuk penggunaan sketsa grafik tersebut dalam penyelesaian persamaan atau pertidaksamaan. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
A rational function 有理函数 is a fraction of two polynomials. When the top has degree exactly one higher than the bottom, the graph has an oblique asymptote 斜渐近线 (a slanted line the curve approaches); find it by dividing out. You should also be able to relate the graph of $y = f(x)$ to those of $y^2 = f(x)$, $y = \dfrac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ and $y = f(|x|)$. Find the set of values the function can take using the discriminant 判别式, and locate its turning points 驻点.
Worked example. Find the oblique asymptote of $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.
Divide out the fraction: $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. As $x \to \pm\infty$ the remainder $\dfrac{1}{x+1} \to 0$, so the curve approaches the line $y = x$ — the oblique asymptote.
Fungsi rasional adalah pecahan dari dua polinomial. Ketika bagian atas berderajat tepat satu lebih tinggi dari bagian bawah, grafik memiliki asimtot miring (garis miring yang didekati kurva); temukan dengan pembagian bersusun. Anda juga harus mampu menghubungkan grafik $y = f(x)$ dengan grafik $y^2 = f(x)$, $y = \dfrac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$, dan $y = f(|x|)$. Temukan himpunan nilai yang dapat diambil fungsi menggunakan diskriminan, dan tentukan titik balik-nya.
Contoh dikerjakan. Temukan asimtot miring dari $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.
Bagilah pecahan tersebut: $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. Karena $x \to \pm\infty$, sisa $\dfrac{1}{x+1} \to 0$, sehingga kurva mendekati garis $y = x$ — asimtot miring.
y = a/(x − b) + c
A rational function has asymptotes the curve approaches but never touches. · Fungsi rasional memiliki asimtot yang didekati kurva tetapi tidak pernah disentuh.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Matematika Murni Lanjutan |
| roots/ruːts/ | roots |
| coefficients/ˌkəʊɪˈfɪʃənts/ | koefisien |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | substitusi |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | fungsi rasional |
| oblique asymptote/əˈbliːk ˈæsɪmptəʊt/ | asimtot miring |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | metode selisih |
| convergent/kənˈvɜːdʒənt/ | konvergen |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | jumlah ke tak hingga |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • use the standard results for $\sum r$, $\sum r^2$, $\sum r^3$ to find related sums | |
| • use the method of differences to obtain the sum of a finite series | Use of partial fractions to express a general term in a suitable form may be required. |
| • recognise, by direct consideration of a sum to $n$ terms, when a series is convergent, and find the sum to infinity in such cases |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • gunakan hasil standar untuk $\sum r$, $\sum r^2$, $\sum r^3$ untuk menemukan jumlah yang terkait | |
| • gunakan metode selisih untuk mendapatkan jumlah deret terbatas | Penggunaan pecahan parsial untuk menyatakan suku umum dalam bentuk yang sesuai mungkin diperlukan. |
| • mengenali, melalui pertimbangan langsung terhadap jumlah $n$ suku, kapan suatu deret konvergen, dan menemukan jumlah tak hingga dalam kasus-kasus seperti itu |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
Learn the standard results:
Worked example. Find $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.
Pelajari hasil standar berikut:
Contoh terarah. Temukan $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.
Step through the terms and the running total — the idea behind a series and its sum to n terms. · Langkahkan suku-suku dan total berjalan — gagasan di balik deret dan jumlahnya hingga n suku.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| carry out operations of matrix addition, subtraction and multiplication, and recognise the terms zero matrix and identity (or unit) matrix | Including non-square matrices. Matrices will have at most 3 rows and columns. |
| recall the meaning of the terms singular and non-singular as applied to square matrices and, for $2 \times 2$ and $3 \times 3$ matrices, evaluate determinants and find inverses of non-singular matrices | The notations $\det \mathbf{M}$ for the determinant of a matrix $\mathbf{M}$, and $\mathbf{I}$ for the identity matrix, will be used. |
| understand and use the result, for non-singular matrices, $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$ | Extension to the product of more than two matrices may be required. |
| understand the use of $2 \times 2$ matrices to represent certain geometric transformations in the $x$-$y$ plane, in particular: – understand the relationship between the transformations represented by $\mathbf{A}$ and $\mathbf{A}^{-1}$ – recognise that the matrix product $\mathbf{AB}$ represents the transformation that results from the transformation represented by $\mathbf{B}$ followed by the transformation represented by $\mathbf{A}$ – recall how the area scale factor of a transformation is related to the determinant of the corresponding matrix – find the matrix that represents a given transformation or sequence of transformations | Understanding of the terms rotation, reflection, enlargement, stretch and shear for 2D transformations will be required. Other 2D transformations may be included, but no particular knowledge of them is expected. |
| understand the meaning of invariant as applied to points and lines in the context of transformations represented by matrices, and solve simple problems involving invariant points and invariant lines. | e.g. to locate the invariant points of the transformation represented by $\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, or to find the invariant lines through the origin for $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, or to show that any line with gradient 1 is invariant for $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| melakukan operasi penjumlahan matriks, pengurangan, dan perkalian, serta mengenali istilah matriks nol dan matriks identitas (atau unit) | Termasuk matriks bukan persegi. Matriks akan memiliki maksimal 3 baris dan kolom. |
| mengingat makna istilah singular dan non-singular yang diterapkan pada matriks persegi, dan untuk matriks $2 \times 2$ dan $3 \times 3$, menghitung determinan dan menemukan invers dari matriks non-singular | Notasi $\det \mathbf{M}$ untuk determinan matriks $\mathbf{M}$, dan $\mathbf{I}$ untuk matriks identitas, akan digunakan. |
| memahami dan menggunakan hasil, untuk matriks non-singular, $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$ | Perluasan ke perkalian lebih dari dua matriks mungkin diperlukan. |
| memahami penggunaan matriks $2 \times 2$ untuk merepresentasikan transformasi geometris tertentu di bidang $x$-$y$, khususnya: – memahami hubungan antara transformasi yang direpresentasikan oleh $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{A}^{-1}$ – mengenali bahwa hasil kali matriks $\mathbf{AB}$ merepresentasikan transformasi yang dihasilkan dari transformasi yang direpresentasikan oleh $\mathbf{B}$ diikuti oleh transformasi yang direpresentasikan oleh $\mathbf{A}$ – mengingat bagaimana faktor skala luas dari sebuah transformasi berkaitan dengan determinan matriks yang sesuai – mencari matriks yang merepresentasikan transformasi atau urutan transformasi tertentu | Pemahaman tentang istilah rotasi, refleksi, perbesaran, regangan, dan geser untuk transformasi 2D akan dibutuhkan. Transformasi 2D lainnya mungkin termasuk, tetapi tidak ada pengetahuan khusus tentangnya yang diharapkan. |
| memahami makna invarian yang diterapkan pada titik dan garis dalam konteks transformasi yang direpresentasikan oleh matriks, dan menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan titik invarian dan garis invarian. | Mis. untuk menandai posisi titik-titik invarian dari transformasi yang direpresentasikan oleh $\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, atau untuk mencari garis-garis invarian yang melalui titik asal untuk $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, atau untuk menunjukkan bahwa setiap garis dengan gradien 1 adalah invarian untuk $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
A matrix 矩阵 is a rectangular block of numbers. Matrix addition adds entries in matching positions; you can also subtract and multiply matrices (multiplication is row $\times$ column). The zero matrix 零矩阵 has every entry $0$, and the identity matrix 单位矩阵 (or unit matrix) $I$ leaves any matrix unchanged under multiplication.
For a $2\times 2$ matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, the determinant 行列式 is $\det A = ad - bc$. If $\det A \neq 0$ the matrix is non-singular (otherwise it is a singular matrix 奇异矩阵), and the inverse matrix 逆矩阵 is
Worked example. Find the inverse of $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.
$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$, so
Sebuah matriks adalah blok persegi panjang dari angka-angka. Penjumlahan matriks menjumlahkan entri pada posisi yang sesuai; Anda juga dapat mengurangkan dan mengalikan matriks (perkalian adalah baris $\times$ kolom). Matriks nol memiliki setiap entri $0$, dan matriks identitas (atau matriks satuan) $I$ tidak mengubah matriks apa pun di bawah perkalian.
Untuk matriks $2\times 2$ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, determinan adalah $\det A = ad - bc$. Jika $\det A \neq 0$ matriks tersebut nonsingular (sebaliknya disebut matriks singular), dan matriks invers adalah
Contoh terarah. Temukan invers dari $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.
$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$, jadi
Change the four entries and watch the unit square map to a new shape. The determinant is the area scale factor. · Ubah empat entri dan saksikan persegi satuan dipetakan ke bentuk baru. Determinan adalah faktor skala luas.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | matriks |
| zero matrix/ˈzɪərəʊ ˈmeɪtrɪks/ | matriks nol |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | matriks identitas |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | determinan |
| singular matrix/ˈsɪŋɡjʊlə ˈmeɪtrɪks/ | matriks singular |
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | matriks invers |
| geometric transformation/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformasi geometri |
| invariant points/ɪnˈveərɪənt pɔɪnts/ | titik invarian |
| invariant lines/ɪnˈveərɪənt laɪnz/ | garis invarian |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | koordinat polar |
| Cartesian coordinates/kɑːˈtiːzɪən kəʊˈɔːdɪnəts/ | koordinat Kartesius |
| polar curves/ˈpəʊlə kɜːvz/ | kurva polar |
| plane/pleɪn/ | bidang |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the relations between Cartesian and polar coordinates, and convert equations of curves from Cartesian to polar form and vice versa | The convention $r \geqslant 0$ will be used. |
| sketch simple polar curves, for $0 \leqslant \theta < 2\pi$ or $-\pi < \theta \leqslant \pi$ or a subset of either of these intervals | Detailed plotting of curves will not be required, but sketches will generally be expected to show significant features, such as symmetry, coordinates of intersections with the initial line, the form of the curve at the pole and least/greatest values of $r$. |
| recall the formula $\frac{1}{2} \int r^2 \mathrm{d}\theta$ for the area of a sector, and use this formula in simple cases. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| memahami hubungan antara koordinat Kartesius dan koordinat polar, serta mengonversi persamaan kurva dari bentuk Kartesius ke bentuk polar dan sebaliknya | Konvensi $r \geqslant 0$ akan digunakan. |
| membuat sketsa kurva polar sederhana, untuk $0 \leqslant \theta < 2\pi$ atau $-\pi < \theta \leqslant \pi$ atau bagian dari kedua interval tersebut | Penggambaran detail kurva tidak diperlukan, namun sketsa umumnya diharapkan menunjukkan fitur-fitur penting, seperti simetri, koordinat perpotongan dengan garis awal, bentuk kurva di kutub, dan nilai terkecil/terbesar dari $r$. |
| mengingat rumus $\frac{1}{2} \int r^2 \mathrm{d}\theta$ untuk luas juring, dan menggunakan rumus ini dalam kasus-kasus sederhana. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
Polar coordinates 极坐标 give a point by its distance $r$ from the origin and its angle $\theta$. They link to Cartesian coordinates 直角坐标 by
You should sketch simple polar curves 极坐标曲线, and find the area of a sector with
Worked example. Convert the polar equation $r = 4\cos\theta$ to Cartesian form.
Multiply both sides by $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$, so $x^2 + y^2 = 4x$. Completing the square gives $(x - 2)^2 + y^2 = 4$, a circle of radius $2$ centred at $(2, 0)$.
Koordinat polar menentukan titik oleh jaraknya $r$ dari titik asal dan sudutnya $\theta$. Mereka terhubung ke koordinat Kartesius melalui
Anda harus menggambar sketsa kurva polar sederhana, dan menemukan luas sektor dengan
Contoh terarah. Konversikan persamaan polar $r = 4\cos\theta$ ke bentuk Kartesius.
Kalikan kedua ruas dengan $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$, sehingga $x^2 + y^2 = 4x$. Melengkapi kuadrat menghasilkan $(x - 2)^2 + y^2 = 4$, sebuah lingkaran berjari-jari $2$ berpusat di $(2, 0)$.
Pick a curve and change a. In polar form a point is set by its distance r and angle θ — that draws roses, cardioids and spirals. · Pilih kurva dan ubah a. Dalam bentuk polar, suatu titik ditentukan oleh jarak r dan sudut θ — itu menghasilkan mawar, kardioida, dan spiral.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use the equation of a plane in any of the forms $ax + by + cz = d$ or $\mathbf{r.n} = p$ or $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$ and convert equations of planes from one form to another as necessary in solving problems | |
| recall that the vector product $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ of two vectors can be expressed either as $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\hat{\mathbf{n}}$, where $\hat{\mathbf{n}}$ is a unit vector, or in component form as $(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$ | |
| use equations of lines and planes, together with scalar and vector products where appropriate, to solve problems concerning distances, angles and intersections, including: – determining whether a line lies in a plane, is parallel to a plane or intersects a plane, and finding the point of intersection of a line and a plane when it exists – finding the foot of the perpendicular from a point to a plane – finding the angle between a line and a plane, and the angle between two planes – finding an equation for the line of intersection of two planes – calculating the shortest distance between two skew lines – finding an equation for the common perpendicular to two skew lines. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| menggunakan persamaan bidang dalam salah satu bentuk $ax + by + cz = d$ atau $\mathbf{r.n} = p$ atau $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$ dan mengonversi persamaan bidang dari satu bentuk ke bentuk lain jika diperlukan dalam memecahkan masalah | |
| mengingat bahwa produk vektor $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ dari dua vektor dapat dinyatakan baik sebagai $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\hat{\mathbf{n}}$, di mana $\hat{\mathbf{n}}$ adalah vektor satuan, atau dalam bentuk komponen sebagai $(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$ | |
| menggunakan persamaan garis dan bidang, bersama dengan produk skalar dan vektor di mana tepat, untuk memecahkan masalah mengenai jarak, sudut, dan irisan, termasuk: – menentukan apakah sebuah garis terletak dalam bidang, sejajar dengan bidang, atau berpotongan dengan bidang, dan menemukan titik potong antara garis dan bidang jika ada – finding the foot of the perpendicular from a point to a plane – finding the angle between a line and a plane, and the angle between two planes – finding an equation for the line of intersection of two planes – calculating the shortest distance between two skew lines – finding an equation for the common perpendicular to two skew lines. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
In three dimensions a plane 平面 can be written as $ax + by + cz = d$, or $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$, or $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$. Besides the scalar product, there is the vector product 向量积 of two vectors 向量:
Worked example. Find $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ for $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ and $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.
Dalam tiga dimensi, sebuah bidang dapat ditulis sebagai $ax + by + cz = d$, atau $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$, atau $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$. Selain hasil kali skalar, terdapat hasil kali vektor dari dua vektor:
Contoh terarah. Temukan $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ untuk $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ dan $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.
a · b = |a||b|cos θ
The dot product is zero exactly when two vectors are perpendicular. · Perkalian titik adalah nol tepat ketika dua vektor tegak lurus.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/ | perkalian vektor |
| vectors/ˈvektəz/ | vektor |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | garis miring |
| mathematical induction/ˌmæθɪˈmætɪkl ɪnˈdʌkʃn/ | induksi matematika |
| conjecture/kənˈdʒektʃə/ | konjektur |
| inductive proof/ɪnˈdʌktɪv pruːf/ | bukti induksi |
| symmetric functions/sɪˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | fungsi simetris |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | diskriminan |
| turning points/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnts/ | titik balik |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | pecahan parsial |
| rotation/rəʊˈteɪʃn/ | rotasi |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | pemantulan |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | pembesaran |
| stretch/stretʃ/ | peregangan |
| shear/ʃɪə/ | geser (shear) |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use the method of mathematical induction to establish a given result | e.g. $\sum_{r=1}^{n} r^4 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$, $u_n = \frac{1}{2}(1 + 3^{n-1})$ for the sequence given by $u_{n+1} = 3u_n - 1$ and $u_1 = 1$, $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 3 \times 2^n - 2 & 1 - 2^n \\ 3 \times 2^{n+1} - 6 & 3 - 2^{n+1} \end{pmatrix}$, $3^{2n} + 2 \times 5^n - 3$ is divisible by 8. |
| recognise situations where conjecture based on a limited trial followed by inductive proof is a useful strategy, and carry this out in simple cases. | e.g. find the $n$th derivative of $x e^x$, find $\sum_{r=1}^{n} r \times r!$. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| menggunakan metode induksi matematika untuk menetapkan suatu hasil yang diberikan | Mis. $\sum_{r=1}^{n} r^4 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$, $u_n = \frac{1}{2}(1 + 3^{n-1})$ untuk sekuens yang diberikan oleh $u_{n+1} = 3u_n - 1$ dan $u_1 = 1$, $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 3 \times 2^n - 2 & 1 - 2^n \\ 3 \times 2^{n+1} - 6 & 3 - 2^{n+1} \end{pmatrix}$, $3^{2n} + 2 \times 5^n - 3$ habis dibagi 8. |
| mengenali situasi di mana konjektur berdasarkan uji terbatas diikuti oleh pembuktian induktif merupakan strategi yang berguna, dan melaksanakannya dalam kasus-kasus sederhana. | Mis. cari turunan ke-$n$ dari $x e^x$, cari $\sum_{r=1}^{n} r \times r!$. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
Mathematical induction 数学归纳法 proves a result for every positive integer $n$ in two steps:
If both steps work, the result is true for all $n$. Often you first make a conjecture 猜想 (a sensible guess) from a few cases, then confirm it by inductive proof 归纳证明.
Worked example. Prove that $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.
Base case $n = 1$: the left side is $1$ and the right side is $\tfrac12(1)(2) = 1$. True. Inductive step: assume $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. Then
Induksi matematika membuktikan suatu hasil untuk setiap bilangan bulat positif $n$ dalam dua langkah:
Jika kedua langkah berhasil, hasilnya benar untuk semua $n$. Seringkali Anda terlebih dahulu membuat konjektur (tebakan yang masuk akal) dari beberapa kasus, lalu mengonfirmasinya dengan pembuktian induktif.
Contoh terarah. Buktikan bahwa $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.
Kasus dasar $n = 1$: sisi kiri adalah $1$ dan sisi kanan adalah $\tfrac12(1)(2) = 1$. Benar. Langkah induktif: asumsikan $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. Maka
See induction as a first domino plus a rule that pushes every next case. · Anggap induksi sebagai domino pertama ditambah aturan yang mendorong setiap kasus berikutnya.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.
Past Papers · Soal-Soil Masa Lalu
Loading subjects… · Memuat mata pelajaran…