A-Level Further Mathematics · Matematika Lanjutan A-Level · Topic 3 · Topik 3
8:04
Mekanika Lanjutan
Lempar bola, tembakkan jet air, luncurkan apa pun ke udara — dan benda tersebut akan mengikuti kurva yang sama yang elegan: parabola. Rahasianya adalah memecah gerakan menjadi dua.…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
This handout covers Topic 3: Further Mechanics 进阶力学. It extends mechanics to projectiles, rigid bodies, circular motion, elastic strings, variable forces and collisions. Take $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
Lembar kerja ini mencakup Topik 3: Mekanika Lanjutan. Materi ini memperluas mekanika ke proyektil, benda kaku, gerak melingkar, tali elastis, gaya variabel, dan tumbukan. Ambil $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • model the motion of a projectile as a particle moving with constant acceleration and understand any limitations of the model | Vector methods are not required |
| • use horizontal and vertical equations of motion to solve problems on the motion of projectiles, including finding the magnitude and direction of the velocity at a given time or position, the range on a horizontal plane and the greatest height reached | |
| • derive and use the Cartesian equation of the trajectory of a projectile, including problems in which the initial speed and/or angle of projection may be unknown. | Knowledge of the 'bounding parabola' for accessible points is not included. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • modelkan gerak peluru sebagai partikel yang bergerak dengan percepatan konstan dan pahami keterbatasan model tersebut | Metode vektor tidak diperlukan |
| • gunakan persamaan gerak horizontal dan vertikal untuk menyelesaikan masalah gerak peluru, termasuk menemukan besaran dan arah kecepatan pada waktu atau posisi tertentu, jangkauan pada bidang horizontal dan ketinggian maksimum yang dicapai | |
| • turunkan dan gunakan persamaan Kartesius lintasan peluru, termasuk masalah di mana kecepatan awal dan/atau sudut tembak mungkin tidak diketahui. | Pengetahuan tentang 'parabola batas' untuk titik-titik yang dapat dicapai tidak termasuk. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
A projectile 抛射体 moves freely under gravity, so it has constant acceleration 匀加速 $g$ downwards and no horizontal acceleration. Treat the horizontal and vertical motions separately. If it is launched at speed $u$ and angle $\alpha$:
Worked example. A ball is thrown at $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ at $30^\circ$ to the horizontal. Find the range and greatest height.
Sebuah proyektil bergerak bebas di bawah gravitasi, sehingga mengalami percepatan konstan $g$ ke bawah dan tidak ada percepatan horizontal. Perlakukan gerak horizontal dan vertikal secara terpisah. Jika diluncurkan dengan kecepatan $u$ dan sudut $\alpha$:
Contoh terpecahkan. Sebuah bola dilempar dengan kecepatan $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ pada sudut $30^\circ$ terhadap horizontal. Tentukan jarak jangkauan dan ketinggian maksimum.
Fire the ball, then change the angle and speed. The horizontal motion is steady while gravity pulls it down — together they trace a parabola. Find the angle for the longest range, and try the Moon. · Tembak bola, lalu ubah sudut dan kecepatan. Gerak horizontal tetap konstan sementara gravitasi menariknya ke bawah — bersama-sama mereka melacak parabola. Temukan sudut untuk jangkauan terjauh, dan coba di Bulan.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| Further Mechanics/ˈfɜːðə mɪˈkænɪks/ | Mekanika Lanjutan |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | proyektil |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | percepatan konstan |
| Cartesian equation/kɑːˈtiːzɪən ɪˈkweɪʒn/ | persamaan Kartesius |
| trajectory/trəˈdʒektəri/ | lintasan |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • calculate the moment of a force about a point | For questions involving coplanar forces only; understanding of the vector nature of moments is not required. |
| • use the result that the effect of gravity on a rigid body is equivalent to a single force acting at the centre of mass of the body, and identify the position of the centre of mass of a uniform body using considerations of symmetry | |
| • use given information about the position of the centre of mass of a triangular lamina and other simple shapes | Proofs of results given in the MF19 List of formulae are not required. |
| • determine the position of the centre of mass of a composite body by considering an equivalent system of particles | Simple cases only, e.g. a uniform L-shaped lamina, or a uniform cone joined at its base to a uniform hemisphere of the same radius. |
| • use the principle that if a rigid body is in equilibrium under the action of coplanar forces then the vector sum of the forces is zero and the sum of the moments of the forces about any point is zero, and the converse of this | |
| • solve problems involving the equilibrium of a single rigid body under the action of coplanar forces, including those involving toppling or sliding. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • hitung momen gaya terhadap suatu titik | Untuk soal yang melibatkan gaya koplanar saja; pemahaman mengenai sifat vektor dari momen tidak diperlukan. |
| • gunakan hasil bahwa efek gravitasi pada benda kaku setara dengan satu gaya yang bekerja pada pusat massa benda tersebut, dan tentukan posisi pusat massa dari benda seragam menggunakan pertimbangan simetri | |
| • gunakan informasi yang diberikan tentang posisi pusat massa dari pelat segitiga dan bentuk sederhana lainnya | Pembuktian hasil yang diberikan dalam Daftar Rumus MF19 tidak diperlukan. |
| • tentukan posisi pusat massa dari benda komposit dengan mempertimbangkan sistem partikel ekuivalen | Kasus-kasus sederhana saja, mis. pelat L-shaped seragam, atau kerucut seragam yang disambungkan pada dasarnya ke hemisfer seragam dengan jari-jari yang sama. |
| • gunakan prinsip bahwa jika sebuah benda kaku berada dalam keseimbangan di bawah aksi gaya-gaya koplanar maka jumlah vektor gayanya adalah nol dan jumlah momen gaya-gaya tersebut terhadap sembarang titik adalah nol, serta konversinya | |
| • selesaikan masalah yang melibatkan keseimbangan satu benda kaku di bawah aksi gaya-gaya koplanar, termasuk yang melibatkan terbalik atau meluncur. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
The moment 力矩 of a force about a point is force $\times$ perpendicular distance; it measures turning effect. The weight of a body acts at its centre of mass 质心, which you can find using symmetry 对称 for a uniform flat shape (a lamina 薄片), or by treating a composite body as a set of particles.
A rigid body under coplanar forces 共面力 is in equilibrium 平衡 when two conditions both hold: the vector sum of the forces is zero, and the sum of the moments about any point is zero. A body may also be on the edge of toppling 翻倒 (turning over) or sliding 滑动 (slipping).
Worked example. A uniform beam $AB$ of length $4\ \text{m}$ and weight $100\ \text{N}$ rests on a pivot at $A$. A vertical force $F$ at $B$ keeps it horizontal. Find $F$.
Take moments about $A$ (the weight acts at the centre, $2\ \text{m}$ from $A$):
Momen gaya terhadap suatu titik adalah gaya $\times$ dikali jarak tegak lurus; momen mengukur efek memutar. Berat tubuh bekerja pada pusat massa, yang dapat Anda temukan menggunakan simetri untuk bidang datar seragam (lamina), atau dengan menganggap benda majemuk sebagai kumpulan partikel.
Benda kaku di bawah gaya koplanar berada dalam kesetimbangan ketika dua kondisi terpenuhi: jumlah vektor gayanya nol, dan jumlah momen terhadap titik apa pun juga nol. Benda juga mungkin berada di ambang terbalik (mengguling) atau meluncur (slip).
Contoh terpecahkan. Sebuah balok seragam $AB$ dengan panjang $4\ \text{m}$ dan berat $100\ \text{N}$ bertumpu pada sebuah tumpuan di $A$. Gaya vertikal $F$ di $B$ menahannya tetap horizontal. Tentukan $F$.
Ambil momen terhadap $A$ (berat bekerja di tengah, $2\ \text{m}$ dari $A$):
resultant = 0 · resultan = 0
A body is in equilibrium when the forces add tip-to-tail back to zero. · Benda berada dalam kesetimbangan ketika gaya-gaya yang bekerja ujung-ke-ujung kembali ke nol.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| moment/ˈməʊmənt/ | momen |
| centre of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | pusat massa |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | simetri |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | kesetimbangan |
| toppling/ˈtɒplɪŋ/ | terjun |
| sliding/ˈslaɪdɪŋ/ | meluncur |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | kelajuan sudut |
| centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/ | percepatan sentripetal |
| horizontal circle/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈsɜːkl/ | lingkaran horizontal |
| vertical circle/ˈvɜːtɪkl ˈsɜːkl/ | lingkaran vertikal |
| Hooke's law/hʊks lɔː/ | Hukum Hooke |
| modulus of elasticity/ˈmɒdjʊləs ɒv ɪlæˈstɪsɪti/ | modulus elastisitas |
| elastic potential energy/ɪˈlæstɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | energi potensial elastis |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | persamaan diferensial |
| lamina/ˈlæmɪnə/ | lamina |
| coplanar forces/ˌkəʊˈpleɪnə ˈfɔːsɪz/ | gaya koplanar |
| conical pendulum/ˈkɒnɪkl ˈpendjʊləm/ | pendulum kerucut |
| normal contact force/ˈnɔːml ˈkɒntækt fɔːs/ | gaya kontak normal |
| oblique impact/əˈbliːk ˈɪmpækt/ | dampak miring |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the concept of angular speed for a particle moving in a circle, and use the relation $v = r\omega$ | |
| understand that the acceleration of a particle moving in a circle with constant speed is directed towards the centre of the circle, and use the formulae $r\omega^2$ and $\frac{v^2}{r}$. | Proof of the acceleration formulae is not required. |
| solve problems which can be modelled by the motion of a particle moving in a horizontal circle with constant speed | |
| solve problems which can be modelled by the motion of a particle in a vertical circle without loss of energy. | Including finding a normal contact force or the tension in a string, locating points at which these are zero, and conditions for complete circular motion. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| pahami konsep kecepatan sudut untuk partikel yang bergerak dalam lingkaran, dan gunakan hubungan $v = r\omega$ | |
| pahami bahwa percepatan partikel yang bergerak dalam lingkaran dengan kecepatan konstan diarahkan menuju pusat lingkaran, dan gunakan rumus $r\omega^2$ dan $\frac{v^2}{r}$. | Pembuktian rumus percepatan tidak diperlukan. |
| selesaikan masalah yang dapat dimodelkan oleh gerak partikel yang bergerak dalam lingkaran horizontal dengan kecepatan konstan | |
| selesaikan masalah yang dapat dimodelkan oleh gerak partikel dalam lingkaran vertikal tanpa kehilangan energi. | Termasuk menemukan gaya kontak normal atau tegangan pada tali, menentukan titik di mana keduanya bernilai nol, dan kondisi untuk gerak melingkar penuh. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
For a particle moving in a circle of radius $r$, the angular speed 角速度 $\omega$ links to the speed by $v = r\omega$. The acceleration points towards the centre — the centripetal acceleration 向心加速度 — with size
In a horizontal circle 水平圆 the speed is constant — as in a conical pendulum 圆锥摆 (a mass swung on a string). In a vertical circle 竖直圆 use energy conservation, because the speed changes with height; the normal contact force 法向接触力 or string tension provides the centripetal force.
Worked example. A particle moves in a horizontal circle of radius $2\ \text{m}$ with angular speed $3\ \text{rad s}^{-1}$. Find its speed and acceleration.
Untuk partikel yang bergerak dalam lingkaran berjari-jari $r$, kecepatan sudut $\omega$ terhubung dengan kecepatan melalui $v = r\omega$. Percepatan mengarah ke pusat — percepatan sentripetal — dengan besaran
Dalam lingkaran horizontal kecepatannya konstan — seperti pada bandul kerucut (massa yang diayunkan pada tali). Dalam lingkaran vertikal gunakan kekekalan energi, karena kecepatan berubah seiring ketinggian; gaya kontak normal atau tegangan tali menyediakan gaya sentripetal.
Contoh terpecahkan. Partikel bergerak dalam lingkaran horizontal berjari-jari $2\ \text{m}$ dengan kecepatan sudut $3\ \text{rad s}^{-1}$. Temukan kecepatannya dan percepatannya.
Circular motion is measured in radians: drag the angle θ and radius r to see the arc swept — angular speed ω turns this into v = rω. · Gerak melingkar diukur dalam radian: seret sudut θ dan jari-jari r untuk melihat busur yang disapu — kecepatan sudut ω mengubah ini menjadi v = rω.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use Hooke’s law as a model relating the force in an elastic string or spring to the extension or compression, and understand the term modulus of elasticity | |
| use the formula for the elastic potential energy stored in a string or spring | Proof of the formula is not required. |
| solve problems involving forces due to elastic strings or springs, including those where considerations of work and energy are needed. | e.g. a particle moving horizontally or vertically or on an inclined plane while attached to one or more strings or springs, or a particle attached to an elastic string acting as a 'conical pendulum'. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| gunakan Hukum Hooke sebagai model yang mengaitkan gaya dalam tali elastis atau pegas dengan pertambahan panjang atau pemampatan, dan pahami istilah modulus kekakuan | |
| gunakan rumus untuk energi potensial elastis yang tersimpan dalam tali atau pegas | Pembuktian rumus tidak diperlukan. |
| selesaikan masalah yang melibatkan gaya akibat tali elastis atau pegas, termasuk di mana pertimbangan kerja dan energi diperlukan. | mis. partikel yang bergerak secara horizontal, vertikal, atau pada bidang miring sambil terikat pada satu atau lebih tali/pegas, atau partikel yang terikat pada tali elastis yang bertindak sebagai 'pendulum kerucut'. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
Hooke's law 胡克定律 says the tension in an elastic string or spring is proportional to its extension $x$:
Worked example. An elastic string of natural length $2\ \text{m}$ and modulus $50\ \text{N}$ is stretched by $0.5\ \text{m}$. Find the tension and the stored energy.
Hukum Hooke menyatakan bahwa tegangan dalam tali elastis atau pegas sebanding dengan perpanjangannya $x$:
Contoh terpecahkan. Tali elastis dengan panjang alami $2\ \text{m}$ dan modulus $50\ \text{N}$ diregangkan sejauh $0.5\ \text{m}$. Temukan tegangan dan energi yang tersimpan.
F = k·x
Force is proportional to extension — the gradient is the stiffness k. · Gaya berbanding lurus dengan regangan — gradiennya adalah kekakuan k.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| solve problems which can be modelled as the linear motion of a particle under the action of a variable force, by setting up and solving an appropriate differential equation. | Including use of $v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ for acceleration, where appropriate. Calculus required is restricted to content from Pure Mathematics 3 in Cambridge International A Level Mathematics (9709). Only differential equations in which the variables are separable are included. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| selesaikan masalah yang dapat dimodelkan sebagai gerak linear partikel di bawah aksi gaya variabel, dengan menyusun dan menyelesaikan persamaan diferensial yang sesuai. | Termasuk penggunaan $v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ untuk percepatan, di mana sesuai. Kalkulus yang dibutuhkan dibatasi pada materi dari Pure Mathematics 3 dalam Cambridge International A Level Mathematics (9709). Hanya persamaan diferensial di mana variabelnya dapat dipisahkan yang termasuk. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
When the force depends on position $x$, use acceleration in the form $a = v\dfrac{dv}{dx}$, which turns Newton's law into a differential equation 微分方程 relating $v$ and $x$.
Worked example. A particle of mass $8\ \text{kg}$ moves along a line under a variable force 变力 of size $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ acting in the direction of motion. When $x = 0$, $v = 1$. Find $v$ in terms of $x$.
Newton's law gives $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Separating and integrating:
Ketika gaya bergantung pada posisi $x$, gunakan percepatan dalam bentuk $a = v\dfrac{dv}{dx}$, yang mengubah hukum Newton menjadi persamaan diferensial yang menghubungkan $v$ dan $x$.
Contoh terpecahkan. Sebuah partikel bermassa $8\ \text{kg}$ bergerak sepanjang garis di bawah gaya yang berubah-ubah sebesar $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ yang bekerja searah gerak. Ketika $x = 0$, $v = 1$. Temukan $v$ dalam bentuk $x$.
Hukum Newton menghasilkan $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Pisahkan dan integralkan:
W = ∫ F dx
When the force changes, the work done is the area under the force–distance graph. · Ketika gaya berubah, usaha yang dilakukan adalah luas di bawah grafik gaya–jarak.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| variable force/ˈveərɪəbl fɔːs/ | gaya variabel |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | kekekalan momentum |
| Newton's experimental law/ˈnjuːtnz ekˌsperɪˈmentl lɔː/ | hukum eksperimen Newton |
| coefficient of restitution/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv rɪstɪˈtjuːʃn/ | koefisien restitusi |
| bounding parabola/ˈbaʊndɪŋ pəˈræbələ/ | parabola pembatas |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| recall Newton’s experimental law and the definition of the coefficient of restitution, the property $0 \leqslant e \leqslant 1$, and the meaning of the terms ‘perfectly elastic’ ($e = 1$) and ‘inelastic’ ($e = 0$) | |
| use conservation of linear momentum and/or Newton’s experimental law to solve problems that may be modelled as the direct or oblique impact of two smooth spheres, or the direct or oblique impact of a smooth sphere with a fixed surface. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| ingat hukum eksperimental Newton dan definisi koefisien restitusi, properti $0 \leqslant e \leqslant 1$, dan arti istilah 'elastis sempurna' ($e = 1$) dan 'inelastis' ($e = 0$) | |
| gunakan kekekalan momentum linear dan/atau hukum eksperimental Newton untuk menyelesaikan masalah yang dapat dimodelkan sebagai tumbukan langsung atau tumbukan miring dua bola licin, atau tumbukan langsung atau tumbukan miring bola licin dengan permukaan tetap. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
In a collision, total linear momentum is conserved — the conservation of linear momentum 动量守恒. The bounciness is measured by Newton's experimental law 牛顿实验定律, which defines the coefficient of restitution 恢复系数 $e$:
Worked example. A sphere $A$ of mass $2\ \text{kg}$ moving at $5\ \text{m s}^{-1}$ hits a stationary sphere $B$ of mass $3\ \text{kg}$, with $e = 0.5$. Find the speeds afterwards.
Momentum: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, so $2v_A + 3v_B = 10$. Restitution: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Solving together gives $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ and $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
Dalam tumbukan, momentum linear total kekal — kekekalan momentum linear. Kelenturan diukur oleh hukum eksperimental Newton, yang mendefinisikan koefisien restitusi $e$:
Contoh terpecahkan. Sebuah bola $A$ bermassa $2\ \text{kg}$ bergerak pada $5\ \text{m s}^{-1}$ menabrak bola diam $B$ bermassa $3\ \text{kg}$, dengan $e = 0.5$. Temukan kecepatannya afterwards.
Momentum: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, sehingga $2v_A + 3v_B = 10$. Restitusi: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Menyelesaikan bersama-sama menghasilkan $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ dan $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
Set each mass and speed, then collide them. Total momentum is conserved — see how the velocities come out. · Setel massa dan kecepatan masing-masing, lalu tabrakan mereka. Total momentum kekal — lihat bagaimana kecepatannya keluar.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.
Past Papers · Soal-Soil Masa Lalu
Loading subjects… · Memuat mata pelajaran…