מסמך זה מכסה את נושא 7, טרנספורמציות ווקטורים. חלקים מסומנים (להרחבה) נבדקים רק במבחני ההרחבה; שאר החומר מתאים לשני הרמות. נושא הווקטורים כולו נבדק ברמת ההרחבה.
המרות ווקטורים
מתמטיקה IGCSE · נושא 7
7:56
המרות ווקטורים
הסתכל על הקיר הזה. זה נראה מורכב — מאות צורות ננעלות זו בזו. אבל לא אחד שרטט כל חתיכה. מישהו שרטט צורה קטנה אחת, ואז הזיז אותה שוב…
קריאת קול באנגלית · תרגום אנגלי + סינית שרוף בתוך הסרטון
7.1
טרנספורמציות
סיילבוס
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| זיהה, תאר וצייר את הטרנספורמציות הבאות: | השאלות לא יכללו שילובים של טרנספורמציות. יש להשתמש בסרגל בכל הקווים הישרים. |
| 1 החזר של צורה בקו אנכי או אופקי. | |
| 2 סיבוב של צורה סביב הראשית, קודקודים או אמצעי צלעות הצורה, בסיבובים כפולים של 90°. | |
| 3 הגדלת צורה ממרכז באמצעות מקדם קנה מידה. | רק מקדמי קנה מידה חיוביים ושבריים. |
| 4 הזזה של צורה על ידי וקטור $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
| תמורות | הערות ותמונות |
|---|---|
| לזהות, לתאר ולעבור על התמורות הבאות: | השאלות עשויות לכלול שילובים של תמורות. יש להשתמש בסרגל לכל הקווים הישרים. |
| 1 סימטריה (השתקפות) של צורה ביחס לקו ישר. | |
| 2 סיבוב של צורה סביב נקודת מרכז בזוויות כפולות של 90°. | |
| 3 הגדלה של צורה ממרכז עם מקדם הדמייה. | ניתן להשתמש במקדמי הדמייה חיוביים, שבריים ושליליים. |
| 4 הזזה של צורה על ידי וקטור $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
טרנספורמציה משנה את מיקום או גודל של צורה. המקור הוא האובייקט והתוצאה היא התמונה. ישנם ארבעה סוגים. כאשר מבקשים לל描述 טרנספורמציה, עליך לתאר את הסוג ולתת את כל הפרטים למטה.
השתקפות
השתקפות הופכת את הצורה מעבר לקו מראה. כל נקודה בתמונה נמצאת באותו מרחק מקו המראה כמו נקודת האובייקט, בצד השני.
- כדי לתאר זאת, נתנו את משוואת קו המראה (בלימודי ליבה, קו אופקי או אנכי; בלימודים מורחבים מותר כל קו כמו $y = x$).
דוגמה מוצגת. השקפו את הנקודה $(3, 2)$ ביחס לציר ה-$y$. רק הסימן של $x$ משתנה: התמונה היא $(-3, 2)$. (ביחס לציר ה-$x$ הייתה תמונתה $(3, -2)$.)
סיבוב
סיבוב מסובב את הצורה סביב נקודה קבועה, מרכז הסיבוב, בזוויות הכפולה של $90^{\circ}$.
- כדי לתאר זאת, נתנו את מרכז הסיבוב, הזווית והכיוון (עם כיוון השעון או נגד כיוון השעון).
דוגמה מוצגת. סובבו את $(3, 1)$ ב-$90^{\circ}$ נגד כיוון השעון סביב הראשית. הכלל הוא $(x, y) \to (-y, x)$, ולכן התמונה היא $(-1, 3)$.
הגדלה
הגדלה משנה את גודל הצורה על ידי גורם קנה $k$, הנמדד ממרכז קבוע. כל מרחק מהמרכז מכפיל ב-$k$.
- כדי לתאר אותו, תנו את המרכז וגורם הקנה. גורם קנה שברי (בין 0 ל-1) מקטין את הצורה. למתקדם, $k$ עשוי להיות גם שלילי (התמונה מופיעה בצד השני של המרכז).
דוגמה מוצגת. הגדילו את $(1, 2)$ מהראשית בגורם קנה $2$. הכפילו את שני הקואורדינטות: התמונה היא $(2, 4)$.
העברה
העברה מזיזה את הצורה ללא סיבוב, לפי ווקטור הכתוב כ-ווקטור עמודה $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ($x$ ימינה, $y$ למעלה).
דוגמה מוצגת. העבירו את $(5, 3)$ לפי $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$: הזיזו $2$ שמאלה ו-$4$ למעלה כדי לקבל את $(3, 7)$.
(הרחבה: שאלה עשויה לבקש משלך לשלב בין שתי טרנספורמציות ולתאר את הטרנספורמציה היחידה שמייצרת את אותה השפעה.)
חקור
שינוי צורה
הזז, השתקף, סובב או הגדל את הצורה וצפה לאיפה היא נפלת.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | המרה |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | השתקפות |
| mirror line/ˈmɪrə laɪn/ | קו סימטריה |
| rotation/rəʊˈteɪʃn/ | סיבוב |
| centre/ˈsentə/ | מרכז |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | הרחבת תפקידים |
| scale factor/skeɪl ˈfæktə/ | גורם קנה מידה |
| translation/trænˈsleɪʃn/ | טרנסלציה |
7.2
וקטורים בממדיים (הרחבה)
סיילבוס
| וקטורים בממדיים | הערות ותמונות |
|---|---|
| 1 תאר הזזה באמצעות וקטור המיוצג על ידי $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}$ או $\mathbf{a}$. | הווקטורים יודפסו כ$\overrightarrow{AB}$ או כ$\mathbf{a}$. |
| 2 הוספה וחיסור של וקטורים. | |
| 3 הכפלת וקטור במספר (סקאלר). |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
לקוונטור יש גם גודל וגם כיוון. ניתן לכתוב אותו כוקטור עמודה, כ$\overrightarrow{AB}$ (מ$A$ ל$B$), או בדגשים כ$\mathbf{a}$.
- להוסיף או להחסיר על ידי עיבוד בנפרד על המספר העליון והמספר התחתון.
- לכפול בקבוע סקלרי (מסרגיל) על ידי הכפלת שני המספרים.
דוגמה מופרשת. אם $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ ו-$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, אז
$$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}, \qquad 3\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}.$$
חקור
הוספת וקטורים
גרור שני וקטורים והוסף אותם קצה לקצה כדי לקבל את הווקטור התוצא.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | מסיר מחלות |
| column vector/ˈkɒlʌm ˈvektə/ | וקטור עמודה |
| scalar/ˈskeɪlə/ | סקאלר |
7.3
הגודל של וקטור (הרחבה)
סיילבוס
| גודל של וקטור | הערות ומינים |
|---|---|
| חשב את הגודל של וקטור $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ כ $\sqrt{x^2 + y^2}$. | הגדלים של וקטורים מסומנים בסימני מודולוס, לדוגמה: • $|\mathbf{a}|$ הוא הגודל של $\mathbf{a}$ • $|\overrightarrow{AB}|$ הוא הגודל של $\overrightarrow{AB}$. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
הגודל (אורך) של וקטור נמצא באמצעות פיתגורס. עבור $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$,
$$\left| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.$$
דוגמה מופיעה. הגודל של $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ הוא $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | גודל |
| directed line segment/daɪˈrektɪd laɪn ˈseɡmənt/ | קטע ישר מכוון |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | וקטור מיקום |
| parallel/ˈpærəlel/ | מקביל |
| collinear/ˈkɒlɪnɪə/ | קו-קווי |
| coplanar/ˌkəʊˈpleɪnə/ | ישוריים |
7.4
גיאומטריה של וקטורים (הרחבה)
סיילבוס
| גיאומטריה של וקטורים | הערות ומינים |
|---|---|
| 1 נציג וקטורים בקטעי קווים מכוונים. | |
| 2 השתמש בווקטורי מיקום. | |
| 3 השתמש בסכום והפרש של שני וקטורים או יותר כדי לבטא וקטורים נתונים באמצעות שני וקטורים קו-מישוריים. | |
| 4 השתמש בוקטורים להסיק ולפתור בעיות גיאומטריות. | הדוגמאות כוללות: • להראות שהווקטורים מקבילים • להראות ש-3 נקודות נמצאות על אותו קו • לפתור בעיות וקטורים הקשורות ליחס דמיון. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
וקטור ניתן לציור כקטע ישר ממונה (חץ). הוקטור המיקום של נקודה הוא הוקטור מהראשית $O$ לנקודה זו.
רעיון מרכזי: הוקטור מ$A$ ל$B$ הוא
$$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a},$$
כאשר $\mathbf{a}$ ו$\mathbf{b}$ הם וקטורי המיקום של $A$ ו$B$.
שני וקטורים הם מקבילים אם אחד הוא מכפלה סקלרית של השני (למשל $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{CD}$). שלוש נקודות נמצאות בקו אחד (קוליניאריות) אם הוקטורים ביניהן מקבילים וחולקים בנקודה. ניתן לבטא כל וקטור באמצעות שני וקטורים קו-מיטיים.
דוגמה מופת. $O$ הוא נקודת המוצא, עם $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ ו-$\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$. $M$ היא אמצע $AB$. מצאו את $\overrightarrow{OM}$ במונחי $\mathbf{a}$ ו-$\mathbf{b}$.
$$\overrightarrow{OM} = \mathbf{a} + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \mathbf{a} + \tfrac{1}{2}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \tfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}).$$
חקור
גיאומטריה וקטורית
הכוח השקול = a + b
שלבבו וקטורים כדי להגיע לנקודה — ה-ווקטור הסיכומי הוא הדרך הישירה.
7.4
טיפים לבחינות
- תארו כל שינוי במלואו: העתקה (וקטור), סימטריה (קו האנכיות), סיבוב (מרכז, זווית וגם כיוון), הגדלה (מרכז ומקדם היגדול).
- מקדם היגדול שלילי הופך את התמונה הפוכה דרך המרכז; מקדם שברתי (בין 0 ל-1) הופך אותה לקטנה יותר.
- הוסיפו וקטורים קצה לקצה — הוסיפו את המספרים העליונים, ואז את התחתונים. גודלו של וקטור נובע מפיתגורס על רכיביו.
- $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ (סוף פחות תחילה). שני וקטורים הם מקבילים אם אחד הוא כפיל סקלארי של השני.
שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.