Differential Equations · ⁨משוואות דיפרנציאליות⁩

AP Calculus BC · ⁨קלקולוס BC - AP⁩ · Topic 7 · ⁨נושא 7⁩

View Slides · ⁨הצגת שקפים⁩ Train · ⁨אימון⁩

Video lesson for this topic · ⁨שיעור וידאו לנושא זה⁩ Open the video page · ⁨פתח את עמוד הוידאו⁩

7.1

Modeling Situations with Differential Equations · ⁨דגמי מצבים באמצעות משוואות דיפרנציאליות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.

FUN-7.A.1 Differential equations relate a function of an independent variable and the function's derivatives.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרה ללמידה FUN-7.A: לפרש ניסוחים מילוליים של בעיות כמשוואות דיפרנציאליות הכוללות ביטוי נגזרת.

FUN-7.A.1 משוואות דיפרנציאליות מקשרות בין פונקציה של משתנה עצמאי לבין הנגזרות שלה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives. Many real situations are described by a rate: "the population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Setting up the equation from a verbal description – identifying what changes and what it is proportional to – is the first skill.

עברית

משוואה דיפרנציאלית מקשרת פונקציה לגזירות שלה. תיאורים רבים של מצבים אמיתיים מבוססים על קצב: "האוכלוסייה צומחת בקצב פרופורציונלי לגודלה" הופך ל$\dfrac{dP}{dt}=kP$. בניית המשוואה מתוך תיאור מילולי – זיהוי מה משתנה ומה הוא פרופורציונלי אליו – היא המיומנות הראשונה.

7.2

Verifying Solutions for Differential Equations · ⁨בדיקת פתרונות למשוואות דיפרנציאליות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.

FUN-7.B.1 Derivatives can be used to verify that a function is a solution to a given differential equation.
FUN-7.B.2 There may be infinitely many general solutions to a differential equation.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרה ללמידה FUN-7.B: לבדוק פתרונות למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.B.1 ניתן להשתמש בנגזרות כדי לבדוק האם פונקציה היא פתרון למשוואה דיפרנציאלית נתונה.
FUN-7.B.2 עשויה להיות אינסוף פתרונות כלליים למשוואה דיפרנציאלית.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

A solution is a function that satisfies the equation. To verify a proposed solution, differentiate it and substitute into the equation, checking that both sides agree. A general solution contains a constant $C$; a particular solution fixes $C$ from a condition.

עברית

פתרון הוא פונקציה המקיימת את המשוואה. כדי לבדוק פתרון מוצע, גזור אותו והצב אותו במשוואה, ולבדוק שהצדדים שווים. פתרון כללי מכיל קבוע $C$; פתרון פרטי קובע את $C$ מתוך תנאי נתון.

7.3

Sketching Slope Fields · ⁨ציור שדות שיפועים⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.1 A slope field is a graphical representation of a differential equation on a finite set of points in the plane.
FUN-7.C.2 Slope fields provide information about the behavior of solutions to first-order differential equations.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.C: הערכה פתרונות למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.C.1 שדה שיפועים הוא ייצוג גרפי של משוואה דיפרנציאלית על ערכה סופית של נקודות במישור.
FUN-7.C.2 שדות שיפועים מספקים מידע על התנהגות הפתרונות למשוואות דיפרנציאליות מהדרגה הראשונה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Slope fields & solution curves

A slope field 斜率场 draws a short line segment at many points, each with the slope $\dfrac{dy}{dx}$ the equation gives there. It pictures the family of solution curves without solving. To sketch one, evaluate the right-hand side at each grid point and draw a segment of that slope.

עברית

שדות שיפוע ומשוואות פתרון

שדה שיפועים מצייר קטע ישר קצר בנקודות רבות, כאשר לכל נקודה יש שיפוע $\dfrac{dy}{dx}$ כפי שמכתיבה המשוואה במקום ההוא. הוא מספק דמיון של משפחת פתרונות ללא פתרון אנליטי. כדי לשרטט אותו, חשב את אגף ימין בכל נקודה ברשת ומרה קטע עם השיפוע המתאים.

שדה שיפועים מראה את הגרדינט בכל מקום; עקומי הפתרון עוקבים אחריו

Explore · ⁨חקור⁩

Read a differential equation as a slope field · ⁨קריאת משוואה דיפרנציאלית כשדה שיפועים⁩

A slope field draws the slope $dy/dx$ at each point. A solution curve threads through, always tangent to the little segments — you can sketch it by following the flow. · ⁨שדה שיפועים מצייר את השיפוע $dy/dx$ בכל נקודה. עקומת פתרון חודרת דרךיו, תמיד משיקה למקטעים הקטנים — ניתן לשער אותה על ידי מעקב אחר הזרימה.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	משוואה דיפרנציאלית
slope field/sləʊp fiːld/	שדה שיפועים
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	שיטת אוילר
separable/ˈsepərəbl/	ניתן להפרדה
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	תנאי התחלה
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	גידול או דעיכה אקספוננציאליים
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	מודל לוגיסטי
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	קיבולת נשיאה

7.4

Reasoning Using Slope Fields · ⁨הסקה באמצעות שדות שיפועים⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.3 Solutions to differential equations are functions or families of functions.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.C: הערכה פתרונות למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.C.3 פתרונות למשוואות דיפרנציאליות הם פונקציות או משפחות פונקציות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

A solution curve follows the segments like a boat following a current. From a slope field you can sketch the particular solution through a given point, describe long-run behavior, and locate where solutions level off (slopes near zero) – reasoning about solutions purely from the picture.

עברית

עקום פתרון עוקב אחרי הקטעים כמו סירה העוברת אחר הזרם. משדה שיפועים ניתן לשרטט פתרון פרטי הנעלם בנקודה נתונה, לתאר התנהגות לטווח ארוך, ולזהות היכן הפתרונים משתטחים (שיפועים קרובים לאפס) – בחינת פתרונים באופן טהור מתוך הדמיון.

7.5

Approximating Solutions Using Euler's Method · ⁨קירוב פתרונים באמצעות שיטת אוילר⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.4 Euler's method provides a procedure for approximating a solution to a differential equation or a point on a solution curve. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.C: הערכה פתרונות למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.C.4 שיטת אוילר מספקת הליך לקירוב פתרון למשוואה דיפרנציאלית או נקודה על עקומת הפתרון. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Euler's method

Euler's method 欧拉方法 approximates a solution numerically by stepping along the slope field. Starting from a known point, take a small step $\Delta x$ and update:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Repeat for each step. Smaller steps give a better approximation. (This is a BC-only technique.)

Exam skill: be able to carry out two or three Euler steps by hand from a table, and know that Euler's method under- or over-estimates depending on the solution's concavity.

Worked example. Approximate $y(1)$ for $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, with step $\Delta x=0.5$. Step 1: slope at $(0,1)$ is $0+1=1$, so $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Step 2: slope at $(0.5,1.5)$ is $0.5+1.5=2$, so $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

עברית

שיטת אוילר

שיטת אוילר מקרבת פתרון מספרית על ידי צעד לאורך שדה השיפועים. מתחיל מנקודה ידועה, לוקח צעד קטן $\Delta x$ ומעדכן:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

חזור עבור כל צעד. צעדים קטנים יותר נותנים קירוב טוב יותר. (זו טכניקה לבחינת BC בלבד.)

מיומנות בבחינה: יכולת לבצע שניים או שלושה צעדי אוילר ידנית מתוך טבלה, ולהבין ששיטת אוילר מעריכה מעט מדי או הרבה מדי בהתאם לקעוות של הפתרון.

דוגמה מפורטת. קרב $y(1)$ עבור $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, עם צעד $\Delta x=0.5$. צעד 1: השיפוע ב$(0,1)$ הוא $0+1=1$, ולכן $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. צעד 2: השיפוע ב$(0.5,1.5)$ הוא $0.5+1.5=2$, ולכן $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

7.6

Finding General Solutions Using Separation of Variables · ⁨מציאת פתרונות כלליים באמצעות הפרדת משתנים⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.

FUN-7.D.1 Some differential equations can be solved by separation of variables.
FUN-7.D.2 Antidifferentiation can be used to find general solutions to differential equations.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.D: קביעת פתרונות כלליים למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.D.1 חלק ממשוואות הדיפרנציאליות ניתן לפתור באמצעות הפרדת משתנים.
FUN-7.D.2 אנטי-אינטגרציה יכולה לשמש למציאת פתרונות כלליים למשוואות דיפרנציאליות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

A separable 可分离 differential equation can be written with all the $y$'s on one side and all the $x$'s on the other, then integrated:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

This produces the general solution (with a $+C$), the main analytic method for solving differential equations in this course.

Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=2$. Separating, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ gives $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, so $y=Ae^{x^2/2}$. The condition $y(0)=2$ gives $A=2$, so $y=2e^{x^2/2}$.

עברית

E. coli תחת מיקרוסקופ: משוואות דיפרנציאליות מדמות צמיחה אקספוננציאלית

משוואה דיפרנציאלית ניתנת להפרדה ניתנת לכתיבה כך שכל ה-$y$ יהיו בצד אחד וכל ה-$x$ בצד השני, ולאחר מכן אינטגרציה:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

זאת מובילה לפתרון הכללי (עם קבוע $+C$), השיטה האנליתית המרכזית לפתרון משוואות דיפרנציאליות בקורס זה.

דוגמה מפורטת. פתור $\dfrac{dy}{dx}=xy$ עם $y(0)=2$. בהפרדה, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ מוביל ל$\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, ולכן $y=Ae^{x^2/2}$. התנאי $y(0)=2$ נותן $A=2$, ולכן $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Finding Particular Solutions Using Initial Conditions · ⁨מציאת פתרונים פרטים באמצעות תנאי התחלה⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.

FUN-7.E.1 A general solution may describe infinitely many solutions to a differential equation. There is only one particular solution passing through a given point.
FUN-7.E.2 The function $F$ defined by $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ is a particular solution to the differential equation $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfying $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solutions to differential equations may be subject to domain restrictions.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.E: קביעת פתרונות פרטיים למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.E.1 פתרון כללי עשוי לתאר אינסוף פתרונות למשוואה דיפרנציאלית. קיים רק פתרון פרטי אחד העובר דרך נקודה נתונה.
FUN-7.E.2 הפונקציה $F$ המוגדרת על ידי $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ היא פתרון פרטי למשוואה הדיפרנציאלית $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, המקיימת $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 פתרונות למשוואות דיפרנציאליות עשויים להיות מוגבלים בתחום ההגדרה שלהם.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

An initial condition 初始条件 (a known point, e.g. $y(0)=5$) pins down the constant $C$. Solve for the general solution, substitute the condition to find $C$, then write the particular solution. Watch the domain – a particular solution is valid only on the interval containing the initial point.

עברית

תנאי התחלה (נקודה ידועה, למשל $y(0)=5$) קובע את הקבוע $C$. פתור את הפתרון הכללי, הצב את התנאי כדי למצוא $C$, ולאחר מכן כתוב את הפתרון הפרטי. שים לב לתחום – פתרון פרטי תקף רק בתחום המכיל את נקודת ההתחלה.

הקבוע נותן משפחה של עקומות; תנאי התחתי בוחר אחת מהן

7.8

Exponential Models with Differential Equations · ⁨מודלים מעריכים במשוואות דיפרנציאליות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.F: Interpret the meaning of a differential equation and its variables in context.

FUN-7.F.1 Specific applications of finding general and particular solutions to differential equations include motion along a line and exponential growth and decay.
FUN-7.F.2 The model for exponential growth and decay that arises from the statement "The rate of change of a quantity is proportional to the size of the quantity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Learning Objective FUN-7.G: Determine general and particular solutions for problems involving differential equations in context.

FUN-7.G.1 The exponential growth and decay model, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, with initial condition $y = y_0$ when $t = 0$, has solutions of the form $y = y_0 e^{kt}$.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.F: פרשנות המשמעות של משוואה דיפרנציאלית ושתניה בהקשר.

FUN-7.F.1 יישומים ספציפיים למציאת פתרונות כלליים ופרטיים למשוואות דיפרנציאליות כוללים תנועה לאורך קו וגדילה ואפיון אקספוננציאליים.
FUN-7.F.2 המודל לגדילה ואפיון אקספוננציאליים הנובע מהניסוח "קצב השינוי של כמות הוא פרופורציונלי לגודלה" הוא $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

מטרות למידה FUN-7.G: קביעת פתרונות כלליים ופרטיים לבעיות המכילות משוואות דיפרנציאליות בהקשר.

FUN-7.G.1 המודל לצמיחה ודעיכה מעריכית, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, עם תנאי התחלתי $y = y_0$ כאשר $t = 0$, בעל פתרונות מהצורה $y = y_0 e^{kt}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Exponential vs logistic growth

The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ says the rate of change is proportional to the amount – giving exponential growth or decay 指数增长. Separating variables yields

$$y=y_0 e^{kt},$$

with $k>0$ for growth and $k<0$ for decay. This models unrestricted population growth, radioactive decay, and continuously compounded interest.

עברית

גידול אקספוננציאלי מול לוגיסטי

המשוואה $\dfrac{dy}{dt}=ky$ אומרת שקצב השינוי הוא פרופורציונלי לכמות – מה שמוביל לגידול או דעך מעריכי. הפרדת משתנים מניבה

$$y=y_0 e^{kt},$$

כאשר $k>0$ עבור גידול ו$k<0$ עבור דעך. מודל זה מתאר גידול אוכלוסייה ללא הגבלה, דעך רדיואקטיבי והשקעה עם הון מרוכב ברציפות.

כוס קפה מתקררת: חוק קירור ניוטון הוא מודל קלאסי למשוואות דיפרנציאליות

Explore · ⁨חקור⁩

An exponential growth/decay model · ⁨מודל גידול/דעיכה אקספוננציאלי⁩

y = a·e^(bx) + c

The equation $dy/dt=ky$ has exponential solutions: quantity changes at a rate proportional to itself, giving unbounded growth ($k>0$) or decay to zero ($k<0$). · ⁨המשוואה $dy/dt=ky$ יש לה פתרונות אקספוננציאליים: הכמות משתנה בקצב פרופורציונלי לעצמה, מה שמוביל לגידול בלתי מוגבל ($k>0$) או לדעיכה לאפס ($k<0$).⁩

7.9

Logistic Models with Differential Equations · ⁨מודלים לוגיסטיים באמצעות משוואות דיפרנציאליות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.H: Interpret the meaning of the logistic growth model in context. BC ONLY

FUN-7.H.1 The model for logistic growth that arises from the statement "The rate of change of a quantity is jointly proportional to the size of the quantity and the difference between the quantity and the carrying capacity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. BC ONLY
FUN-7.H.2 The logistic differential equation and initial conditions can be interpreted without solving the differential equation. BC ONLY
FUN-7.H.3 The limiting value (carrying capacity) of a logistic differential equation as the independent variable approaches infinity can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY
FUN-7.H.4 The value of the dependent variable in a logistic differential equation at the point when it is changing fastest can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרת למידה FUN-7.H: פרשנות המשמעות של מודל הגדילה הלוגיסטי בהקשר הנתון. רק BC

FUN-7.H.1 המודל לגדילה לוגיסטית הנגזר מהעובדה "קצב השינוי של כמות הוא יחד פרופורציונלי לגודל הכמות ולהפרש בין הכמות לבין הקיבולת" הוא $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. רק BC
FUN-7.H.2 ניתן לפרש את המשוואה הדיפרנציאלית הלוגיסטית ותנאי ההתחלה ללא פתרון המשוואה. רק BC
FUN-7.H.3 ניתן לקבוע את הערך הסופי (קיבולת) של משוואה דיפרנציאלית לוגיסטית כאשר המשתנה התלוי שואף לאינסוף, באמצעות מודל הגדילה הלוגיסטי ותנאי ההתחלה. רק BC
FUN-7.H.4 ניתן לקבוע את ערך המשתנה התלוי במשוואה דיפרנציאלית לוגיסטית בנקודה שבה הוא משתנה בקצב המרבי, באמצעות מודל הגידול הלוגיסטי ותנאי ההתחלה. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Real growth is limited by resources, so the logistic model 逻辑斯蒂模型 adds a carrying capacity 环境容纳量 $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

Growth is nearly exponential when $P$ is small, slows as $P$ approaches $L$, and stops at $P=L$. Key BC facts: the population levels off at $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), and it grows fastest when $P=\tfrac{L}{2}$ (the inflection point of the S-shaped curve). You are expected to read $L$ and the fastest-growth value directly from the equation.

Worked example. For $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, the carrying capacity is $L=2000$ (the population levels off there), and growth is fastest when $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – both read straight off the equation, no solving needed.

עברית

גידול אמיתי מוגבל על ידי משאבים, ולכן המודל הלוגיסטי מוסיף קיבולת נשיאה $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

הגידול הוא כמעט מעריכי כאשר $P$ קטן, מאט כאשר $P$ מתקרבת ל$L$, ועוצר ב$P=L$. עובדות מרכזיות לבחנת BC: האוכלוסייה מתייצבת ב$L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), והיא גדלה במהירות מקסימלית כאשר $P=\tfrac{L}{2}$ (נקודת העיקום של העקומה בצורת S). צפוי לקרוא את $L$ ואת ערך הגידול המקסימלי ישירות מהמשוואה.

דוגמה פותרת. עבור $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, קיבולת הנשיאה היא $L=2000$ (האוכלוסייה מתייצבת שם), והגידול הוא מהיר ביותר כאשר $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – שניהם קריאים ישירות מהמשוואה, ללא צורך בפתרון.

המודל הלוגיסטי גדל במהירות מקסימלית ב-P=L/2 ומתייצב בקיבולת הנשיאה L

7.9

Exam tips · ⁨טיפים לבחינות⁩

English

Solve a separable equation by getting all $y$ on one side and all $x$ on the other, then integrating both sides (add $+C$ once).
Use the initial condition to find $C$ (a particular solution).
Sketch or read a slope field: the little segments show $\tfrac{dy}{dx}$ at each point, and a solution curve follows them.
Recognise exponential models $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (growth/decay).
A differential equation gives the slope — you must integrate to recover the function.

עברית

פתרו משוואה ניתנת להפרדה על ידי הוצאת כל ה-$y$ לצד אחד ואת כל ה-$x$ לצד השני, ולאחר מכן אינטגרציה בשני האגפים (הוסיפו $+C$ פעם אחת).
השתמשו בתנאי ההתחלה כדי למצוא את $C$ (פתרון פרטי).
שרטטו או קראו שדה ניסוחים: המקטעים הקטנים מייצגים את $\tfrac{dy}{dx}$ בכל נקודה, ועקומת פתרון עוקבת אחריהם.
זיהו מודלים מעריכיים $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (צמיחה/דעיכה).
משוואה דיפרנציאלית נותנת את השיפוע – עליכם לאינטגרל כדי לשחזר את הפונקציה.

Interactive lessons on this topic · ⁨שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.⁩

Past Papers · ⁨מבחני עבר⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨קלקולוס BC - AP⁩ · ⁨נושאים נוספים בAP Calculus BC · ⁨קלקולוס BC - AP⁩⁩