אינטגרציה ואגירת שינוי

קלקולוס BC - AP · נושא 6

הצגת שקפים אימון

שיעור וידאו לנושא זה פתח את עמוד הוידאו

6.1

חקירת מצטברים של שינויים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-4): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לצבירה של שינוי בתחום נתון.

מטרות למידה CHA-4.A: לפרש את משמעות השטחים הקשורים לגרף של קצב שינוי בהקשר הנתון.

CHA-4.A.1 שטח האזור שבין גרף הפונקציה המייצגת קצב שינוי לבין ציר ה$x$ נותן את צבירת השינוי.
CHA-4.A.2 במקרים מסוימים, ניתן לחשב את צבירת השינוי באמצעות גיאומטריה.
CHA-4.A.3 אם קצב שינוי הוא חיובי (שלילי) לאורך תחום, אזי צבירת השינוי היא חיובית (שלילית).
CHA-4.A.4 היחידה לשטח אזור המוגדר על ידי קצב שינוי היא יחידת קצב השינוי כפול יחידת המשתנה החופשי.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

מיכל מים: אינטגרציה מצטברת שינוי — נפח כולל מקצב זרימה

כאשר הנגזרת מדדה קצב, האינטגרל מדדה הצטברות – סך כולל שנבנה מקצב. אם קצב שינוי פועל לאורך מרווח, השטח בין הגרף שלו לבין הציר נותן את השינוי הנטו שהתجمع. רעיון זה "שטח = שינוי כולל" הוא הבסיס לחשבון אינפיניטסימלי אינטגרלי.

6.2

הערכת שטחים בעזרת סכומי רימן

סיילבוס

הבנה מתמשכת (LIM-5): אינטגרלים מוגדרים ניתנים לקירוב באמצעות שיטות גיאומטריות ומספריות.

מטרות למידה LIM-5.A: לקרב אינטגרל מוגדר באמצעות שיטות גיאומטריות ומספריות.

LIM-5.A.1 אינטגרלים מוגדרים ניתנים לקירוב עבור פונקציות המוצגות בגרף, בטבלאות נתונים, אנalitically ובאופן מילולי.
LIM-5.A.2 אינטגרלים מוגדרים ניתנים לקירוב באמצעות סכום רימן שמאלי, סכום רימן ימני, סכום רימן באמצע, או סכום טרפז; הקירובים יכולים להיות מחושבים באמצעות חלוקות אחידות או לא-אחידות.
LIM-5.A.3 אינטגרלים מוגדרים ניתנים לקירוב באמצעות שיטות מספריות, עם או בלי שימוש בטכנולוגיה.
LIM-5.A.4 בהתאם להתנהגות הפונקציה, ייתכן שניתן לקבוע האם הקירוב לאינטגרל מוגדר הוא הערכה נמוכה או גבוהה לערך האינטגרל המוגדר.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

האינטגרל כשטח (סכומי רימן)

סכומי טראפזואידים מעריכים שטח

סכום ריימן מעריך את שטח מתחת לעקומה על ידי חיבור שטחים של מלבנים דקים. חלקו $[a,b]$ לתת-מרווחים והשתמש בגובה הפונקציה בנקודת הקצה השמאלית, בנקודת הקצה הימנית, או באמצע כל אחד מהם. סכום טרפזoidal משתמש בטרפזואידים במקום זאת, וממוצע את שני גבהי הקצוות – לרוב מדויק יותר. עם יותר מלבנים, הדקים יותר, ההערכה משתפרת.

סכום ריימן מקרב את השטח מתחת לעקומה בעזרת מלבנים

רצועות בעובי h מקרבות את השטח מתחת לעקומה

מיומנות מבחן: יכולת לחשב הערכות שמאליות, ימניות, אמצעיות וטרפזואידיות מטבלה או מגרף, ולציין האם כל אחת מהן מעריכה מעל או מתחת בהתאם לכך שהפונקציה עולה/יורדת או קמורה למעלה/למטה.

חקור

הערכת שטח בעזרת מלבנים

y = ax³ + bx² + cx + d

סכום רימן מעריך את השטח תחת העקומה באמצעות מלבנים. הוספת מלבנים רבים ודקים יותר גורמת להערכה להתכנס ל-אינטגרל מסוים מדויק.

מילון מונחים אימון

English	עברית
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	סכום ריימן
trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	סכום טרפזים
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	אינטגרל מוגדר

6.3

סכומי ריימן, סימון סיכום וסימון אינטגרל מוגדר

סיילבוס

הבנה מתמשכת (LIM-5): אינטגרלים מוגדרים ניתנים לקירוב באמצעות שיטות גיאומטריות ומספריות.

מטרת למידה LIM-5.B: פרש את המקרה הגבולי של סכום רימן כאינטגרל מוגדר.

LIM-5.B.1 הגבול של סכום רימן מקרב יכול להתפרש כאינטגרל מוגדר.
LIM-5.B.2 סכום רימן, הדורש חלוקה של מרווח $I$, הוא סכום מכפלות, כאשר כל מכפלה היא ערך הפונקציה בנקודה בתת-מרווח כפול באורך התת-מרווח ההוא מהחלוקה.

מטרת למידה LIM-5.C: נציג את המקרה הגבולי של סכום רימן כאינטגרל מוגדר.

LIM-5.C.1 האינטגרל המוחלט של פונקציה רצישה $f$ על הקטע $[a, b]$, המסומן על ידי $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, הוא הגבול של סכומי רימן כאשר רוחב התת-קטעים שואף ל-0. כלומר, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, כאשר $n$ הוא מספר התת-קטעים, $\Delta x_i$ הוא רוחב התת-קטע ה-$i$, ו-$x_i^*$ הוא ערך בתוך התת-קטע ה-$i$.
LIM-5.C.2 אינטגרל מוגדר ניתן להמיר לגבול של סכום רימן הקשור אליו, וגבול של סכום רימן ניתן לכתוב כאינטגרל מוגדר.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

כתיבת סכום ריימן עם סימון סיכום $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ והשארת מספר המלבנים גדל ללא גבול נותנת את השטח המדויק – האינטגרל המוגדר:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

האינטגרל הוא גבול סכומי ריימן; $a$ ו$b$ הם גבולות האינטגרציה.

6.4

משפט היסוד של החישוב האינטגרלי ופונקציות הצטברות

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-5): משפט היסוד של החישוב האינטגרלי מקשר בין גזירה לאינטגרציה.

מטרת למידה FUN-5.A: נציג פונקציות הצטברות באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

FUN-5.A.1 אינטגרל מוגדר יכול לשמש להגדרת פונקציות חדשות.
- דוגמאות מדגישות ל-FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 אם $f$ היא פונקציה רציפה במרווח המכיל את $a$, אזי $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, כאשר $x$ נמצא במרווח.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

הפסקה המרכזית של החשבון האנליטי

פונקציית הצטברות $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ נותנת את השטח המצטבר מ$a$ עד ל$x$. משפט היסוד של החשבון האינפיניטסימלי (FTC) אומר שהנגזרת שלה היא תוכן האינטגרל:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

גזירה ואינטגרציה הן פעולות הפוכות. עם גבול על משתנה וכלל השרשרת, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

פונקציית ההצטברות מוסיפה שטח בעל סימן; משפט היסוד אומר שהגזירה שלה היא f

חקור

צבירת שטח כאינטגרל

y = ax³ + bx² + cx + d

פונקציית הצטברות $\int_a^x f(t)\,dt$ בונה שטח עם סימן ככל ש-$x$ זז. משפט היסוד אומר שהנגזרת שלו היא פשוט $f(x)$.

מילון מונחים אימון

English	עברית
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	צבירה
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	פונקציית הצטברות
Fundamental Theorem of Calculus (FTC)/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	משפט היסוד של החישוב האינטגרלי (FTC)
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	פונקציה קדומה
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	אינטגרל לא מוגדר

6.5

פרשנות התנהגות של פונקציות הצטברות

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-5): משפט היסוד של החישוב האינטגרלי מקשר בין גזירה לאינטגרציה.

מטרת למידה FUN-5.A: נציג פונקציות הצטברות באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

FUN-5.A.3 נציגות גרפית, מספרית, אנליטית ובעל-פה של פונקציה $f$ מספקות מידע על הפונקציה $g$ המוגדרת כ-$g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

מכיוון ש$g'(x)=f(x)$, הגרף של $f$ מספק לך הכל על $g$: $g$ עולה כאשר $f>0$, יורד כאשר $f<0$, יש לו קיצונים כאשר $f$ חוצה אפס, והוא קמור למעלה כאשר $f$ עולה. קריאת קשרים אלו מגרף של $f$ היא משימת פתח קלאסית.

6.6

יישום תכונות של אינטגרלים מוגדרים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-6): זיהוי הזדמנויות להטמעת ידע גיאומטרי וכללי מתמטיים יכול להקל ביצוע אינטגרציה.

מטרת למידה FUN-6.A: חשב אינטגרל מוגדר באמצעות שטחים ותכונות של אינטגרלים מוגדרים.

FUN-6.A.1 במקרים מסוימים, אינטגרל מוגדר ניתן לחשב באמצעות גיאומטריה והקשר בין האינטגרל המוגדר לשטח.
FUN-6.A.2 תכונות של אינטגרלים מוגדרים כוללות: אינטגרל של קבוע כפול פונקציה, אינטגרל של סכום של שתי פונקציות, הפוך של גבולות האינטגרציה, ואינטגרל של פונקציה על מרווחים סמוכים.
FUN-6.A.3 הגדרת האינטגרל המוגדר ניתנת להרחבה לפונקציות עם אי-רציפות ניתנות לסילוק או אי-רציפות דליפה.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

אינטגרלים מוגדרים מחויבים בחוקים שימושיים: הפוך את גבולות האינטגרציה כדי להפוך את הסימן ($\int_b^a=-\int_a^b$), אינטגרל על מרווח אפס-רוחב הוא $0$, הם מתחברים במרווחים סמוכים ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), וקבועים יוצאים כגורם. השתמש בהם כדי לשלב או לפצל ערכי אינטגרל נתונים.

6.7

משפט היסוד של החשבון האינפיניטסימלי ואינטגרלים מוגדרים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-6): זיהוי הזדמנויות להטמעת ידע גיאומטרי וכללי מתמטיים יכול להקל ביצוע אינטגרציה.

מטרה ללמידה FUN-6.B: לחשב אינטגרלים מוגדרים אנליטית באמצעות משפט היסוד של החישוב האינפיניטסימלי.

FUN-6.B.1 פונקציה $f$ היא נגזרת של פונקציה $g$ כאשר הנגזרת שלה היא $f$.
FUN-6.B.2 אם פונקציה $f$ רציפה על קטע המכיל $a$, הפונקציה המוגדרת על ידי $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ היא נגזרת של $f$ עבור $x$ בקטע.
FUN-6.B.3 אם $f$ רציפה על הקטע $[a, b]$ ו-$F$ היא נגזרת של $f$, אזי $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

צורת ההערכה של ה-FTC מחשבת אינטגרל מוגדר מתוך פונקציה אנטי-נגזרת $F$ (כאשר $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

לכן, אינטגרציה של קצב שינוי על $[a,b]$ נותנת את ה-שינוי הנטו בכמות – התוצאה המשתמשת ביותר במסלול.

דוגמה פתורה. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: מקור היא $F(x)=x^2+x$, ולכן הערך הוא $F(3)-F(1)=12-2=10$.

אינטגרל מוגדר הוא השטח עם סימן בין העקומה לציר ה-x

6.8

מציאת מקורות ואינטגרלים לא-מוגדרים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-6): זיהוי הזדמנויות להטמעת ידע גיאומטרי וכללי מתמטיים יכול להקל ביצוע אינטגרציה.

מטרה ללמידה FUN-6.C: למצוא נגזרות של פונקציות ואינטגרלים לא מוגדרים, תוך שימוש במידע על נגזרות.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ הוא אינטגרל לא מוגדר של הפונקציה $f$ וניתן לבטא אותו כ-$\int f(x)\,dx = F(x) + C$, כאשר $F'(x) = f(x)$ ו-$C$ הוא כל קבוע.
FUN-6.C.2 כללי גזירה מספקים את הבסיס למציאת נגזרות.
FUN-6.C.3 לעיתים קרובות לפונקציות אין נגזרות בצורה סגולה (closed-form).

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

אינטגרל לא-מוגדר $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ הוא משפחה של כל המקורים (ומכאן קבוע האינטגרציה $C$). הפוך כל כלל גזירה: כלל החזקה הופך ל$\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (עבור $n\neq-1$), עם $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, ומקורות של $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ ו$\sec^2 x$ מגיעים ישירות מגזירותיהם.

6.9

אינטגרציה באמצעות הצבה

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-6): זיהוי הזדמנויות להטמעת ידע גיאומטרי וכללי מתמטיים יכול להקל ביצוע אינטגרציה.

מטרת למידה FUN-6.D: עבור פונקציות תחת אינטגרל הדורשות הצבה או עיצוב מחדש לצורות שקולות: (א) קביעת אינטגרלים לא מוגדרים. (ב) חישוב אינטגרלים מוגדרים.

FUN-6.D.1 הצבת משתנים היא טכניקה למציאת נגזרות.
FUN-6.D.2 עבור אינטגרל מוגדר, הצבת משתנים דורשת שינויים מתאימים בגבולות האינטגרציה.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

החלפת משתנה (u-substitution) הופכת את כלל השרשרת: בחר $u=g(x)$ כך ש$g'(x)$ יופיע גם כן, והפוך את $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ ל$\int f(u)\,du$. אל תשכח להמיר $dx$ ל$du$, ובמקרה של אינטגרל מוגדר, או שהפוך את הגבולות לערכי $u$ או שהחזר ל$x$ בסוף.

מילון מונחים אימון

English	עברית
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	הצבה: u-substitution
Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	אינטגרציה בחלקים
Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	שוברים חלקיים

6.10

אינטגרציה באמצעות חלוקה ארוכה והשלמת ריבוע

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-6): זיהוי הזדמנויות להטמעת ידע גיאומטרי וכללי מתמטיים יכול להקל ביצוע אינטגרציה.

מטרת למידה FUN-6.D: עבור פונקציות תחת אינטגרל הדורשות הצבה או עיצוב מחדש לצורות שקולות: (א) קביעת אינטגרלים לא מוגדרים. (ב) חישוב אינטגרלים מוגדרים.

FUN-6.D.3 טכניקות למציאת מקורבות כוללות עיצוב מחודש לצורות שקולות, כגון חלוקה ארוכה והשלמה לריבוע מושלם.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

כאשר פונקציית גזירה רציונלית היא "כבדה למעלה" (מעלה המונה $\ge$ מעלה המכנה), חלוקה ארוכה מחדשה אותה כפולינום פלו שבר סדיר שאפשר לאינטגרל. השלמת ריבוע במכנה הופכת אותו לצורה כמו $u^2+a^2$, המובילה למקור ארקטנגנס $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

6.11

אינטגרציה באמצעות אינטגרציה בחלקים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-6): זיהוי הזדמנויות להטמעת ידע גיאומטרי וכללי מתמטיים יכול להקל ביצוע אינטגרציה.

מטרת למידה FUN-6.E: עבור פונקציות תחת אינטגרל הדורשות אינטגרציה בחלקים: (a) קביעת אינטגרלים לא מוגדרים. רק BC (b) חישוב ערכי אינטגרלים מוגדרים. רק BC

FUN-6.E.1 אינטגרציה בחלקים היא שיטה למציאת מקורות. רק BC

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

אינטגרציה בחלקים הופכת את כלל המכפלה:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

בחר $u$ כדי לפשט כאשר מוגזר ו$dv$ להיות קל לאינטגרציה (מדריך LIATE: לוגריתמים, טריגונומטריה הפוכה, אלגבריים, טריגונומטריה, מעריכית). זה מטפל במוצרים כמו $\int x e^x\,dx$ ו$\int x\ln x\,dx$, לעיתים מיושם פעמיים.

דוגמה פתורה. עבור $\int x e^x\,dx$, בחר $u=x$ ($du=dx$) ו$dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

6.12

אינטגרציה באמצעות שברים חלקים ליניאריים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-6): זיהוי הזדמנויות להטמעת ידע גיאומטרי וכללי מתמטיים יכול להקל ביצוע אינטגרציה.

מטרת למידה FUN-6.F: עבור פונקציות תחת אינטגרל הדורשות אינטגרציה בשברים חלקיים ליניאריים: (a) קביעת אינטגרלים לא מוגדרים. רק BC (b) חישוב ערכי אינטגרלים מוגדרים. רק BC

FUN-6.F.1 חלק מפונקציות רציונליות ניתן לפצל לסכום של יחסים בין גורמים ליניאריים שאינם חוזרים, עליהם ניתן ליישם טכניקות אינטגרציה בסיסיות. רק BC

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

שברים חלקים מפצלים פונקציה רציונלית עם מכנה ניתן לפירוק לסכום של שברים פשוטים יותר:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

כל אחד מהם מתאינטגרל ללוגריתם. טכניקה זו הכרחית למשוואה הדיפרנציאלית הלוגיסטית בפרק הבא.

6.13

הערכת אינטגרלי לא-רגילים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (LIM-6): השימוש בגבולות מאפשר להראות שהאזור של אזורי אי-גבול יכול להיות סופי.

מטרת למידה LIM-6.A: הערכת אינטגרל לא תקני או קביעה שהאינטגרל אינו מתכנס. רק BC

LIM-6.A.1 אינטגרל לא תקני הוא אינטגרל בעל אחד או שני הגבולות האינסופיים, או הכולל פונקציה תחת אינטגרל שאינה מוגבלת בתחום האינטגרציה. רק BC
LIM-6.A.2 אינטגרלים לא תקניים נקבעים באמצעות גבולות של אינטגרלים מוגדרים. רק BC

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

אינטגרלים לא-רגילים: מתכנסים או מתבדרים

אינטגרל לא-רגיל בעל גבול אינסופי של אינטגרציה או אי-רציפות אינסופית בפונקציית הגזירה. הערכה אותו כגבול: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. אם הגבול הוא מספר סופי, האינטגרל מתכנס; אחרת הוא מתבדר.

דוגמה פתורה. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, ולכן הוא מתכנס ל$1$. לעומת זאת, $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ נותן $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ ומתבדר – אותה צורת פונקציית גזירה יכולה ללכת בשתי הכיוונים.

מילון מונחים אימון

English	עברית
integral/ˈɪntɪɡrəl/	אינטגרל
improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/	אינטגרל בלתי-רגילי
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	מתכנס
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	מתפזר

6.14

בחירת טכניקות לנגזירה

סיילבוס

נושא זה נועד להתמקד במיומנות בחירת הליך המתאים לאנטי-אינטגרציה. יש לתת לסטודנטים הזדמנויות לתרגל מתי וכיצד ליישם את כל מטרות הלמידה הקשורות לאנטי-אינטגרציה.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

מבחן BC מצפה שתוכל זהות איזו שיטה מתאימה: כללים בסיסיים, הצלבת משתנים (דוגמת כלל שרשרת), בחלקים (מוצר), שברים חלקים (רציונלי ניתן לפירוק), או חלוקה ארוכה/השלמת ריבוע. היכולת להסתכל על אינטגרל ולהבדיל במהירות את הכלי הנכון היא עצמה מיומנות שנבדקת.

6.14

טיפים לבחינות

אינטגרציה היא אנטי-נגזרת; השתמש בכלל החזקות $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ אל תשכח את ה$+C$.
המשפט היסודי מקשר בין שני האירועים: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, ו$\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
קרוב לאינטגרל מוגדר עם סכומי ריימן או עם כלל הטראפציות מתוך טבלת ערכים.
אינטגרל מוגדר הוא שטח ממוספר (מתחת לציר נחשב כשלילי); חלק בנקודות שינוי סימן כדי לקבל את השטח הכולל.
השתמש בהצבה u ואל תשכח לשנות את הגבולות (או לבצע הצבה הפוכה) בהתאם.

שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה

לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.

מבחני עבר

נושאים נוספים בקלקולוס BC - AP