פיזיקה רפואית

אפקט פייזואלקטרי

גביש פייזואלקטרי משנה מעט את צורתו כאשר מופע מתח מוצב עליו, וההפך: הוא יוצר כוח חשמלי (e.m.f.) עצמו כאשר צורתו משתנה. צורן ואבן PZT הן דוגמאות נפוצות. שני אפקטים מקושרים:

• הצבת מופע מתח → הגביש משנה צורה (משמש ליצירת רעידות).
• שינוי הצורה (גל לוחץ אותו) → מופע חשמלי מופיע (משמש לגילוי רעידות).

טרנסדוצר פייזואלקטרי

טרנסדוצר משתמש באפקט זה גם ליצור וגם לגילוי אולטרסאונד.

• מתח חילופין (מגה-הרץ בודדים) גורם לגביש לרדת באותו תדר, ושולח גלי אורכי מעל $20\ \text{kHz}$ ($1$–$15\ \text{MHz}$ לצילום רפואי).
• אותו גביש מבצע גילוי: אולטרסאונד חוזר גורם לו להתרעד וליצור כוח חשמלי.

יצירת אולטרסאונד (שלוש נקודות). (1) מיושמת מתח חילופין על פני הגביש. (2) צורת הגביש משתנה, הוא מתפשט ומתכווץ בתדר המתח, ולכן הוא רועד. (3) המתח נבחר בתדר הרזוננטי של הגביש, כך שהרעידה גדולה והפנים של הגביש לוחצות על הרקמה ושולחות גל אורכי בתדר זה. גילוי אולטרסאונד (שתי נקודות). שינויי הלחץ בגל החוזר משנים את צורת הגביש; שינוי בצורה מייצר כוח חשמלי על פניו, חילופין בתדר הגל, שמוגבר ונרשם. אותו גביש משמש לשניהם, מתחלף בין שידור לקליטה.

כלומר, טראנסדוצר אחד הוא גם שולח וגם מקלט, ומתחלף בין שליחה להאזנה.

דימות פולס-אקו

כדי לראות בתוך הגוף (דימות פולס-אקו):

1. הטראנסדוצר שולח פולס קצר לתוך הגוף.
2. בכל גבול רקמתי, חלק מהפולס נשתקף וחלק ממשיך לדרך.
3. הטראנסדוצר מזהה כל פולס משוקף.
4. העיכוב בזמן נותן את העומק: $d = c t / 2$ (הינה וחזרה). עוצמת האקו נותנת את חוזק ההשתקפות.

דוגמה פותרת. פולס אולטרסאונד חוזר לטראנסדוצר $60\ \mu\text{s}$ לאחר שנשלח. מהירות הקול ברקמה היא $1500\ \text{m s}^{-1}$. מצאו את עומק גבול ההשתקפות.

הפולס עובר הנה וחזרה, ולכן $d = \dfrac{ct}{2}$:

5. סריקה על פני הגוף בונה תמונה בת 2-D.

ג'ל חיבור מושחם בין הטראנסדוצר לעור כדי לדחוס את האוויר; בלעדיו כמעט כל האולטרסאונד ישתקף בגבול העור-אוויר ולא ייכנס לגוף.

"תאר את השימוש באולטרסאונד לקבלת מידע דיאגנוסטי" (ארבע נקודות). (1) פולס אולטרסאונד נשלח לתוך הגוף על ידי הטראנסדוצר, המצומד לעור עם ג'ל. (2) בכל גבול בין רקמות חלק מהפולס נשתקף; הפולס המשוקף חוזר לטראנסדוצר ומוזהה. (3) העיכוב בזמן בין השלחה לאקו, בשילוב עם מהירות הקול, נותן את העומק של הגבול ($d = ct/2$). (4) האינטנסיביות של האקו, הקבועה על ידי השינוי במחסום אקוסטי בגבול, מראה איזה סוג גבול זה. סריקת הטראנסדוצר, או שימוש בערוץ, בונים תמונה.

מדוע פולסים, ומדוע מגה-הרץ. הטראנסדוצר שולח פולס קצר ואז מאזין: האקו מכל גבול חייב להגיע לפני שהפולס הבא ייצא, אחרת לא ניתן יהיה להבחין בין אקו מפולסים שונים, והגביש לא יכול לשלוח ולקבל בו-זמנית. התדר הוא פשרה: תדר גבוה יותר אומר אורך גל קצר יותר ולכן פרטים עדינים יותר (רזולוציה), אך הוא מעוכב בחוזקה רבה יותר, ולכן איבר עמוק זקוק לתדר נמוך יותר מאשר איבר רדוד. סריקות רפואיות רגילות משתמשות ב$1$–$15\ \text{MHz}$, אורכי גל של שבר מילימטר ברקמה.

זימפנס אקוסטי ספציפי

הזימפנס האקוסטי הספציפי של תווך הוא

where $\rho$ is the density and $c$ the speed of sound. Unit: $\text{kg m}^{-2}\ \text{s}^{-1}$. Bone has large $Z$; air has small $Z$; soft tissue is in between.

דוגמה מופרדת. חשב את הזימפנס האקוסטי הספציפי של רקמת רכה. (צפיפות $1060\ \text{kg m}^{-3}$, מהירות קול $1540\ \text{m s}^{-1}$.)

ההגדרה (שני סימנים). האימפדנס האקוסטית הספציפית של תווך היא מכפלת הצפיפות שלה ומהירות הקול בתוכה. שני הגדלים חייבים להיות נקובים; ביטוי כמו "כמה קשה לקול לעבור" אינו מקבל סימון. מכיוון ש-$Z$ משלב צפיפות ומהירות, הוא ה-$Z$, ולא הצפיפות לבדה, שמחליט כמה מהקול ישתקף: למים ולרקמות רכות יש צפיפויות ומהירויות קול דומות, ולכן הערכים ה-$Z$ שלהם קרובים ואין השתקפות רבה ביניהם, בעוד עצם, הצפוף פי שניים ומהירות הקול בו כמעט פי שלושה, בעל ערך $Z$ גדול פי כמה.

השתקפות בגבול

בגבול בין תווכים בעלי זימפנס $Z_{1}$ ו$Z_{2}$, מקדם ההשתקפות בעוצמה (החלק שנשתקף) הוא

• זימפנסים שונים מאוד: כמעט הכל נשתקף (עור/אוויר — מכאן השימוש בג'ל).
• זימפנסים דומים מאוד: כמעט כלום נשתקף, ולכן הגבול אינו נראה.
• הטוב ביותר להדמייה: שונים מספיק כדי לתת הדס, אך לא כה שונים עד שאין מעבר.

דוגמה פועלת (למה ג'ל). אוויר: צפיפות $1.29\ \text{kg m}^{-3}$, מהירות קול $343\ \text{m s}^{-1}$. ג'ל: $Z = 1.50 \times 10^{6}\ \text{kg m}^{-2}\ \text{s}^{-1}$. רקמה רכה: $Z = 1.63 \times 10^{6}\ \text{kg m}^{-2}\ \text{s}^{-1}$. חשב את מקדם ההחזרה בעוצמת הקול בגב האוויר-רקמה ובגב הג'ל-רקמה.

$Z_{\text{air}} = 1.29 \times 343 = 442\ \text{kg m}^{-2}\ \text{s}^{-1}$. אוויר-רקמה: $\left(\dfrac{442 - 1.63 \times 10^{6}}{442 + 1.63 \times 10^{6}}\right)^{2} = 0.9989$: $99.9\%$ מהעוצמה נשקפת ורק $0.1\%$ נכנס לגוף. ג'ל-רקמה: $\left(\dfrac{1.50 - 1.63}{1.50 + 1.63}\right)^{2} = 0.0017$: רק $0.2\%$ נשקף. לכן הג'ל, שמסמוך בזימפנסו לזה של העור, מחליף את שכבת האוויר שתשקף כמעט הכל, וכמעט כל הפולס נכנס לגוף (וההדסים יכולים לחזור החוצה באותה הדרך).

דוגמה מופרדת. מים: צפיפות $1000\ \text{kg m}^{-3}$, מהירות $1480\ \text{m s}^{-1}$. זכוכית: צפיפות $2500\ \text{kg m}^{-3}$, מהירות $5600\ \text{m s}^{-1}$. מהו החלק שנשקף בגבול מים-זכוכית?

$Z_{\text{water}} = 1.48 \times 10^{6}$, $Z_{\text{glass}} = 1.40 \times 10^{7}\ \text{kg m}^{-2}\ \text{s}^{-1}$. מקדם $= \left(\dfrac{1.48 - 14.0}{1.48 + 14.0}\right)^{2} = 0.65$: שני שלישים משתקפים, שליש מעבר. עבודה ביחידות של $10^{6}$ שומרת על החישובים נקיים, מכיוון שמה שחשוב הוא היחס. שתל פלדה ברקמה ($Z_{\text{steel}} = 4.7 \times 10^{7}$) גורם ל-$0.87$: כמעט כל הפולס משתקף מפני השטח, ולכן אין יכולת לצלם את מה שמאחוריו, אך השתל עצמו מופיע בהיר מאוד.

הרגעה

כשקול אולטרסוניק עובר דרך רקמה, עוצמתו יורדת עם המרחק:

כאן $\mu$ הוא מקדם ההחלשה (יחידה $\text{m}^{-1}$). צורה זהה חלה גם על קרני רנטגן.

דוגמה מופת (עוצמת דו-צפון). פולס בעוצמה $I_{0}$ עובר דרך $4.0\ \text{cm}$ של רקמה עם מקדם החלשה $0.50\ \text{cm}^{-1}$ עד לגבול שבו מקדם ההשתקפות של העוצמה הוא $0.010$. מצאו את עוצמת הדו-צפון החוזר לממיר, כשבר של $I_{0}$.

כלפי הגב: $e^{-\mu x} = e^{-0.50 \times 4.0} = 0.135$. מוחזר: $\times 0.010$. חוזר באותו $4.0\ \text{cm}$: $\times 0.135$ שוב. הדוחה: $I/I_{0} = 0.135 \times 0.010 \times 0.135 = 1.8 \times 10^{-4}$, בערך $0.02\%$. שני דברים שהמבקר בוחן: הרקמה מופעלת פעמיים, ומקדם ההחזרה מכפיל את העוצמה בגב ולא $I_{0}$. זו הסיבה שהדוחות מגבולות עמוקים מתחזקים יותר לפני הצגתם.

ייצור

קרני רנטגן נובעות מצינור רנטגן X:

1. קתודה מחוממת פולטת אלקטרונים באמצעות פליטה תרמיונית.
2. פרוטנציאל גבוה (מאותות לעשרות kV) מאיץ את האלקטרונים דרך ריקום אל מטרה מתכת (אנודה, לרוב טונגסטן).
3. האלקטרונים פוגעים במטרה ונעצרים בפתאומיות. רוב ה-אנרגיה הקינטית שלהם הופך לחום; חלק קטן פולט כ-פוטונים של קרני רנטגן (Bremsstrahlung, "קרני בלימה"). חלק מאלקטרונים מוצאים אלקטרונים פנימיים של אטומי המתכת, והחזרתם מלאה פולטת קווים רנטגן אופייניים.

"הסבירו כיצד מיוצרות קרני רנטגן (ארבע נקודות)." (1) אלקטרונים פולטים מסליל מחומם (קתודה) על ידי פליטה תרמיונית. (2) הם מאוצים דרך פרוטנציאל גבוה (עשרות kV) דרך צינור מפונה אל מטרה מתכת (האנודה). (3) הם נעצרים בפתאומיות כאשר פוגעים במטרה, ו-(4) האנרגיה הקינטית הנאבדת פולטת כפוטונים של קרני רנטגן (כשרובה הופך לחום במטרה, ולכן האנודה מקוררת או מסתובבת).

בקרה בקרן. העוצמה (אנרגיה ליחידת שטח לשנייה) נקבעת על ידי מספר האלקטרונים הפוגעים במטרה בשנייה, ולכן היא נשלטת על ידי זרם הסליל (סליל חם יותר פולט יותר אלקטרונים); הקשיחות, כלומר היכולת לחדר, נקבעת על ידי אנרגיות הפוטונים, ולכן היא נשלטת על ידי פרוטנציאל ההאצה: פרוטנציאל גדול יותר נותן קרני רנטגן בעלות אנרגיה גבוהה יותר, אורך גל קצר יותר וחדרן יותר. מסנן מתכת מסיר את קרני הרנטגן ה"רכות" ביותר, שהיו נבלעות בעור המטופל ללא הגעה לגלאי.

דוגמה מופת (חימום המטרה). בצינור הפועל ב$75\ \text{kV}$ זרם הקרן האלקטרונית הוא $30\ \text{mA}$ ו$99\%$ מאנרגיית האלקטרונים הופכים לחום במטרת טונגסטן בעלת מסה $15\ \text{g}$ (קיבולת חום ספציפית $134\ \text{J kg}^{-1}\ \text{K}^{-1}$). מצאו את קצב עליית הטמפרטורה אם לא היה איבוד חום.

הספק המסופק $= IV = 0.030 \times 75\,000 = 2250\ \text{W}$; הספק חימום $= 0.99 \times 2250 = 2230\ \text{W}$. לאחר מכן $mc\,\Delta\theta/\Delta t = 2230$, ולכן $\Delta\theta/\Delta t = 2230/(0.015 \times 134) = 1.1 \times 10^{3}\ \text{K s}^{-1}$. מטרה התמסה בתוך שניות, ולכן החשיפות קצרות והאנודות מסתובבות כדי לפזר את החום.

אורך גל מינימלי

האנרגיה המקסימלית שפוטון קרינת X יכול לשאת היא כל האנרגיה הקינטית של אלקטרון מואץ אחד, המושקעת באירוע בודד. עבור מתח האצה $V$, האנרגיה הקינטית היא $eV$, ולכן

זוהי הגבול התחתון (cut-off) לאורכי גל קצרים. הספקטרום הרציף של הברמסטראלונג נדד מעלה מעל $\lambda_{\text{min}}$, עם פסגות מאופיינות חדות הנקבעות על ידי המתכת היעדה.

דוגמה מופרשת (אורך גל מינימלי). אלקטרונים מואצים דרך $75\ \text{kV}$. חשב את אנרגיית הפוטון המקסימלית ואת אורך הגל המינימלי של קרני ה-X.

אנרגיה מקסימלית $= eV = 75\ \text{keV} = 75\,000 \times 1.60 \times 10^{-19} = 1.2 \times 10^{-14}\ \text{J}$ (או $0.075\ \text{MeV}$). לאחר מכן $\lambda_{\text{min}} = hc/(eV) = (6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^{8})/(1.2 \times 10^{-14}) = 1.7 \times 10^{-11}\ \text{m}$. תנע מקסימלי של פוטון הוא $p = E/c = 4.0 \times 10^{-23}\ \text{N s}$. הכפלת מתח ההאצה מחלקת את אורך הגל המינימלי לחצי.

הסבר על צורת הספקטרום. הספקטרום הוא רציף משום שכל אלקטרון עלול לאבד כל חלק מהאנרגיה שלו באחד או בכמה הצמאות, ולכן נוצרים פוטונים בעלי כל אנרגיה עד למקסימום. יש לו גבול חד ב-$\lambda_{\text{min}}$ משום שפוטון אינו יכול לשאת יותר אנרגיה מאשר יש לאלקטרון אחד, $eV$, ואך זאת קורה כאשר אלקטרון מאבד את כל אנרגייתו באירוע בודד. ה-פסגות הן מאופיינות למתכת היעדה: אלקטרון פוגע בהכנה מוציא אלקטרון פנימי מאטום יעדה, ואלקטרון חיצוני נופל לתוך החוסר, ומפליט פוטון whose אנרגיה שווה להפרש בין השתי רמות (נושא 22).

צילום עם קרני X

קרני רנטגן עוברות דרך החולה ללאבחן. רקמות שמספגות יותר (עצם, $Z$ גבוה) משאירות צל חזק ונראות בהירות; רקמות שמספגות פחות (רקמה רכה, ריאה) נראות כהות.

הניגוד הוא ההפרש בהתעוררות בין רקמות. ניתן להזין חומר ניגוד (למשל, ארוחת בריום) כדי שהרקמות הרכות יבלטו.

חדות וניגוד. חדות היא המידה בה מוגדרים היטב ה-קצוות של מבנים בתמונה: מקור קרני X קטן (נקודה קטנה על היעדה), מטופל זז וא גלאי קרוב למטופל משפרים זאת. ניגוד הוא ההפרש ב-דרגת החשכה (או בהבהירות) בין אזורים שכנים בתמונה, הנובע מהפרש בהתעוררות. שניהם בלתי תלויים: תמונה יכולה להיות חדשה אך בעלת ניגוד גרוע, או להפך.

"הסבר מדוע לצילומי קרני X של מבנים פנימיים יש ניגוד טוב. לעצם ולרקמות רכות יש מקדמי התעוררות שונים מאוד, ולכן עוביים שווים מעבירים עוצמות שונות מאוד והגלאי חשוף בצורה שונה מאוד מאחורי כל אחד מהם. כאשר לשתי רקמות רכות יש מקדמים דומים (הקיבה והסביבתה), חומר ניגוד בעל מקדם התעוררות גבוה, כמו בריום, נבלע או מוזרק כדי להגדיר אחת מהן. שימוש במתח נמוך יותר (קרני X רכות יותר) גם מגביר את הניגוד, על חשבון מנה גדולה יותר.

דוגמה מופרשת. קרני X עוברות דרך $3.0\ \text{cm}$ של רקמה רכה ($\mu = 0.20\ \text{cm}^{-1}$) באזור אחד בגוף ועוברות דרך $3.0\ \text{cm}$ של עצם ($\mu = 0.60\ \text{cm}^{-1}$) באזור אחר. השוו את העוצמות המועברות.

רקמה רכה: $I/I_{0} = e^{-0.20 \times 3.0} = e^{-0.60} = 0.55$. עצם: $e^{-0.60 \times 3.0} = e^{-1.80} = 0.17$. האזור של הרקמה הרכה מקבל יותר מפעם וחצי מהחשיפה של אזור העצם, ולכן העצם נראה לבן והרקמה כהה. היחס בין החשיפות, $e^{(\mu_{\text{bone}} - \mu_{\text{tissue}})x}$, גדל עם העובי: הניגוד משתפר עבור מבנים עבים יותר, אך גם ההתעוררות הכוללת גדלה.

חוק ההספקה

קרני X בעלות אנרגיה גבוהה יותר חודרות עמוק יותר (עובי $\mu$ קטן יותר); עצם בעל עובי חצי ערך $\mu$ גדול משמעותית מאשר רקמות רכות. כדי למצוא את העובי עבור שבר נתון, נשתמש בלוגריתמים: $x = \dfrac{1}{\mu} \ln\dfrac{I_{0}}{I}$. עובי החצי ערך $x_{1/2} = \ln 2 / \mu$ מחלק את העוצמה לחציו (כמו חצי חיים ברדיואקטיביות).

דוגמה מופתרת. רנטגנים עוברים דרך $3.0\ \text{cm}$ של רקעה עם מקדם הספקה $\mu = 40\ \text{m}^{-1}$. מצאו את השבר מהעוצמה שעובר.

דוגמה מופתרת (אחוז בליעה). רנטגנים עוברים דרך $2.8\ \text{cm}$ של חומר עם מקדם הספקה $1.4\ \text{cm}^{-1}$. איזה אחוז מאנרגיית הרנטגן נבלע?

שבר המועבר הוא $e^{-1.4 \times 2.8} = e^{-3.92} = 0.020$, ולכן $98\%$ נבלע. השאלה שואלת על מה שנבלע ולא מה שעובר: קראו אותה פעמיים. העובי לחצי עוצמה כאן הוא $\ln 2/\mu = 0.50\ \text{cm}$, ולכן $2.8\ \text{cm}$ הוא $5.6$ עוביי חצי עוצמה ו-$(1/2)^{5.6} = 0.02$ מאשר את התשובה.

דוגמה מופתרת (שתי שכבות). קרן בעוצמת $I_{0}$ עוברת דרך $2.0\ \text{cm}$ של חומר P ($\mu = 0.35\ \text{cm}^{-1}$) ואז דרך $1.5\ \text{cm}$ של חומר Q ($\mu = 0.90\ \text{cm}^{-1}$). מצאו את העוצמה המועברת.

המעריכים נכפלים: $I = I_{0}\, e^{-0.35 \times 2.0}\, e^{-0.90 \times 1.5} = I_{0}\, e^{-(0.70 + 1.35)} = I_{0}\, e^{-2.05} = 0.13\, I_{0}$. יש להוסיף את המעריכים ($\mu_{1}x_{1} + \mu_{2}x_{2}$); לעולם לא לחבר את העוביים או את המקדמים. סדר השכבות אינו משנה את העוצמה המועברת הכוללת.

צילום טומוגרפי ממוחשב (CT)

סריקת תומוגרפיה ממוחשבת (CT) בונה תמונה 3-ממדית:

1. הצינור והגלאים מסתובבים סביב המטופל, ומצלמים תמונות רבות של פרוסת דקה אחת מ-זוויות שונות.
2. מחשב משלב תמונות אלו לתוך חתך 2-D של הפרוסה.
3. המטופל מוזז קדימה, ופרוסה הבאה מצולמת.
4. השלבים מצטברים לתמונה 3-ממדית.

ב-CT נראה הרבה יותר מאשר בצילום רנטגן אחד, מכיוון שהרקמות הרכות החופפות נפרדות בזכות השחזור מרובי הזוויות.

"הסבר כיצד סריקת CT מייצרת תמונה תלת-ממדית" (חמישה נקודות). (1) צינור הרוגנן (וגולגל של גלאים) מתרחש סביב החולה, כך ש(2) נעשות תמונות רנטגן רבות של שלב אחד (חצייה) מזוויות שונות. (3) מחשב מאחד אותן ליצירת תמונה דו-ממדית של השלב ההוא. (4) החולה מוזז והתהליך חוזר עבור שלבים עוקבים. (5) השלבים משולבים לבניית תמונה 3-ממדית, שאפשר להסתובב ולהציג מכל זווית. מטרה: לצלם חצייה בגוף ללא חפיפה של מבנים כמו בקרן רנטגן יחידה, חשיפת מבנים שהיו נסתרים והמיקום שלהם בעומק. המחיר הוא תרומת קרינה הרבה גבוהה מאשר בקרן רנטגן אחת.

חומר סימן

חומר סימון הוא חומר המכיל גרעינים רדיואקטיביים שמוזרק לגוף. רקמות הנבדקות (למשל, גידול) סופגות אותו יותר בשל התמטבוליזם הגבוה שלהן (למשל, ספיגה מוגברת של חומר סימון מסומן בגלוקוז). הדעיכה שלו מתגלה מחוץ לגוף.

בטומוגרפיה בפליטת פוזיטרונים (PET), חומר הסימון הוא פולט $\beta^{+}$ — הוא משחרר פוזיטרון. דוגמה נפוצה היא פלואורין-18 הקשור לאנלוג של גלוקוז (FDG).

"הסבר מהו איזון ואיך הוא משמש" (שלוש נקודות). איזון הוא חומר המכיל גרעינים רדיואקטיביים (ל-PET, פולט $\beta^{+}$ כמו פלואורין-18) שנכנס לגוף (מוזרק או נבלע), בדרך כלל קשור לחוליה כמו גלוקוז, ונבלע על ידי הרקמה הנחקרת; הקרינה שהוא פולט יוצאת מהגוף ונתפסת, ולכן ההתפלגות שלו מראה היכן הרקמה פעילה. הגרעין נבחר עם חצי חיים קצר, כך שהפעילות גבוהה במהלך הסריקה ותרומת הקרינה של החולה לאחר מכן קטנה, אך לא כזו קצרה עד כדי כך שתפרק לפני שהגיע לרקמה: פלואורין-18 ($110$ דקות) וחמצן-15 ($2$ דקות, מיוצר ומשמש במקום) הם דוגמאות.

אננילציה

כשחלקיק נפגש עם אנטי-חלקיק שלו הם מתאבדים: מסתם הופכת לאנרגיה אלקטרומגנטית. ב-PET:

• פוזיטרון עובר מספר מ"מ לפני שהוא נפגש עם אלקטרון.
• הם מתאבדים. אנרגיה ותנע נשמרים.
• מכיוון שסך התנע הוא כמעט אפס, נוצרים שני פוטונים הנעים בכיוונים מנוגדים, כל אחד עם $511\ \text{keV}$ ($= m_{e} c^{2}$).

אנרגיית פוטוני האננילציה

עקב שימור האנרגיה, סך אנרגיית הפוטונים שווה לאנרגיית המנוחה של הזוג:

לכל פוטון יש $h f = m_{e} c^{2} \approx 8.2 \times 10^{-14}\ \text{J} \approx 0.51\ \text{MeV}$, כאשר $\lambda \approx 2.4 \times 10^{-12}\ \text{m}$.

הסבר תהליך האננילציה (ארבע נקודות). (1) הפוזיטרון שמפולט על ידי חומר הסימון עובר מרחק קצר ונפגש עם אלקטרון ברקמה. (2) הזוג מתאבד: מסתו הופכת לאנרגיה, (3) הנפלטת כשני פוטוני קרינת גמא, מכיוון ש-(4) תנע חייב להיות שמור: לזוג היה כמעט אין תנע, ולכן שני הפוטונים חייבים לנוע בכיוונים מנוגדים עם תנעים שווים. לכל פוטון יש אנרגיית מנוחה של חלקיק אחד, $0.51\ \text{MeV}$; פוטון בודד לא יכול לשמור על תנע.

דוגמה מופיעה. מצאו את האנרגיה הכוללית המשוחררת כאשר פוזיטרון ואלקטרון, הנעים לאט, מתאבדים, ואת אורך הגל של כל פוטון.

$E = 2m_{\text{e}}c^{2} = 2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times (3.00 \times 10^{8})^{2} = 1.64 \times 10^{-13}\ \text{J}$ ($1.02\ \text{MeV}$), חלוקה שווה: $8.2 \times 10^{-14}\ \text{J}$ לכל אחד. $\lambda = hc/E = (6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^{8})/(8.2 \times 10^{-14}) = 2.4 \times 10^{-12}\ \text{m}$, קרינת גמא. אם לעומת זאת האלקטרון והפוזיטרון כל אחד נעים ב$4.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ בכיוונים מנוגדים, לכל אחד יש אנרגיה קינטית של $\tfrac{1}{2}mv^{2} = 1.1 \times 10^{-15}\ \text{J}$, כמעט $1\%$ מאנרגיית המנוחה שלו, והפוטונים נושאים $8.3 \times 10^{-14}\ \text{J}$ כל אחד: אנרגיית המנוחה שולטת, ולכן פוטוני האננילציה תמיד בעלי אנרגיה זהה מאוד.

שחזור התמונה

שני הפוטונים יוצאים מהגוף בכיוונים הפוכים ופוגעים בטבעות גלאים סביב החולה. רישום שתי ההגעות בו-זמנית ("התנגשות") קובע את הקו שבו התרחשה ההתאמה. התנגשויות רבות מזוויות שונות מאפשרות למחשב לבנות מפת 3-ממדית של האיזון – המראה רקמות עם פעילות מטבולית גבוהה. השוואת שתי זמני ההגעה יכולה לדקדק את המיקום לאורך הקו (PET בזמן טיסה).

"הסבר כיצד משתמשים בפוטוני גמא ליצירת תמונה" (ארבע נקודות). (1) שני הפוטונים יוצאים מהגוף בכיוונים מנוגדים ונמדדים על ידי טבעת הגלאים. (2) שני פוטונים שמגיעים ב-אותו זמן (כמעט) נחשבים כאילו באו מאננילציה אחת, ולכן היא שוכנת על הקו המחבר בין שני הגלאים. (3) הפרש הקטן בזמן ההגעה מספק את המיקום לאורך קו זה ($d = c\,\Delta t/2$ מהנקודה האמצעית; הפרש של $1\ \text{ns}$ הוא $15\ \text{cm}$, ולכן הדיוק בזמן חייב להיות רב). (4) מחשב אוסף אירועים כאלה רבים ומפוסל את ריכוז החומר הרדייאקטיבי ברקמה, ומייצר תמונה; ריכוז גבוה יותר מצביע על רקמה פעילה יותר, כגון גידול. פוטונים שמגיעים לבד (השותף שלהם נבלע בגוף) נדחים.

שאלת הגדרה מוקדמת לפי טקסט קבוע. לימודן במדויק, ותן תשובה אחת בלבד.

• אולטרסאונד: פולס נכנס, הדהוד חוזר; עומק $= ct/2$ (הלוך וגם חזור); $Z = \rho c$; מקדם השתקפות מהעכבות השתיים; הג'ל מתאים את העכבה לעור. הדעיכה היא אקספוננציאלית וההדהוד חוצה את הרקמה פעמיים.
• קרני X: הייצור נעשה על ידי חוט להט מחומם, מופע גבוה, עצירה פתאומית ביעד; האינטנסיביות נקבעת על ידי זרם החוט, הקשיחות על ידי המופע; $\lambda_{\text{min}} = hc/(eV)$; $I = I_{0}e^{-\mu x}$ עם מעריכים המוספים לשכבות; הניגוד הוא הפרש ב$\mu$.
• CT: זוויות רבות, חצייה אחת, מחשב, שלבים עוקבים, 3-ממד. אמור את חמישתם.
• PET: $\beta^{+}$ חומר סימון, אננילציה עם אלקטרון, שני $0.51\ \text{MeV}$ פוטונים בכיוונים מנוגדים (תנע); התנגשות זמנית נותנת את הקו, הזמן נותן את המיקום.
• לדעת את שלושת התשובות "הסבר" מילולית: כיצד הגביש מייצר וגולש, כיצד קרני X מיוצרות, כיצד הפוטונים ממוקמים את חומר הסימון.
• לכתוב יחידות לכל עכבה ($\text{kg m}^{-2}\ \text{s}^{-1}$) ולכל מקדם ($\text{cm}^{-1}$ או $\text{m}^{-1}$), ולהמיר $\text{cm}$ ל$\text{m}$ רק אם $\mu$ נמצא ב$\text{m}^{-1}$.

טעויות נפוצות

• שכח את גורם ה-2 בעומק של קצה מחזיר, או את המעבר השני דרך הרקמה בעוצמת האחזור.
• הגדרת ההתנגדות האקוסטית כ"התנגדות לקול" במקום מכפלת צפיפות ומהירות הקול.
• ציין את מקדם ההחזרה לג'ל–עור כ"אפס"; הוא קטן, והעיקר הוא שהוא קטן.
• אמר שהמתח החשמלי (p.d.) שולט בעוצמת קרני ה-X, או שהזרם בנורת השופך שולט בקשיחות; זה להפוך.
• הסביר את אורך הגל המינימלי מבלי לציין שאלקטרון אחד מעביר כל אנרגייתו הקינטית לפוטון יחיד.
• חיבר עוביים של חומרים שונים לפני שימוש ב$e^{-\mu x}$; יש לחבר את המכפלות $\mu x$ במקום זאת.
• תיאר CT כ"קרן X ממספר זוויות" מבלי הצילום המחשבתי, החתך, או סדרת החתכים.
• נתן פוטון אחד להשמדה, או שני פוטונים באותה כיוון; שימור התנע דורש שני פוטונים בכיוונים מנוגדים.
• בלבול במחשבת מחצית החיים של הסימן: קצר כדי שהמינון יהיה קטן, אך ארוך מספיק כדי להגיע לרקמה ולעבור סריקה.