פיזיקת קוונטית

קרן אלקטרומגנטית מתנהגת כמו חלקיקים גם כמו גל. החלקיקים של הקרן האלקטרומגנטית הם פוטונים — חבילות קטנות ("קוונטים") של אנרגיה אלקטרומגנטית הנעות במהירות האור.

"צין מהו פוטון" (שתי נקודות). פוטון הוא קוונט (חבילה בדידה) של אנרגיה מקרינה אלקטרומגנטית. שני חלקי התשובה צריכים להיות: קוונט או חבילה (או "כמות בדידה"), וכן של קרינה אלקטרומגנטית (או "של אור"). ההגדרה "חלקיק של אור" לבד אינה מספקת. העובדה שהקרינה מגיעה בחבילות כאלה היא מה שהמסלול הקוראי מכנה מהות חלקיקית: האנרגיה מועברת בכמויות $hf$, לעולם לא בשברים קטנים יותר.

אנרגיה של פוטון

לפוטון בעל תדר $f$ יש אנרגיה

כאשר $h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J s}$ הוא קבוע פלאנק. באמצעות $c = f\lambda$:

דוגמה מופעלת. חשב את אנרגיית הפוטון של אור ירוק בעל אורך גל $500\ \text{nm}$. ($h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J s}$, $c = 3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$.)

פוטונים בתדר גבוה יותר (אורך גל קצר יותר) נושאים יותר אנרגיה: פוטון אחד $\gamma$-רדיאלי נושא הרבה יותר מאשר פוטון רדיו אחד.

אלקטרון-וולט

אלקטרון-וולט (eV) הוא יחידת אנרגיה פרקטית בקנה מידה אטומי:

זו אנרגיה קינטית שאלקטרון רוכש כאשר נע ברמת הפרש פוטנציאלים של 1 V. לדוגמה, פוטון נראה לעין ($\lambda \approx 500\ \text{nm}$) בעל אנרגיה $\approx 2.5\ \text{eV}$. עבור מעבר מ-eV ל-J כפול ב$1.60 \times 10^{-19}$; J ל-eV חלק.

שימוש באלקטרון-וולט. אנרגיות פוטונים, פונקציות עבודה ומערכי אנרגיה הם כולם בסביבות few eV, ולכן המבחן מציין אותם כך וצופה שתעבר בין יחידות ללא טירוד: פונקציית עבודה של $2.0\ \text{eV}$ היא $2.0 \times 1.60 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{-19}\ \text{J}$; פוטון בעל $4.0 \times 10^{-19}\ \text{J}$ הוא $2.5\ \text{eV}$. קיצור דרך שימושי לאורכי גל: $hc = 1.99 \times 10^{-25}\ \text{J m} = 1240\ \text{eV nm}$, כך שפוטון בעל $2.0\ \text{eV}$ נשאב $\lambda = 1240/2.0 = 620\ \text{nm}$ (אדום) ופוטון בעל $400\ \text{nm}$ נושא $3.1\ \text{eV}$.

תנע של פוטון

לפוטון יש גם תנע:

יש לו מסת מנוחה אפס אך תנע שאינו אפס $E/c$. לחץ קרינה (פוטונים הדוחפים על משטח) נובע מכך.

"הרא证明 כי $p = h/\lambda$." התחל משתי היחסים של הפוטון: $E = hf$ ו$p = E/c$. לאחר מכן $p = hf/c$, וכיוון ש$c = f\lambda$, $f/c = 1/\lambda$, ולכן $p = h/\lambda$. נתן את שני המשוואות ההתחלתיות וגם את משוואת הגל; הנקודה ניתנת לשלשלת ההסקה ולא לתוצאה.

דוגמה מופעלת. לפוטון בחלל פנוי יש תנע $9.5 \times 10^{-28}\ \text{N s}$. הרא证明 שהוא פוטון של אור אדום.

$\lambda = h/p = 6.63 \times 10^{-34}/9.5 \times 10^{-28} = 7.0 \times 10^{-7}\ \text{m} = 700\ \text{nm}$, הממוקם בקצה האדום של הספקטרום הנראה ($400$–$700\ \text{nm}$). האנרגיה היא $pc = 2.9 \times 10^{-19}\ \text{J} = 1.8\ \text{eV}$.

לחץ קרינה. קרן בעוצמה $I$ (הספק ליחידת שטח) הנופלת על שטח $A$ מספקת $IA/(hf)$ פוטונים לשנייה, כל אחד עם תנועה $h/\lambda$. הכוח הוא קצב השינוי בתנועה. על מראה כל פוטון קופץ לאחור, כך שתנועתו משתנה ב-$2p$ והכוח הוא $F = 2IA/c$ (לחץ $2I/c$); על משטח שחור כל פוטון נבלע, השינוי הוא $p$, והלחץ הוא $I/c$. שתי מסקנות נובעות מכך, ושניהן נבחנות: הלחץ תלוי ב-עוצמה, ולא בצבע, כי אור כחול באותה עוצמה מכיל פוטונים פחותים לשנייה אך כל אחד נושא תנועה פרופורציונלית גדולה יותר; ואף אור שמש ($I \approx 1\ \text{kW m}^{-2}$) מפעיל רק כמה מיקרו-פסקאלים.

דוגמה פותרת. אור אדום בעוצמה $160\ \text{W m}^{-2}$ נופל מאונך על מראה חלקה; לכל פוטון יש תנועה $9.5 \times 10^{-28}\ \text{N s}$. מצאו את מספר הפוטונים הפוגעים ב-$1.0\ \text{m}^{2}$ מהמראה בשנייה, ואת הלחץ עליה.

אנרגיית פוטון $E = pc = (9.5 \times 10^{-28})(3.00 \times 10^{8}) = 2.85 \times 10^{-19}\ \text{J}$. פוטונים לשנייה על $1.0\ \text{m}^{2}$: $160/2.85 \times 10^{-19} = 5.6 \times 10^{20}\ \text{s}^{-1}$. כל אחד מוחזר, ולכן הכוח הוא $F = 5.6 \times 10^{20} \times 2 \times 9.5 \times 10^{-28} = 1.1 \times 10^{-6}\ \text{N}$ על $1.0\ \text{m}^{2}$: לחץ של $1.1 \times 10^{-6}\ \text{Pa}$ (בדיקה: $2I/c = 320/3.00 \times 10^{8} = 1.1 \times 10^{-6}\ \text{Pa}$). החליפו את הקרן באור כחול באותה עוצמה והלחץ נשאר לא משתנה.

דוגמה פותרת. לייזר פולט $2.0\ \text{mW}$ של אור באורך גל $650\ \text{nm}$. מצאו את מספר הפוטונים שהוא פולט בשנייה, ואת הכוח על משטח בולע את הקרן לחלוטין.

$E = hc/\lambda = (6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^{8})/(650 \times 10^{-9}) = 3.06 \times 10^{-19}\ \text{J}$, ולכן הקצב הוא $P/E = 2.0 \times 10^{-3}/3.06 \times 10^{-19} = 6.5 \times 10^{15}\ \text{s}^{-1}$. הכוח הוא התנועה המוסרת לשנייה: $F = P/c = 2.0 \times 10^{-3}/3.00 \times 10^{8} = 6.7 \times 10^{-12}\ \text{N}$ (או $6.5 \times 10^{15} \times h/\lambda$, אותו דבר).

כאשר קרינה אלקטרומגנטית בתדר גבוה מספיק פוגעת במתכת, אלקטרונים פולטים. אלו פוטואלקטרונים, והתופעה נקראת אפקט הפוטואלקטרי.

"ציינו מה משמעו של אפקט הפוטואלקטרי." פליטת אלקטרונים מ-(פני השטח של) מתכת כאשר קרינה אלקטרומגנטית בתדר גבוה מספיק נופעת עליה. שני נקודות: פליטת אלקטרונים ו-מפני מתכת מוארים על ידי קרינה אלקטרומגנטית (או "כאשר אור מושפע עליה"). זו עדות התוכנית לטבע החלקיקי של הקרינה, מכיוון שאל גל לא יכול להסיר מה הבא.

תדר סף ופונקציית עבודה

לכל מתכת יש תדירות פוטון מינימלית, תדירות הסף $f_{0}$, מתחת לה אין אלקטרונים בוראים, לא משנה כמה האור בהיר. פונקציית העבודה $\Phi$ היא האנרגיה המינימלית הנדרשת לשחרר אלקטרון מהמשטח:

למתכות שונות יש פונקציות עבודה שונות (כ-$2$–$5\ \text{eV}$).

הגדרות בעלות שתי נקודות. אנרגיית פונקציית העבודה של מתכת היא האנרגיה המינימלית הנדרשה להוציא אלקטרון מהמשטח של המתכת. הן "מינימלית" והן "מהמשטח" מביאות נקודות: אלקטרון העמוק יותר בתוך המתכת דורש אנרגיה רבה יותר, ולכן המשוואה נותנת אנרגיה קינטית מקסימלית. תדירות הסף היא התדירות המינימלית של הקרינה עבורה פולטים פוטואלקטרונים, ו-אורך הגל של הסף $\lambda_{0} = c/f_{0} = hc/\Phi$ הוא אורך הגל המקסימלי המתאים לו: אורכי גל ארוכים יותר אינם יוצרים השפעה.

דוגמה מופעלת. אור באורך גל $400\ \text{nm}$ מאיר על ארבע מתכות שהפונקציות שלהן הן: צזיום $2.1\ \text{eV}$, נתרן $2.3\ \text{eV}$, אבץ $4.3\ \text{eV}$, פלטינה $5.6\ \text{eV}$. אילו מהן פולטות פוטואלקטרונים, ובאיזה אנרגיה קינטית מקסימלית?

אנרגיית הפוטון היא $hc/\lambda = 1240/400 = 3.1\ \text{eV}$. לפליטה נדרש $hf \geq \Phi$, לכן צזיום ($3.1 - 2.1 = 1.0\ \text{eV}$) ונתרן ($0.8\ \text{eV}$) פולטים; אבץ ופלטינה אינם פולטים, לא משנה כמות האינטנסיביות של האור. כדי לגרום לאבץ לפלוט, אורך הגל חייב להיות קצר מ$\lambda_{0} = 1240/4.3 = 290\ \text{nm}$, בחלק האולטרה סגול, ולכן הדמון עם האלקטרוסקופ דורש מנורת UV על אבץ.

דוגמה מופעלת. דף מגנזיום מלוטש בוואקום פולט אלקטרונים רק כאשר התדירות האולטרה סגולה היא לפחות $8.8 \times 10^{14}\ \text{Hz}$. הדף מאיר בתדירות $1.2 \times 10^{15}\ \text{Hz}$. מצאו את פונקציית העבודה ואת המהירות המקסימלית של הפוטואלקטרונים.

$\Phi = hf_{0} = (6.63 \times 10^{-34})(8.8 \times 10^{14}) = 5.8 \times 10^{-19}\ \text{J}$ ($3.6\ \text{eV}$). אזי $\tfrac{1}{2}mv_{\text{max}}^{2} = h(f - f_{0}) = (6.63 \times 10^{-34})(1.2 \times 10^{15} - 8.8 \times 10^{14}) = 2.1 \times 10^{-19}\ \text{J}$, ולכן $v_{\text{max}} = \sqrt{2 \times 2.1 \times 10^{-19}/9.11 \times 10^{-31}} = 6.8 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$. חסרו את התדריים לפני הכפלה ב$h$; עיגול $hf$ ו$\Phi$ בנפרד מאבד ספרה משמעותית בהפרק הקטן.

משוואת הפוטואלקטריק של איינשטיין

פוטון אחד מעביר את כל אנרגייתו לאלקטרון אחד. אם אנרגיית הפוטון $hf$ גדולה מפונקציית העבודה, האלקטרון בורח עם אנרגיה קינטית עד למקסימום:

דוגמה מופעלת. למתכת יש פונקציית עבודה של $2.0\ \text{eV}$. אור המורכב מפוטונים באנרגיה $3.5\ \text{eV}$ מאיר עליה. מצאו את האנרגיה הקינטית המקסימלית של הפוטואלקטרונים.

לכן האנרגיה הקינטית המקסימלית של פוטואלקטרונים תלויה בקווי בתדירות, ולא בעוצמת האור.

קריאת הגרף. כתבו את המשוואה ב$E_{\text{K,max}} = hf - \Phi$: קו ישר בשיפוע $h$, חיתוך $-\Phi$ בציר האנרגיה וחיתוך $f_{0} = \Phi/h$ בציר התדירות. לכן גרף לשתי מתכות מראה שני קווים מקבילים (אותו שיפוע $h$ לכל מתכת), המתכת עם פונקציית העבודה הגדולה יותר חותכת את ציר התדירות farther to the right; עוצמת האור לא מזיזה אף אחד מהקווים. זוהי הדרך שבה נמדד קבוע פלאנק, ו"שרטטו את הקו למתכת Y" מסומן בדיוק על שני מאפיינים אלו.

מדידת האנרגיה הקינטית המרבית. בתא פוטואלקטרי, הפוטואלקטרונים חוצים וואקום ומגיעים לאספן, והזרם הוא ספירת אלקטרונים לשנייה. הופכים את האספן לשלילי, והאלקטרונים צריכים לעלות על גבעת פוטנציאל; מעלים את מתח ההפוך עד שהזרם מגיע בדיוק לאפס, ה-מתח עצירה $V_{\text{s}}$, ואז $eV_{\text{s}} = E_{\text{K,max}}$. שני תוצאות, שתיהן נבדקות: בתדר קבוע, הכפלת העוצמה כופלת את הזרם במתחי הפוך נמוכים אך משאירה $V_{\text{s}}$ ללא שינוי; הרמת התדר מרים את $V_{\text{s}}$ אך, בעוצמה קבועה, אינה מרימה את הזרם.

מדוע דגם הגל נכשל

דגם גל חוזה שהבהירות אמורה לקבוע את אנרגיית הקינטיקה של האלקטרונים, והפליטה אמורה להתרחש בכל תדר בהינתן מספיק זמן. אך ניסויים מראים:

• אין פליטה מתחת לתדר הסף, לא משנה כמה הבהירות.
• פליטה מיידית בתדר או מעליו, גם כאשר האור חלש.
• האנרגיה הקינטית המקסימלית (KE) תלויה בתדר, לא בבהירות.
• מספר הפוטואלקטרונים (הזרם) תלוי בבהירות.

הדגם הפוטוני מסביר זאת: האור מגיע כפוטונים, כל אחד באנרגיה $hf$. אינטראקציה אחת בין פוטון-אלקטרון או שיש לה מספיק אנרגיה לשחרר את האלקטרון ($hf \geq \Phi$) או שאין.

מדוע האנרגיה הקינטית המקסימלית קבועה אך הזרם עולה עם הבהירות

קרן בהירה יותר באותו תדר מכילה יותר פוטונים בשנייה, אך כל אחד עדיין נושא $hf$. לכן האנרגיה הקינטית המקסימלית של כל אלקטרון היא $hf - \Phi$ (נקבעת על ידי $f$ בלבד), בעוד שקצב הפליטה (הזרם) עולה עם מספר הפוטונים, כלומר עם הבהירות. הכפלת הבהירות כופלת את הזרם אך אינה משנה את האנרגיה הקינטית המקסימלית.

כתיבת ההסבר (סטנדרט של שלושה נקודות). (1) כל פוטון מקיים אינטראקציה עם, ומעביר את כל אנרגייתו ל,אחד אלקטרון. (2) אנרגיית הפוטון $hf$ תלויה רק בתדר, ולכן האנרגיה המקסימלית שאלקטרון יכול לצאת איתה, $hf - \Phi$, נקבעת על ידי התדר. (3) עליית העוצמה באותו תדר מעלה את מספר הפוטונים בשנייה, כך שמשתחררים יותר אלקטרונים בשנייה (זרם גדול יותר), אך כל אחד עדיין מקבל את אותה אנרגיה. דגם גל, לעומת זאת, היה מפזר את אנרגייתו על פני השטח, ולכן גל בהיר יותר אמור היה להעניק אלקטרונים מהירים יותר וגל חלש יותר אמור היה לדורש השהייה כדי לצבור אנרגיה; שום אחד מהדברים הללו לא קורה.

האפקט הפוטואלקטרי הוא ראיה חזקה לטבע החלקיקי של האור. אך התאבכות (ניסוי החריצים הכפול של יאנג, רשת ההתאבכות) והתפשטות מראה את טבעה הגלי. לכן לאור יש שני צדדים - גלי וחלקיקי - זהו כפילות גל-חלקיק.

"תיארו מה מתכוונים בכפילות גל-חלקיק" (שתי נקודות). קרינה אלקטרומגנטית (וחומר) יכולים להציג גם מאפיינים גליים, כמו התאבכות והתפשטות, וגם מאפיינים חלקיקיים, כמו האפקט הפוטואלקטרי (או, לחומר, התנגשויות דיסקרטיות). מבוקש חלקיק אחד לכל טבע של הקרינה, תנו: חלקיקי, האפקט הפוטואלקטרי (תדר הסף והפליטה המיידית); גלי, התפשטות או התאבכות (חריצי יאנג, רשת התפשטות). עבור חומר, הראיה הגלית היא התפשטות אלקטרונים.

הנחת דה-ברולי

אם גל יכול לפעול כמו חלקיקים, אולי חלקיקים יכולים לפעול כמו גלים. דה-ברולי הציע שכל חלקיק נענע הוא בעל אורך גל דה-ברולי:

כאשר $p = mv$. דוגמה: אלקטרון ב$v = 4.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ יש לו $p = 4.46 \times 10^{-23}\ \text{kg m s}^{-1}$, ולכן $\lambda = 1.49 \times 10^{-11}\ \text{m} \approx 0.015\ \text{nm}$ - קרוב למרווחים אטומיים.

"ציינו מה מתכוונים באורך גל דה-ברולי. האורך הגלי הקשור לחלקיק נע, או האורך הגלי של הגל הקשור לחלקיק עם תנע $p$, נתון על ידי $\lambda = h/p$ כאשר $h$ הוא קבוע פלאנק. ב"ציינו את הנוסחה ואת המשמעות של כל סמל אחר", תקראו $h$ כקבוע פלאנק ו$p$ כתנע החלקיק. האורך הגלי קטן כי $h$ קטן: כדור $0.10\ \text{kg}$ ב$10\ \text{m s}^{-1}$ יש לו $\lambda = 6.6 \times 10^{-34}\ \text{m}$, הרבה מתחת לכל חריץ או מרווח רשת, ולכן אובייקטים יומיומיים לא מראים התפשטות.

התפשטות אלקטרונים

כאשר אלקטרונים משוגרים כלפי רשת גבישית (למשל, גרפית דק), הם יוצרים תבנית התפרקות של טבעות בהירות על מסך — בדיוק מה שגלים בעלות אורך גל $\lambda = h/p$ יעשו. זהו הוכחה ישירה לטבע הגלי של חלקיקים (התפרקות אלקטרונים): רק גלים מתפרקים, אך אלקטרונים עושים זאת.

אלקטרון מהיר יותר הוא בעל תנע גדול יותר, ולכן אורך גל ד-ברולי קצר יותר, המתפרק פחות — הטבעות נעות קרוב זו לזו. האטת האלקטרונים מפרידה בין הטבעות. לחישוב: $p = \sqrt{2 m E_{\text{K}}}$, ולאלקטרון המואץ דרך פ.ד. $V$, $E_{\text{K}} = eV$, ולכן $\lambda = h/\sqrt{2m_{e} e V}$.

דוגמה מופתרת. אלקטרון מאוצ דרכו מפסק פוטנציאל (p.d.) של $2500\ \text{V}$. מצאו את אורך הגל שלו לפי ד-ברולי. ($m_{e} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$, $h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J s}$.)

האנרגיה הקינטית שלו היא $E_{\text{K}} = eV$, ולכן $\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2 m_{e} e V}}$:

ערך זה קרוב למרווח בין אטומים בגביש, ומכאן שהאלקטרונים מתפרקים מעל הגרפית.

גזירת $\lambda$ עבור אלקטרון מאוצ. אלקטרון במסה $m$ ובמטען $q$ המואץ מפסק פוטנציאל (p.d.) $V$ רוכש אנרגיה קינטית $qV = \tfrac{1}{2}mv^{2}$, ולכן $v = \sqrt{2qV/m}$ ו$p = mv = \sqrt{2mqV}$; מכאן $\lambda = h/\sqrt{2mqV}$. שתי השלכות לבדיקה: הגדלת $V$ מגדילה את התנע ומקצרת את אורך הגל, ולכן טבעות ההתפרקות צמודות למרכז; חציית אורך הגל דורשת ארבע פעמים יותר פ.ד.

תיאור התפרקות אלקטרונים (ארבע נקודות). (1) אלקטרונים ממחוט מחומם מאוצים דרך פ.ד. גבוהה אל קרן. (2) הקרן פוגעת בסרט גרפית פולי-קריסטלי דק; המרווח הסדיר של אטומי הפחמן, כ-$10^{-10}\ \text{m}$, משמש כרשת התפרקות. (3) על מסך פלואורסנטי האלקטרונים יוצרים נקודה מרכזית בהירה מוקפת בטבעות קונצנטריות. (4) הטבעות הן תבנית התפרקות, והתפרקות היא תכונה גלית, ולכן האלקטרונים מתנהגים כגלים; רדיוסי הטבעות תואמים אורך גל $h/p$, שמאשר את קשר ד-ברולי. שרטטו את התבנית כטבעות, לא כתוצאות או תבנית פריזמות. קרן מהירה יותר נותנת טבעות ברדיוס קטן יותר.

באטום מבודד, אלקטרונים יכולים לשבת רק על רמות אנרגיה דיסקרטיות מסוימות — לעולם לא ביניהן. הנמוכה ביותר היא מצב היסוד; שאר הרמות הן מצבים מעוררים.

לפי מקובל, האנרגיות נכתבות שליליות, כאשר $E = 0$ עבור אלקטרון החופשי ממש מהאטום. עבור מימן, מצב היסוד הוא $E_{1} = -13.6\ \text{eV}$; רמות גבוהות יותר מתקרבות לאפס.

ספקטרום פליטה

כאשר אלקטרון יורד מרמה גבוהה $E_{2}$ לרמה נמוכה $E_{1}$, הוא פולט פוטון אחד באנרגיה

(שתי האנרגיות שליליות; ההפרש ביניהן חיובי.) מכיוון שהרמות דיסקרטיות, נפלטים רק אנרגיות פוטון מסוימות — ולכן אורכי גל מסוימים. ספקטרום הפליטה הוא סדרה של קווים בהירים חדים על רקע כהה, קו אחד לכל מעבר. הדפוס הוא "חתימת יד" של היסוד.

הסבר ספקטרום קווי (הנוסח הסטנדרטי של ארבע נקודות). (1) האלקטרונים באטום מבודד יכולים לתפוס רק רמות אנרגיה דיסקרטיות. (2) אלקטרון במצב מעורר נופל לרמה נמוכה והאנרגיה שאבד נפלט כ-פוטון אחד. (3) אנרגיית הפוטון שווה להפרש בין שתי הרמות, $hf = E_{2} - E_{1}$, ולכן נפלטים רק תדרים (אורכי גל) מסוימים. (4) כל מעבר אפשרי נותן קו אחד; אותו סט של רמות נותן אותם קווים בכל פעם, ולכן ספקטרום מזהה את היסוד. בבקשה להתאמת קווים למעברים: הפער האנרגטי הגדול ביותר נותן את הקו של תדר גבוה ביותר ואורך גל קצר ביותר.

*ספקטרי פליטה אמיתיים של יסודות: לכל אחד מהם ערכה ייחודית של קווים בהירים – חתימת אצבע של היסוד

ספקטר ספיגה

כאשר אור לבן עובר דרך גז קר, פוטונים שאנרגיה שלהם תואמת בדיוק מעבר כלפי מעלה נספגים. האור המעביר את עצמו מציג קווים כהים על רקע בהיר – הספקטר הספיגה. הקווים הכהים נמצאים באותו אורך גל כמו קווי הפליטה של אותו גז.

הסבר לקווים הכהים. פוטונים שאנרגיה שלהם שווה להפרש בין שני רמות נספגים, ומרים אלקטרון לרמה הגבוהה; האלקטרון המוגרה נוטה לחזור במהירות ולפלוט מחדש פוטון באותה אנרגיה, אך בכיוון אקראי, כך שכמעט אף אחד מקווי האור הללו אינו ממשיך לאורך המסלול המקורי. שאר האור הלבן, שמשתתפים בו פוטונים שאינם תואמים פערים אנרגטיים, עובר ללא שינוי. מכאן שישנם קווים כהים באותו אורך גל שבו אותו גז היה מפליט: ספקטר השמש מציג את קווי הספיגה של הגזים הקרים בשכבות החיצוניות שלו.

*קווי ספיגה כהים בספקטר השמש מסמנים את אורכי הגל הנספגים על ידי גז קר יותר

חישובים

למעבר בין שתי רמות ידועות:

עבוד ביחידות עקביות – המרת eV לג'אולים (× $1.60 \times 10^{-19}$) לפני מציאת $\lambda$ במטרים, או שימוש ב$hc \approx 1240\ \text{eV nm}$ למדידה מהירה.

*מרמות לקווים: כל מעבר כלפי מטה אל הרמה הבסיסית מייצר קו אחד, והקפיצה הגדולה ביותר נופלת הרחק יותר לכיוון הקצה של אורכי הגל הקצרים

דוגמה מפורטת. ארבע הרמות האנרגטיות הנמוכות ביותר של מימן הן $-13.6$, $-3.40$, $-1.51$ ו$-0.85\ \text{eV}$. מצאו את אורכי הגל של שלושת הקווים שנוצרו על ידי מעברים אל הרמה הבסיסית, ואת מספר הקווים שארבע רמות אלו יכולות לייצר יחד.

מעבר $2 \to 1$: $\Delta E = 13.6 - 3.40 = 10.2\ \text{eV}$, לכן $\lambda = 1240/10.2 = 122\ \text{nm}$. $3 \to 1$: $12.09\ \text{eV}$, $\lambda = 103\ \text{nm}$. $4 \to 1$: $12.75\ \text{eV}$, $\lambda = 97.3\ \text{nm}$: כולם אולטרבהולט, הקפיצה הגדולה ביותר נותנת את האורך הקצר ביותר. ארבע רמות מאפשרות $4 \to 3$, $4 \to 2$, $4 \to 1$, $3 \to 2$, $3 \to 1$ ו-$2 \to 1$: שש קווים. הקו האדום הנראה לעין של מימן הוא $3 \to 2$: $1.89\ \text{eV}$, $656\ \text{nm}$. (עבודה ביחידות ג'אול: $10.2\ \text{eV} = 1.63 \times 10^{-18}\ \text{J}$, $\lambda = hc/E = 1.99 \times 10^{-25}/1.63 \times 10^{-18} = 1.22 \times 10^{-7}\ \text{m}$.)

דוגמה מפורטת. לייזר פולט אור אדום בעל אורך גל $650\ \text{nm}$ כאשר אלקטרונים נופלים מרמה אחת לאחרת. מצאו את הפרש האנרגיה בין שתי הרמות.

$\Delta E = hc/\lambda = 1240/650 = 1.91\ \text{eV} = 3.1 \times 10^{-19}\ \text{J}$. הפרש האנרגיה, ולא כל רמה בנפרד, קובע את הצבע: שני אטומים עם רמות שונות אך אותו פרש אנרגטי פולטים אותו קו.

דוגמה מפורטת (השמדה). אלקטרון ופוזיטרון, שכל אחד מהם זז לאט, נפגשים ומתמחים (נשמידים), ומייצרים שני פוטונים זהים. מצאו את אורך הגל של כל פוטון. ($m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$.)

האנרגיה השקועה של כל חלקיק היא $E = mc^{2} = (9.11 \times 10^{-31})(3.00 \times 10^{8})^{2} = 8.2 \times 10^{-14}\ \text{J}$ ($0.51\ \text{MeV}$), ושמירת התנע מחלקת את האנרגיה בין שני פוטונים הזזים בכיוונים מנוגדים, כך שכל אחד נושא $8.2 \times 10^{-14}\ \text{J}$: $\lambda = hc/E = 1.99 \times 10^{-25}/8.2 \times 10^{-14} = 2.4 \times 10^{-12}\ \text{m}$, קרן גاما. (כל אנרגיה קינטית שהייתה לזוג נוספת לאנרגיות הפוטונים.)

שאלת הגדרה מוקדמת לפי טקסט קבוע. לימודן במדויק, ותן תשובה אחת בלבד.

• פוטון: $E = hf = hc/\lambda$, $p = E/c = h/\lambda$. השתמש ב$hc = 1240\ \text{eV nm}$ כדי לעבור בין אורך גל ואנרגיה ב-eV, והמרה לג'ואול רק אם התשובה דורשת זאת.
• משוואת האפקט הפוטואלקטרי $hf = \Phi + \tfrac{1}{2}mv_{\text{max}}^{2}$: אנרגיה מקסימלית, פוטון אחד לאלקטרון אחד; הגרף של $E_{\text{K,max}}$ כנגד $f$ בעל שיפוע $h$ וחתכים $f_{0}$ ו$-\Phi$.
• עוצמה משנה את כמות הפוטונים לשנייה (הזרם); תדר משנה את אנרגיה של כל אחד (האנרגיה הקינטית המקסימלית). שמור על שתי המשפטים הללו נפרדים והסבר עצמו יכתוב את עצמו.
• עדות: אפקט פוטואלקטרי לחלקיקים, פיזור והתאבכות לגלים; פיזור אלקטרונים למבנה הגלי של החומר, עם $\lambda = h/p = h/\sqrt{2mqV}$.
• ספקטרום קווים: רמות דיסקרטיות, פוטון אחד לכל מעבר, $hf = E_{2} - E_{1}$; הפער הגדול ביותר מעניק את אורך הגל הקצר ביותר; קווי הספיגה נמצאים במקומות שבהם היו קווי פליטה, מכיוון שהאור שנספג מופלט מחדש בכל הכיוונים.
• לחץ קרינה: כוח $=$ פוטונים לשנייה $\times$ שינוי תנע לפוטון; $2p$ למראה, $p$ לסופג; הלחץ תלוי בעוצמה, לא בצבע.

טעויות נפוצות

• הגדרת פוטון כ"חלקיק אור" ללא "קוונט/חבילת אנרגיה", או עבודת יציאה ללא "מינימלית" ו"מפני השטח".
• טענה שאור בהיר יותר נותן אלקטרונים פוטואלקטריים מהירים יותר, או שמתחת לתדר הסף הפליטה תקרה לבסוף.
• מערבוב eV וג'אול במשוואה אחת; שוכחים להחסיר את עבודת היציאה; משתמשים ב$\tfrac{1}{2}mv^{2}$ עם האנרגיה הקינטית המקסימלית ב-eV.
• כתיבת אורך גל ד ברוייל עבור אלקטרון מואץ כ$h/(mv)$ עם $v$ מותאם, במקום $h/\sqrt{2mqV}$.
• תיאור פיזור אלקטרונים כפסים בהירים או כתמים; הדפוס הוא טבעות קונצנטריות, ומתח גבוה יותר הופך אותן לקטנות יותר.
• טעות בקביעת כיוון המעבר: פליעה היא ירידה לרמה נמוכה יותר, ספיגה היא עלייה; אנרגיית הפוטון שווה להפרש, לעולם לא לאנרגיה של רמה אחת.
• טענה שרווח האנרגיה הגדול ביותר נותן את אורך הגל הארוך ביותר.
• לשכוח שפוטון שנשקף משנה תנע ב-$2p$, או שהלחץ של אור כחוב בעוצמה זהה הוא זהה לאור אדום.