שדות כבידה

הגדרה

שדה כבידה הוא אזור שבו מסה מרגישה כוח ממסות אחרות. עוצמת השדה הכבידתי $g$ בנקודה היא הכוח הכבידתי ליחידת מסה הפועל על מסת מבחן קטנה הניצבת שם:

יחידה: $\text{N kg}^{-1}$ (אותה יחידה כמו $\text{m s}^{-2}$ — תאוצת הנפיל החופשית בשדה). $g$ הוא וקטור, המצביע לכיוון הפעולת הכוח — לעבר מסת המקור.

ניסוח המבקר. שדה כבידה הוא אזור מרחב בו מסה חווה כוח. עוצמת שדה כבידה בנקודה היא הכוח הכבידתי ליחידת מסה הפועל על מסת מבחן קטנה הניצבת בנקודה. כיוון קו שדה בנקודה הוא כיוון הכוח על (מסת מבחן) קטנה הניצבת שם. כל שלושת ההגדרות הן בהגדרות בעלות סימן אחד; הביטוי "כוח ליחידת מסה" מציין סימן, בעוד "הכוח על 1 ק"ג" אינו מציין סימן.

קווי שדה

שדה כבידה מצויר עם קווי שדה המצביעים את כיוון הפעולת הכוח על מסת מבחן:

• סביב מסה נקודתית או כדור אחיד (הנתפס כמסה נקודתית מoutside), קווי השדה הם רדיאליים, המצביעים פנימה.
• בסמוך לפני השטח של כדור הארץ באזור קטן, קווי השדה הם כמעט מקבילים ומרוחקים באופן שווה, המצביעים ישר למטה — שדה אחיד.

קווים צפופים יותר מעידים על שדה חזק יותר.

מדוע $g$ קבוע בסמוך לפני השטח, בניסוח קווי שדה (הסבר ב-2 סימנים): באזור whose גודל קטן ביחס לרדיוס כדור הארץ, קווי השדה הרדיאליים הם כמעט מקבילים והמרווח ביניהם משתנה מעט מאוד בגובה, ולכן עוצמת השדה — שמייצגת המרווח — כמעט זהה בחלק העליון של האזור כפי שהיא בחלק התחתון. בכל פני השטח של כדור הארץ הקווים מתרחקים עם המרחק ושדה יורד.

דוגמה מפורשת. נקודה P מייצגת מסה נקודתית. צייר קווים המייצגים את השדה הכבידתי סביב P, וחלק מהכיוון של קו מייצג.

קווים רדיאליים ישרים, המרווחים באופן שווה סביב נקודה P, עם חצים המצביעים פנימה לעבר P. הכיוון של הקו הוא כיוון הכוח הפועל על מסת בדיקה קטנה המוקמת שם — תמיד אל המסה שמייצרת את השדה, מכיוון שכוח הכבידה מושך בלבד.

עבור שתי מסות נקודתיות $m_{1}, m_{2}$ במרחק $r$ אחת מהשנייה, הכוח הפועל על כל אחת מהן הוא:

ושואף להקרבתן זו לזו לאורך הקו המקשר ביניהן. זהו חוק הכבידה של ניוטון. הקבוע $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$ הוא קבוע הכבידה האוניברסלי.

בעברית, כפי שהמפתח דורש: הכוח הכבידתי בין שתי מסות נקודתיות פרופורציונלי למכפלת מסותיהן והופך פרופורציונלי לריבוע המרחק ביניהן — שתי הפרופורציונליות, ו"מסות נקודתיות". כאשר מבקשים "להציג את המשוואה ולהגדיר את משמעות הסמלים האחרים", יש לתת $F = Gm_{1}m_{2}/r^{2}$ כאשר $G$ הוא קבוע הכבידה ו$r$ הוא המרחק בין המרכזים.

דוגמה פתורה. שתי כדורים אחידים מבודדים, כל אחד בעל מסה $1.0 \times 10^{3}\ \text{kg}$, ומרכזיהם נמצאים במרחק $2.0\ \text{m}$ זה מזה. מצאו את הכוח הכבידתי ביניהם והעריכו את גודלו.

$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.0 \times 10^{3} \times 1.0 \times 10^{3}}{2.0^{2}} = 1.7 \times 10^{-5}\ \text{N}$. זהו כ-$10^{-9}$ ממשקל כל כדור ($9.8 \times 10^{3}\ \text{N}$): כוח הכבידה בין אובייקטים יומיומיים זניח, וכדי ליצור שדה מורגש נדרשת מסה בגודל כוכב לכת. המילה "מבודדים" בשאלה מעניינת כי אין צורך לשקול מסות נוספות.

טיפול בכדורים כמסות נקודתיות

עבור כדור אחיד (כמו כוכב לכת או כוכב), השדה בכל נקודה מחוץ לכדור זהה לשדה של מסה נקודתית ששווה למסה הכוללת ומוקמת במרכז. לכן, מנקודת מבט מחוץ לפני השטח, ניתן להתייחס לכדור הארץ כמסה נקודתית במרכזו. (נקודות בתוך כדור שונות ואינן נכללות בסילבוס.)

בין שתי מסות השדות חוסרים והפוטנציאלים מתחברים. עוצמת השדה היא וקטור: לאורך הקו המקשר בין שני כדורים, שני השדות מצביעים בכיוונים מנוגדים, ולכן קיים נקודה בה הם מבטלים זה את זה ושדה התוצר הוא אפס. הפוטנציאל הוא סקלר: שני הפוטנציאלים פשוט מתחברים, ושניהם שליליים, ולכן הפוטנציאל הוא הפחות שלילי (מקסימום) בנקודה בה השדה הוא אפס.

דוגמה פתורה. שני כדורים אחידים מבודדים וזהים X ו-Y, כל אחד בעל מסה $M$ ורדיוס $R$, ומרכזיהם במרחק $L$ זה מזה. נקודה P נמצאת על הקו המקשר בין המרכזים. הצגו היכן לאורך הקו עוצמת השדה התוצר היא אפס, ומצאו את הפוטנציאל הכבידתי שם.

על פי סימטריה, השדות של X ו-Y שווים והפוכים באמצע, $L/2$ מכל מרכז, ולכן השדה הסיכומי הוא אפס שם. הפוטנציאל ב-P הוא הסכום $\phi = -\dfrac{GM}{L/2} - \dfrac{GM}{L/2} = -\dfrac{4GM}{L}$. מסה ששוחררה ב-P תישאר שם; מסה ששוחררת בכל מקום אחר על הקו תיפול לעבר הכד הקרוב יותר.

עוצמת שדה ממסת נקודתית

הציבו את הכוח הכבידתי על מסת בדיקה $m$ במרחק $r$ ממסת נקודתית $M$ לתוך $g = F/m$:

לכן $g$ יורד כפי $1/r^{2}$ כשמתרחקים מהמקור.

הפסקה לשתי נקודות. הכוח על מסת מבחן $m$ במרחק $r$ ממסת נקודתית $M$ הוא $F = GMm/r^{2}$ (חוק ניוטון). חוזק השדה הוא כוח ליחידת מסה, $g = F/m$, ולכן $g = GM/r^{2}$. כתבו שתי שורות: החוק וההגדרה הם שתי הנקודות. מכיוון ש$g \propto 1/r^{2}$, חציית המרחק גורמת לשדה להיות ארבע פעמים חזק יותר: במרחק $x/2$ השדה הוא $4g$, באותה כיוון, כלפי $M$.

דוגמה מפורטת. מצאו את עוצמת השדה הכבידתי לפני פני כדור הארץ. (מסת כדור הארץ $M = 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$, רדיוס $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)

מדוע $g$ כמעט קבוע קרוב לפני השטח

רדיוס כדור הארץ הוא $R \approx 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. עלייה לגובה $h$ משנה את המרחק ממרכז כדור הארץ מ$R$ ל$R + h$. עבור $h \ll R$ (כל בניין או הר), $(R + h)/R \approx 1$, ולכן $g$ משתנה מעט מאוד — עלייה מגובה $5\ \text{m}$ לגובה $10\ \text{m}$ משנה את $r$ בכ-חלק אחד במיליון. במעבדה, $g$ הוא בפועל קבוע.

לעבור על לוויין בעל מסה $m$ במסלול עגול ברדיוס $r$ סביב גוף בעל מסה $M$, הכבידות מספקת את כוח המרכז:

ביטול $m$ (מהירות המסלול אינה תלויה במסת הלוויין):

דוגמה מפורטת. לוויין מקיף את כדור הארץ במסלול עגול ברדיוס $r = 7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. מצאו את מהירות המסלול שלו. (עבור כדור הארץ, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$.)

התקופה נובעת מ$T = 2\pi r / v$:

זוהי חוק השלישי של קפלר למסלולים מעגליים: $T^{2} \propto r^{3}$. גרף של $T^{2}$ מול $r^{3}$ הוא קו ישר העובר דרך נקודת האפס עם שיפוע $4\pi^{2}/(GM)$, ולכן נתוני מסלול מאפשרים לחשב את המסה המרכזית.

הפקת הנוסחה בשני נקודות, כפי שנדרש במבחן. עבור לוויין בעל מסה $m$ במסלול מעגלי ברדיוס $R$ ובעת מחזור $T$ סביב כוכב לכת בעל מסה $M$: הכוח הכבידתי מספק את הכוח המרכזי, $\dfrac{GMm}{R^{2}} = mR\omega^{2}$, ולכן $\omega = 2\pi/T$; מכאן $\dfrac{GM}{R^{2}} = \dfrac{4\pi^{2}R}{T^{2}}$, שנותן $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}R^{3}}{GM}$. עבור מסלול בגובה $h$ מעל כוכב לכת ברדיוס $R_{\text{p}}$, רדיוס המסלול הוא $R_{\text{p}} + h$, ולכן $T^{2} = 4\pi^{2}(R_{\text{p}} + h)^{3}/GM$: גרף של $T^{2}$ מול $(R_{\text{p}} + h)^{3}$ הוא קו ישר העובר דרך נקודת האפס שהשיפוע שלו נותן $M$.

דוגמה מפורטת. לוויין X, במסה $M_{\text{s}}$, מקיף כוכב לכת במרחק $4R$ ממרכזו; לוויין Y, במסה $2M_{\text{s}}$, מקיף במרחק $3R$. השוו את מהירויותם, תקופותיהם ואנרגיותיהם הקינטיות.

מ-$v = \sqrt{GM/r}$, $\dfrac{v_{\text{Y}}}{v_{\text{X}}} = \sqrt{\dfrac{4R}{3R}} = 1.15$: Y נע מהר יותר, ומסיבות הלוויינים אינן נכנסות לנוסחה. מ-$T \propto r^{3/2}$, $\dfrac{T_{\text{Y}}}{T_{\text{X}}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3/2} = 0.65$. אנרגיה קינטית $= \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, ולכן $\dfrac{E_{\text{Y}}}{E_{\text{X}}} = \dfrac{2M_{\text{s}}/3R}{M_{\text{s}}/4R} = \dfrac{8}{3}$. בשאלות יחס מצטמצמים $G$, $M$ ומסת הלוויין תחילה; רק הרדיוסים והמסות השונים נשארים.

כוכבים זוגיים. שני כוכבים בעלי מסות $M_{\text{A}}$ ו-$M_{\text{B}}$ במרחק $d$ זה מזה מקיפים את מרכז הכובד המשותף שלהם, תמיד בצדדים הנגדיים שלו, עם אותו עת מחזור. מרכז הכובד מחלק $d$ ביחס הפוך למסות, $M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ עם $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = d$, והאותו כוח כבידה $GM_{\text{A}}M_{\text{B}}/d^{2}$ משמש ככוח מרכזי לכל כוכב.

דוגמה מופעלת. כוכב זוגי מורכב מכוכב A, בעל מסה $4.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, וכוכב B, בעל מסה $2.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, עם מרחק $3.3 \times 10^{11}\ \text{m}$ בין מרכזיהם. חשב את המרחק של A ממרכז הכובד ואת עת המחזור.

$M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ עם $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = 3.3 \times 10^{11}$ נותן $r_{\text{A}} = \dfrac{2.0}{6.0} \times 3.3 \times 10^{11} = 1.1 \times 10^{11}\ \text{m}$ (וגם $r_{\text{B}} = 2.2 \times 10^{11}\ \text{m}$). עבור כוכב A: $\dfrac{GM_{\text{A}}M_{\text{B}}}{d^{2}} = M_{\text{A}}r_{\text{A}}\omega^{2}$, ולכן $\omega^{2} = \dfrac{GM_{\text{B}}}{d^{2}r_{\text{A}}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30}}{(3.3 \times 10^{11})^{2} \times 1.1 \times 10^{11}} = 1.1 \times 10^{-14}\ \text{s}^{-2}$, $\omega = 1.06 \times 10^{-7}\ \text{rad s}^{-1}$ ו-$T = 2\pi/\omega = 6.0 \times 10^{7}\ \text{s}$, כמעט $1.9$ שנים. השימוש ב-$d$ בכוח אך ב-$r_{\text{A}}$ באיבר המרכזי הוא ליבת השאלה.

מסלול גיאוסטציונרי

לוויין גיאוסטציונרי:

• נשאר ישירות מעל אותו נקודה באדמה (לכן אנטנה קבועה תמיד מכוונת אליו),
• יש לו עת מחזור של 24 שעות (אותה כמו סיבוב האדמה),
• מקיף ממערב למזרח (אותו כיוון כמו סיבוב האדמה),
• חייב להיות ישירות מעל המשווה.

עליך להפעיל את אותה מהירות זוויתית כמו האדמה, באותו כיוון, במישור המשווני (אחרת יהיה לך סטייה צפון-דרום במהלך היום). מ-$T = 24\ \text{h}$ ו-$T^{2} = 4\pi^{2} r^{3}/(GM)$, הרדיוס הוא $r \approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ (כמעט $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ מעל לפני השטח).

דוגמה מופעלת. חשב את רדיוס המסלול הגיאוסטציונרי סביב האדמה ($M = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$), והסבר מדוע לוויין בעל אותה רדיוס מסלול ועת מחזור עשוי שלא להיות גיאוסטציונרי.

$T = 24 \times 3600 = 8.64 \times 10^{4}\ \text{s}$; $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24} \times (8.64 \times 10^{4})^{2}}{4\pi^{2}} = 7.5 \times 10^{22}\ \text{m}^{3}$, ולכן $r = 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ — גובה של כ-$3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ מעל פני השטח. לוויין עם תקופה זו יהיה גיאוסטציונרי רק אם המסלול שלו נמצא במישור השוויון והוא נע ממערב למזרח; עם אותה תקופה במסלול מוטה (למשל, מעל הקוטבים), הוא יחזור לאותו נקודה בכל יום אך לא יהיה תמיד מעליה. מאדים מסתובב פעם אחת כל כ-$25$ שעות, ולכן לוויין שנשאר מעל נקודה אחת על מאדים בעל תקופה של שעות$25$ ואת אותם שני מאפיינים אחרים.

הפוטנציאל הכבידתי $\phi$ בנקודה כלשהי הוא העבודה הנעשית ליחידת מסה בהכנסת מסת מבחן קטנה מ-אינסוף לנקודה זו:

יחידה: $\text{J kg}^{-1}$.

הפוטנציאל נחשב ל-אפס באינסוף. כאשר מסת הבוחן נופלת אל עבר המקור, הכבידה עושה העבודה עבורך, ולכן $\phi$ הוא שלילי בכל מקום פרט באינסוף. עבור מסת נקודתית $M$ במרחק $r$:

$\phi$ הוא סקלר. עבור מספר מסות, יש להוסיף את הפוטנציאלים.

ההגדרה לשתי נקודות, ומדוע היא שלילית. הפוטנציאל הכבידתי בנקודה כלשהי הוא העבודה הנעשית ליחידת מסה בהכנסת מסת מבחן קטנה מאינסוף לנקודה זו. הפוטנציאל מוגדר כאפס באינסוף; הכבידה היא משיכה, ולכן כאשר מסת הבוחן מגיעה מאינסוף, השדה עושה עבודה עליה והמסה משחררת אנרגיה — העבודה שמספק גורם חיצוני צריכה להיות שלילית. מכאן שהפוטנציאל בכל מרחק סופי הוא מתחת לאפס. (הפוטנציאל החשמלי סמוך למטען חיובי הוא חיובי מהסיבה ההפוכה: השדה דוחה, ולכן יש לעשות עבודה כדי להכניס מטען מבחן חיובי.)

דמיונות והבדלים עם פוטנציאל חשמלי. שניהם מוגדרים כעבודה ליחידת מסה או ליחידת מטען חיובי מאינסוף, שניהם סקלרים, שניהם משתנים לפי $1/r$ ממקור נקודתי ושניהם אפס באינסוף. ההבדל: הפוטנציאל הכבידתי הוא תמיד שלילי, מכיוון שכבידה רק מושכת, בעוד שהפוטנציאל החשמלי יכול להיות חיובי או שלילי בהתאם לסמן המטען.

קריאת גרף פוטנציאל. בשאלות מופיעים שני גרפים. על $\phi$ כנגד $r$, העקומה היא $-GM/r$: הערך בפני השטח $\phi_{\text{s}} = -GM/R$ נותן את מסת כדור הארץ, וה-שיפוע בכל נקודה נותן את עוצמת השדה שם, שכן $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$ — עוצמת השדה היא המינוס של שיפוע הפוטנציאל (זהו ה"קשר בין פוטנציאל לעוצמת שדה" שאפשר לבקש בשאלה). על $\phi$ כנגד $1/r$ הגרף הוא קו ישר העובר דרך הראשית עם שיפוע $-GM$, שהוא הדרך המסודרת יותר לחלץ ממנו $M$.

דוגמה מופתרת. הירח הוא כדור אחיד מבודד של מסה $7.3 \times 10^{22}\ \text{kg}$ ורדיוס $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$. חשב את הפוטנציאל הכבידתי בפני השטח, ואת המהירות המינימלית שבה חלקיק חייב לצאת מפני השטח כדי להתפלט.

$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.3 \times 10^{22}}{1.7 \times 10^{6}} = -2.9 \times 10^{6}\ \text{J kg}^{-1}$. כדי להתפלט, האנרגיה הקינטית ליחידת מסה של החלקיק חייבת לשוות לעומק באבן הפוטנציאל: $\tfrac{1}{2}v^{2} = 2.9 \times 10^{6}$, ולכן $v = \sqrt{2 \times 2.9 \times 10^{6}} = 2.4 \times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$. הסימן השלילי נושא את המשמעות: אנרגיה של $2.9\ \text{MJ}$ לקילוגרם חייבת להינתן כדי להרים את החלקיק החוצה.

אנרגיית פוטנציאל כבידתי של שתי מסות נקודתיות

אם מסת מבחן $m$ יושבת במקום בו הפוטנציאל הוא $\phi$, אנרגיית הפוטנציאל הכבידתית של הזוג היא

כמו הפוטנציאל, $E_{\text{P}}$ הוא שלילי ומגיע לאפס רק במרחק אינסופי. מסות קרובות יותר יש להן אנרגיית פוטנציאל שלילית יותר (קשורות בחוזקה רבה יותר).

קשר עם $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$

לשינויי גובה קטנים סמוך לפני השטח, $r$ משתנה מעט מאוד, ולכן $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$. לשינויים גדולים (לוויין הנע למסלול גבוה יותר) השתמש ב$-GMm/r$ בכל רדיוס וחשב את ההפרש:

שהוא חיובי (יש לספק אנרגיה כדי להרים את הלוויין).

דוגמה מפורשת. לוויין המסה שלו $1200\ \text{kg}$ מועבר מסלול מעגלי ברדיוס $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ לסליל אחר ברדיוס $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ סביב כדור הארץ ($GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$). חשב את השינויים באנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית, באנרגיה הקינטית ובאנרגיה הכוללת שלו.

$\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{r_{1}} - \dfrac{1}{r_{2}}\right) = 4.0 \times 10^{14} \times 1200 \times \left(\dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{8.0 \times 10^{6}}\right) = +8.6 \times 10^{9}\ \text{J}$. במסלול מעגלי $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, ולכן $\Delta E_{\text{K}} = \dfrac{GMm}{2}\left(\dfrac{1}{r_{2}} - \dfrac{1}{r_{1}}\right) = -4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$: הלוויין הגבוה נע בעדינות. האנרגיה הכוללת $E_{\text{K}} + E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{2r}$ עולה ב-$+4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$, שהיא האנרגיה שמנוע הרוקטו חייב לספק. אנרגיה כוללת של לוויין היא שלילית — הוא קשור — והיא הופכת לפחות שלילית ככל שהמסלול מתרחב.

מהירות בריחה (משימור אנרגיה)

כדי לברוח מרדיוס $r$ לאינסוף, אנרגיה קינטית של גוף חייבת שווה בגודלה לאנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית שלו:

בפני השטח של כדור הארץ, מהירות הבריחה היא $\approx 11\ \text{km s}^{-1}$. היא אינה תלויה במסת הגוף.

דוגמה מופת. מצאו את מהירות הבריחה מפני השטח של כדור הארץ. (עבור כדור הארץ, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$, $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$.)

דוגמה מופת. חלקיק משוגע אנכית כלפי מעלה מפני השטח של כוכב לכת מבודד ברדיוס $R$, שבה הפוטנציאל הכבידתי הוא $\phi_{\text{s}}$. הראו שהוא מגיע בדיוק למרחק $r$ ממרכזו אם מהירות ההשקה $v$ מקיימת $\tfrac{1}{2}v^{2} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, וגזרו את מהירות הבריחה.

הפוטנציאל משתנה לפי $1/r$, ולכן במרחק $r$ הוא $\phi_{\text{s}}R/r$. כאשר החלקיק נעצר, אנרגיה קינטית ליחידת המסה שלו הופכה כולה לאנרגיה פוטנציאלית ליחידת המסה: $\tfrac{1}{2}v^{2} = \phi(r) - \phi_{\text{s}} = \phi_{\text{s}}\dfrac{R}{r} - \phi_{\text{s}} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, שהוא חיובי כי $\phi_{\text{s}}$ הוא שלילי. הצבת $r \to \infty$ נותנת $\tfrac{1}{2}v_{\text{esc}}^{2} = -\phi_{\text{s}} = GM/R$ — תוצאת מהירות היציאה שוב, הפעם נקראת ישירות מפוטנציאל.

שאלת הגדרה מוקדמת לפי טקסט קבוע. לימודן במדויק, ותן תשובה אחת בלבד.

• חוק הכבידה של ניוטון $F = GMm/r^2$ (ריבוע הפוך); עוצמת שדה $g = GM/r^2$ — והצג את הנגזר בשתי שורות, החוק וההגדרה של $g$.
• להבדיל בין פוטנציאל כבידתי ($\phi = -GM/r$, תמיד שלילי, אפס באינסוף) לבין עוצמת השדה; $g$ הוא הגרדיאנט השלילי של גרף ה$\phi$–$r$.
• עבור מסלול שבו כוח הכבידה $=$ כוח צנטריפל כדי לקבל $T^2 \propto r^3$; מסלול גיאוסטציונרי יש לו $T = 24\ \text{h}$ ועוד שתי תכונות: מעל המשווה, ממערב למזרח.
• השתמש בקירור המסלול (ממרכז למרכז, $R_{\text{p}} + h$), לעולם לא בגובה, ובכוכב כפול ההפרש $d$ בכוח אך קירור המסלול $r_{\text{A}}$ במונח המרכזי.
• שינויים באנרגיה נובעים מ$-GMm/r$ בכל רדיוס; עבור מסלול מעגלי $E_{\text{K}} = GMm/2r$ והאנרגיה הכוללת היא $-GMm/2r$.

טעויות נפוצות

• הגדרת פוטנציאל כ"כוח ליחידת מסה" או עוצמת שדה כ"עבודה performed ליחידת מסה". החלף אותם ושני הנקודות יאבדו.
• אמירה שהפוטנציאל שלילי "כי כבידה מושכת" ולעצור שם. הנקודה דורשת את ארגומנט העבודה: אפס באינסוף, והשדה מבצע עבודה כאשר המסה נכנסת.
• השימוש בגובה מעל המשטח כ$r$ ב$GM/r^{2}$ או ב$T^{2} \propto r^{3}$. הוסף את רדיוס כוכב הלכת קודם.
• כתיבת חוק קפלר כ$T \propto r$ או כ$T^{2} \propto r^{2}$. זהו $T^{2} \propto r^{3}$: קו ישר רק ב$T^{2}$ נגד $r^{3}$.
• יצירת משמעות של "גיאוסטציונרי" רק ל"תקופה של 24 שעות". ללא המישור המשווני והכיוון ממערב למזרח אינו גיאוסטציונרי.
• לשכוח שאנרגיה הקינטית של לוויין יורדת כאשר היא מועלה למסלול גבוה יותר, גם אם הייתה צריכה לספק אנרגיה.