חומר הדפסה זה מכסה נושא 1: מתמטיקה טהורה 1. זוהי ליבת האלגברה והאנליזה של הקורס. כל ## מהונו הוא תת-נושא בפרוטוקול הלימודים.
מתמטיקה נקודתית 1
מתמטיקה A-Level · נושא 1
28:42
מתמטיקה נקודתית 1
תסתכל על גשר תלייה מדהים. הכבל העצום שלו אינו צורה אקראית — הוא תלוי בצורה פרבולית מושלמת, עקומה שניתן לכתוב אותה באמצעות משוואה אחת. ה…
קריאת קול באנגלית · תרגום אנגלי + סינית שרוף בתוך הסרטון
1.1
משוואות ריבועיות
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| ביצוע תהליך השלמה לריבוע עבור פולינום ריבועי $ax^2 + bx + c$ ושימוש בצורת ריבוע מושלמת | לדוגמה: כדי למצוא את הקודקוד של גרף $y = ax^2 + bx + c$ או לערוך גרף. |
| מציאת הדיסקרימיננטה של פולינום ריבועי $ax^2 + bx + c$ ושימוש בדיסקרימיננטה | לדוגמה: כדי לקבוע את מספר השורשים הממשיים של המשוואה $ax^2 + bx + c = 0$. ידע במונח "שורש כפול" כלול. |
| פתרון משוואות ריבועיות ואי-שוויונות ריבועיים במשתנה אחד | על ידי פירוק לגורמים, השלמה לריבוע ושימוש בנוסחה. |
| פתרון באמצעות הצבה של מערכת משוואות בו-זמניות שבהן אחת היא ליניארית ואחת ריבועית | לדוגמה: $x + y + 1 = 0$ ו$x^2 + y^2 = 25$, $2x + 3y = 7$ ו$3x^2 = 4 + 4xy$. |
| זיהוי ופתרון משוואות ב$x$ שהן ריבועיות בפונקציה כלשהי של $x$. | לדוגמה: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$, $6x + \sqrt{x} - 1 = 0$, $\tan^2 x = 1 + \tan x$. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
ריבועי היא ביטוי מהצורה $ax^2 + bx + c$, כאשר $a \neq 0$. האותיות $a$, $b$, $c$ הן המקדמים (המספרים הקבועים). חלק רב מהנושא הזה עוסק בפתרון ה-משוואה $ax^2 + bx + c = 0$.
השלמת ריבוע
להשלים ריבוע פירושו לכתוב את הריבועי בצורה
$$a(x + p)^2 + q.$$
צורה זו שימושית: היא מראה את הקודקוד (נקודת היפוך) של העקומה ב$(-p,\ q)$, והיא נותן דרך מהירה לפתור את המשוואה.
דוגמה מוצגת. כתוב $9x^2 - 36x + 8$ בצורה $p(x + q)^2 + r$.
הוצא גורם $9$ מהאיברים הראשונים, ולאחר מכן השלם ריבוע בתוך הסוגריים:
$$\begin{aligned}
9x^2 - 36x + 8 &= 9\left(x^2 - 4x\right) + 8 \\
&= 9\left((x - 2)^2 - 4\right) + 8 \\
&= 9(x - 2)^2 - 36 + 8 = 9(x - 2)^2 - 28.
\end{aligned}$$
לכן $p = 9$, $q = -2$, $r = -28$.
הדיסקרימיננטה
הדיסקרימיננטה של $ax^2 + bx + c$ היא
$$\Delta = b^2 - 4ac.$$
היא מראה כמה שורשים ממשיים (פתרונות ממשיים) למשוואה $ax^2 + bx + c = 0$:
| דיסקרימיננטה | שורשים |
|---|---|
| $b^2 - 4ac > 0$ | שני שורשים ממשיים שונים |
| $b^2 - 4ac = 0$ | שורש ממשי כפול אחד |
| $b^2 - 4ac < 0$ | אין שורשים ממשיים |
דוגמה פתורה. מצאו את הערכים של הקבוע $k$ עבוריהם ל-$3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ יש שני שורשים ממשיים שונים.
כאן $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. בשביל שני שורשים ממשיים שונים צריך $b^2 - 4ac > 0$:
$$(k + 8)^2 - 4(3k)(3) > 0 \;\Rightarrow\; k^2 + 16k + 64 - 36k > 0 \;\Rightarrow\; k^2 - 20k + 64 > 0.$$
פיתוח לגורמים: $(k - 4)(k - 16) > 0$, ולכן $k < 4$ או $k > 16$. גם צריך $a \neq 0$, ולכן $k \neq 0$.
משוואות ובלתי-שוויונות ריבועיים
כדי לפתור משוואה ריבועית, פתחו לגורמים, השלימו לריבוע, או השתמשו בנוסחה
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$
כדי לפתור אי-שוויון ריבועי כמו $(k - 4)(k - 16) > 0$, מוצאים את שתי השורשים, ואז קובעים באילו צדדים של כל שורש הביטוי מתקיים. גרף המפרבולה עוזר: העקומה נמצאת מעל ציר ה$x$ (חיובי) מחוץ לשורשים ותחתיו (שלילי) ביניהם.
משוואות בו-זמניות
כדי לפתור זוג של משוואות בו-זמניות כאשר אחת ליניארית והשנייה ריבועית, משתמשים בהצבה: מסדרים את המשוואה הליניארית עבור אחד מהمتغيرات, ומציבים זאת בתוך המשוואה הריבועית. זה נותן משוואה ריבועית אחת לפתרון.
משוואות שהן ריבועיות בסגנון נסתר
כמה משוואות הן ריבועיות ב-פונקציה כלשהי של $x$. לדוגמה, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ היא ריבועית ב-$x^2$: נתנו $u = x^2$, פתרו $u^2 - 5u + 4 = 0$, ואז חזרו ל-$x$. תשתמשו ברעיון זה שוב במשפט טריגונומטרי.
חקור
הצורה של פונקציה ריבועית
y = ax² + bx + c
גררו את a, b ו-c. צפו ב-קודקוד, בקו הסימטריה וב-שורשים (הנקודות שבהן העקומה חותכת את ציר x) זזים כאשר המקדמים משתנים.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | מתמטיקה טהורה |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | ריבועי |
| complete the square/kəmˈpliːt ðə skweə/ | השלמה לריבוע מלא |
| vertex/ˈvɜːteks/ | קודקוד |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | דיסקרימיננטה |
| real roots/rɪəl ruːts/ | שורשים ממשיים |
| distinct/dɪˈstɪŋkt/ | נפרדים |
| quadratic equation/kwɒˈdrætɪk ɪˈkweɪʒn/ | משוואה ריבועית |
| quadratic inequality/kwɒˈdrætɪk ɪniːˈkwɒlɪti/ | אי-שוויון ריבועי |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | משוואות בשני נעלמים |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | החלפה |
| function/ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה |
| composition of functions/ˌkɒmpəˈzɪʃn ɒv ˈfʌŋkʃnz/ | הרכבת פונקציות |
| domain/dəˈmeɪn/ | תחום |
| range/reɪndʒ/ | טווח |
| one-one/wʌn wʌn/ | חד-ל-אחד |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה הפוכה |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | הרכבה |
| parabola/pəˈræbələ/ | פרבולה |
1.2
פונקציות
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| להבין את המונחים פונקציה, תחום הגדרה, טווח ערכים, פונקציה חד-חד-ערכית, פונקציית הפוך ו-הרכבת פונקציות | |
| לזהות את הטווח הערכים של פונקציה נתונה במקרים פשוטים, ולמצוא את ההרכבה של שתי פונקציות נתונות | לדוגמה: טווח הערכים של $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ עבור $x \geqslant 1$ וטווח הערכים של $g : x \mapsto x^2 + 1$ עבור $x \in \mathbb{R}$. כולל התנאי לפיו פונקציית הרכבה $gf$ יכולה להיות מוגדרת רק כאשר טווח הערכים של $f$ נכלל בתחום ההגדרה של $g$. |
| לקבוע האם פונקציה נתונה היא חד-חד-ערכית, ולמצוא את הפונקציית ההפוך שלה במקרים פשוטים | לדוגמה: מציאת הפוך של $h : x \mapsto (2x + 3)^2 - 4$ עבור $x < -\frac{3}{2}$. |
| להמחיש במובן גרפי את הקשר בין פונקציה חד-חד-ערכית לבין הפונקצייה ההפוך שלה | יש לכלול בפסקאות גרף רמז על קו ההשתקפות $y = x$. |
| להבין ולהשתמש בהמרות של הגרף של $y = f(x)$ הנגזרות מ$y = f(x) + a$, $y = f(x + a)$, $y = af(x)$, $y = f(ax)$ ומשילובים פשוטים של אלו. | כולל שימוש במונחים 'הזחה', 'השתקפות' ו'מתיחה' בתיאור המרות. ייתכנו שאלות הכוללות פונקציות אלגבריות או טריגונומטריות, או גרפים אחרים עם מאפיינים נתונים. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
פונקציה היא חוק שמיישר כל כניסה לקלט מדויק. כותבים אותה כ-$f(x)$. הרכבת פונקציות $fg(x)$ פירושה לבצע תחילה $g$, ולאחר מכן לבצע $f$ על התוצאה.
- ה-תחום הוא סט הכניסות המותרות $x$.
- ה-טווח הוא סט התוצאות שהפונקציה מייצרת בפועל.
פונקציה היא חד-חד-היכנית אם כניסות שונות תמיד נותנות תוצאות שונות. (אף תוצאה אינה חוזרת.) רק לפונקציה חד-חד-היכנית יש פונקציה הפוכה $f^{-1}$, שהופכת את החוק.
ההרכבה של שתי פונקציות משמעותו ביצוע אחת לאחר השנייה. $fg(x)$ משמעותו "בצעו תחילה $g$, ואז $f$": $fg(x) = f(g(x))$. הפונקציה המורכבת $fg$ קיימת רק כאשר הטווח של $g$ נמצא בתחום ההגדרה של $f$.
מציאת פונקציה הפוכה
כדי למצוא $f^{-1}$: כותבים $y = f(x)$, הופכים את $x$ לנושא, ואז מחליפים אותות.
דוגמה מופרדת. הפונקציה $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ מוגדרת עבור $x \geqslant 0$. מצאו את $f^{-1}(x)$.
כותבים $y = (x + 3)^2 - 12$ ונפתור עבור $x$:
$$(x + 3)^2 = y + 12 \;\Rightarrow\; x + 3 = \sqrt{y + 12} \;\Rightarrow\; x = \sqrt{y + 12} - 3.$$
אנו לוקחים את השורש החיובי כי $x \geqslant 0$ פירושו $x + 3 \geqslant 3 > 0$. לכן
$$f^{-1}(x) = \sqrt{x + 12} - 3.$$
גרפים של פונקציות הפוכות וטרנספורמציות
הגרף של $y = f^{-1}(x)$ הוא השתקפות של $y = f(x)$ ביחס לקו $y = x$.
עליך לדעת המרת אלו של $y = f(x)$:
| משוואה חדשה | השפעה על הגרף |
|---|---|
| $y = f(x) + a$ | הזזה כלפי מעלה ב-$a$ |
| $y = f(x + a)$ | הזזה שמאלה ב-$a$ |
| $y = a\,f(x)$ | מתיחה בכיוון ה-$y$, גורם קנה מידה $a$ |
| $y = f(ax)$ | מתיחה בכיוון ה-$x$, גורם קנה מידה $\tfrac{1}{a}$ |
כששתי המרות משולבות, הסדר עשוי להיות חשוב. ציין כל אחת מהן במלואה (סוג, כיוון וכמות).
חקור
חקור פונקציה
y = ax³ + bx² + cx + d
פונקציה מייצרת כל קלט בדיוק לתפוקה אחת — גרור את המקדמים וצפה היכן העקומה עולה ויורדת.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| reflection/rɪˈflekʃn/ | השתקפות |
| transformations/trænsfɔːˈmeɪʃnz/ | שפירות |
| translation/trænˈsleɪʃn/ | טרנסלציה |
| stretch/stretʃ/ | מתיחה |
| Coordinate geometry/kəʊˈɔːdɪnət dʒiˈɒmətri/ | גיאומטריה אנליטית |
1.3
גיאומטריה אנליטית
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| למצוא את משוואת הישר הנתון מספיק מידע | לדוגמה: בהינתן שני נקודות, או נקודה אחת והשיפוע. |
| לפרש ולהשתמש בכל אחד מהצורות $y = mx + c$, $y - y_1 = m(x - x_1)$, $ax + by + c = 0$ בפתרון בעיות | כולל חישובים של מרחקים, שיפועים, נקודות אמצע, נקודות חיתוך והשתמש בקשר בין השיפועים של ישרים מקבילים ואנכיים. |
| להבין שמשוואה $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ מייצגת את העיגול שמוקדו $(a, b)$ ורדיוסו $r$ | כולל שימוש בצורה המורחבת $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$. |
| להשתמש בשיטות אלגבריות לפתרון בעיות המעורבות ישרים ועיגולים | כולל שימוש במאפיינים גיאומטריים בסיסיים של עיגולים, לדוגמה: משיק אנכי לרדיוס, זווית בתוך חצי עיגול, סימטריה. גזירה סתומה אינה כלולה. |
| להבין את הקשר בין גרף למשוואה האלגברית המקושרת לו, ולהשתמש בקשר בין נקודות החיתוך של גרפים לפתרונות משוואות. | לדוגמה: כדי לקבוע את קבוצת הערכים של $k$ עבורה הישר $y = x + k$ חותך, נוגע או אינו נוגע לעקומה ריבועית. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
גיאומטריה אנליטית חוקרת ישרים ועיגולים באמצעות המשוואות שלהם.
ישרים
השיפוע (התלילות) של הישר המחבר בין $(x_1, y_1)$ ל-$(x_2, y_2)$ הוא
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$
ניתן לכתוב את משוואת הישר באחת הצורות הבאות:
$$y = mx + c, \qquad y - y_1 = m(x - x_1), \qquad ax + by + c = 0.$$
שני ישרים הם מקבילים כשהשיפועים שלהם שווים, ואנכיים (בעדפת זווית ישרה) כשהמכפלת של השיפועים שלהם היא $-1$.
עיגולים
העיגול עם מרכז $(a, b)$ ו-רדיוס $r$ יש לו משוואה
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$$
צורה מורחבת כמו $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$ מייצגת אותו עיגול: השלם לריבוע ב-$x$ וב-$y$ כדי למצוא את המרכז והרדיוס.
משיק לעיגול נוגע בו בנקודה אחת וניצב לרדיוס בנקודה זו. עובדה זו של זווית ישרה פותרת את רוב בעיות העיגול.
דוגמה מפורטת. הנקודות $P(1, 1)$ ו$Q(7, 11)$ הן קצוות קוטר של עיגול. מצאו את משוואת העיגול.
המרכז הוא אמצע $PQ$:
$$\left(\frac{1 + 7}{2},\ \frac{1 + 11}{2}\right) = (4, 6).$$
הרדיוס הוא חצי מאורך $PQ$:
$$r = \tfrac12\sqrt{(7 - 1)^2 + (11 - 1)^2} = \tfrac12\sqrt{36 + 100} = \tfrac12\sqrt{136} = \sqrt{34}.$$
לכן העיגול הוא $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 34$.
חקור
הקו הישר
y = ax + b
השיפוע a גורם לקו להטיה; המסך b מזיז אותו למעלה ולמטה.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | מעגל |
| centre/ˈsentə/ | מרכז |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | רדיוס |
| tangent/ˈtændʒənt/ | טנגנס |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | קוטר |
1.4
מידות מעגליות
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| להבין את ההגדרה של רדיאן, ולהשתמש בקשר בין רדיאנים למעלות | |
| להשתמש בנוסחאות $s = r\theta$ ו$A = \frac{1}{2}r^2\theta$ בפתרון בעיות הקשורות לאורך קשת ושטח מסלה של עיגול. | כולל חישוב אורכים וזוויות במثلשים ושטחים של משולשים. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
רדיאנים
רדיאן הוא דרך נוספת למדוד זוויות. רדיאן אחד הוא הזווית במרכז עיגול החותכת קשת השווה באורכה לרדיוס. הקשר בין רדיאנים ל-מעלות הוא
$$\pi \text{ radians} = 180^\circ.$$
לכן כדי להמיר מעלות לרדיאנים, כפלו ב$\dfrac{\pi}{180}$; כדי להמיר רדיאנים למעלות, כפלו ב$\dfrac{180}{\pi}$.
אורך קשת ושטח חצי-מערך
לעבור על חצי-מערך ברדיוס $r$ ובזווית $\theta$ ברדיאנים:
$$\text{arc length} = s = r\theta, \qquad \text{sector area} = A = \tfrac12 r^2 \theta.$$
מיתר חותך את חצי-המערך למשולש ולחלק. שטח החלק הוא שטח חצי-המערך פחות שטח המשולש:
$$\text{segment} = \tfrac12 r^2 \theta - \tfrac12 r^2 \sin\theta = \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta).$$
דוגמא פתורה. לסקטור יש מרכז $O$ והזווית ב$O$ היא $\tfrac{2}{3}\pi$ רדיאנים. הוכיחו כי השטח של הקטע החתוך על ידי המיתר הוא כ-$0.614 r^2$.
$$\text{segment} = \tfrac12 r^2\left(\tfrac{2}{3}\pi - \sin\tfrac{2}{3}\pi\right) = \tfrac12 r^2(2.0944 - 0.8660) = \tfrac12 r^2(1.2284) \approx 0.614 r^2.$$
חקור
רדיאנים, קשתות וסקטורים
שנה את הזווית (ברדיאנים) ואת הרדיוס. ראה איך אורך הקשת $s = r\theta$ ו-שטח המס扇ה $\tfrac12 r^2\theta$ מתעדכנים.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| radian/ˈreɪdɪən/ | רדיאן |
| arc/ɑːk/ | קשת |
| degrees/dɪˈɡriːz/ | מעלות |
| sector/ˈsektə/ | תחום |
| chord/kɔːd/ | מיתר |
| segment/ˈseɡmənt/ | מחלקת שוק |
1.5
טריגונומטריה
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| לשרטט ולהשתמש בגרפים של פונקציות הסינוס, קוסינוס והטנגנס (עבור זוויות מכל גודל, ובשימוש גם במעלות וגם ברדיאנים) | כולל לדוגמה $y = 3 \sin x$, $y = 1 - \cos 2x$, $y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)$. |
| להשתמש בערכים המדויקים של הסינוס, קוסינוס והטנגנס של $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, וזוויות קשורות | לדוגמה $\cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$, $\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. |
| להשתמש בסימנויות $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$, $\tan^{-1} x$ כדי לסמן את הערכים הראשיים של יחסים טריגונומטריים הפוכים | אין צורך בידע מקצועי ספציפי בפונקציות אלו, אך מצופה הבנתן כדוגמאות לפונקציות הפוך. |
| להשתמש באותנטיות $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \tan \theta$ ו$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ | לדוגמה: בהוכחות אותנטיות, פישוט ביטויים ופתרון משוואות. |
| למצוא את כל הפתרונות של משוואות טריגונומטריות פשוטות הנמצאות בטווח מסוים (אין לכלול צורות כלליות לפתרון). | לדוגמה: פתור $3 \sin 2x + 1 = 0$ עבור $-\pi < x < \pi$, $3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0$ עבור $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 360^\circ$. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
גרפים וערכים מדויקים
עליכם להכיר את צורת הגרפים של פונקציית הסינוס, הקוסינוס והטנגנס (כתובות $\sin$, $\cos$, $\tan$). גרפי הסינוס והקוסינוס מתנודדים בין $-1$ ל$1$ ומשתנים כל $360^\circ$ ($2\pi$). למדו ערכים אלו בדיוק:
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\theta$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ |
| $\tan\theta$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
הסימונים $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ מייצגים את הזווית ההפוכה (ה-ערך הראשי).
זהויות
זהות היא נכונה לכל ערך של הזווית. שתי הזהויות עליכם להכיר הן:
$$\tan\theta \equiv \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1.$$
השתמשו בהן כדי לפשט משוואה כך שתכיל פונקציה טריגונומטרית אחת בלבד.
פתרון משוואות טריגונומטריות
כדי לפתור משוואה טריגונומטרית, קודם כל פשוטו אותה לפונקציה אחת, ולאחר מכן מצאו כל הפתרונים בטווח הנתון.
דוגמה מופת. פתרו $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ עבור $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
כפלו ב-$\sin\theta$ כדי לבטל את המכנה. כך מתקבלת משוואה ריבועית ב-$\sin\theta$:
$$6\sin^2\theta - \sin\theta - 2 = 0 \;\Rightarrow\; (3\sin\theta - 2)(2\sin\theta + 1) = 0.$$
לכן $\sin\theta = \tfrac23$ או $\sin\theta = -\tfrac12$.
- $\sin\theta = \tfrac23$: $\theta = 41.8^\circ$ או $\theta = 180^\circ - 41.8^\circ = 138.2^\circ$.
- $\sin\theta = -\tfrac12$: $\theta = -30^\circ$ או $\theta = -150^\circ$.
ארבעת הפתרונות הם $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.
חקור
גרפים של סינוס וקוסינוס
גרור את המידה, המחזור וההזזות של y = a·sin(bx + c) + d וצפו כיצד העקומה משתנה ביחס לגל הבסיס.
חקור
סינוס וקוסינוס על המעגל היחיד
גרור את הזווית סביב המעגל היחיד. הגובה הוא $\sin\theta$, המרחק האופקי הוא $\cos\theta$ — מכאן נובעים הגרפים.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| sine/saɪn/ | סינו⟦number⟧ |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | קוסינו⟦number⟧ |
| tangent function/ˈtændʒənt ˈfʌŋkʃn/ | פונקציית טנגנס |
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | ערך ראשי |
| identity/aɪˈdentɪti/ | זהות |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | משוואה טריגונומטרית |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | פתיחת בינום |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | מקדם בינומי |
| progression/prəˈɡreʃn/ | תנועה |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | סדרה חישוקית |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | הפרש שווה |
| term/tɜːm/ | איבר |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | סדרה גיאומטרית |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | יחס דומה |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | מתכנס |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | סכום אינסופי |
| Differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | גזירה |
| gradient of a curve/ˈɡreɪdɪənt əvə kɜːv/ | שיפוע של עקומה |
| limit/ˈlɪmɪt/ | גבול |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | נגזרת |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | כלל שרשרת |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | גזירה שנייה |
| normal/ˈnɔːml/ | אנך |
| increasing function/ɪnˈkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה עולה |
| decreasing function/ˈdiːkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה יורדת |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | קצב שינוי |
1.6
סדרות
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| להשתמש בפיתוח של $(a + b)^n$, כאשר $n$ הוא מספר טבעי | כולל הסימונים $\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}$ ו-$n!$. ידע לגבי האיבר הגדול ביותר ותכונות המקדמים אינו נדרש. |
| לזהות התקדמות אריתמטית ו-התקדמות גיאומטרית | |
| להשתמש בנוסחאות לאיבר ה-$n$ ולסכום $n$ האיברים הראשונים כדי לפתור בעיות הקשורות ב-התקדמות אריתמטית או גיאומטרית | כולל ידע ש-MAS-numbers $a$, $b$, $c$ נמצאים ב-התקדמות אריתמטית אם $2b = a + c$ (או שקול), והם נמצאים ב-התקדמות גיאומטרית אם $b^2 = ac$ (או שקול). יתכנו שאלות המכללות יותר מהתקדמות אחת. |
| להשתמש בתנאי ה-התכנסות של התקדמות גיאומטרית, ובנוסחה ל-סכום לאינסוף של התקדמות גיאומטרית מתכנסת. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
פיתוח בינומי
עבור שלם חיובי $n$, הפיתוח הבינומי הוא
$$(a + b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + b^n,$$
כאשר $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ הוא מקדם בינומי.
דוגמה מפורטת. מצאו את שלושת האיברים הראשונים, בהערכות עולה של $x$, של $(2 - px)^5$.
$$(2 - px)^5 = 2^5 + \binom{5}{1}2^4(-px) + \binom{5}{2}2^3(-px)^2 + \cdots = 32 - 80px + 80p^2x^2 + \cdots$$
סדרות אריתמטיות וגיאומטריות
התקדמות (סדרה) היא רשימת איברים הנצאים לפי חוק.
- התקדמות אריתמטית (AP) מוסיפה הפרש נטוש קבוע $d$ בכל צעד. ה-$n$ה איבר הוא $u_n = a + (n - 1)d$, והסכום של $n$ איברים ראשונים הוא $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$.
- התקדמות גיאומטרית (GP) כופלת ב-יחס נטוש קבוע $r$ בכל צעד. ה-$n$ איבר הוא $u_n = ar^{\,n-1}$, ו-$S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$.
GP היא מתכנסת — היא מתכנסת (מתייצבת לגבול) — כאשר $|r| < 1$. אזי יש לה סכום לאינסוף
$$S_\infty = \frac{a}{1 - r}.$$
דוגמה מופרזת. האיבר השלישי ב-GP הוא $18$ והסכום שלושה האיברים הראשונים הוא $26$. היחס המשותף הוא שלילי. מצאו את הסכום לאינסוף.
מ-$ar^2 = 18$ מקבלים $a = \dfrac{18}{r^2}$. הציעו זאת בתוך $a(1 + r + r^2) = 26$:
$$18(1 + r + r^2) = 26r^2 \;\Rightarrow\; 8r^2 - 18r - 18 = 0 \;\Rightarrow\; (4r + 3)(r - 3) = 0.$$
היחס הוא שלילי, לכן $r = -\tfrac34$ ו-$a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$. אזי
$$S_\infty = \frac{32}{1 - (-\tfrac34)} = \frac{32}{\tfrac74} = \frac{128}{7}.$$
חקור
סדרות אריתמטיות וגיאומטריות
החליפו בין סדרה אריתמטית (חיבור d) לבין סדרה גיאומטרית (כפל ב-r) וצפו בכיצד האיברים והסכום שלהם נבנים.
1.7
גזירה
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| להבין את השיפוע של עקומה בנקודה כגבול של שיפועי סדרה מתאימה של מיתרים, ולהשתמש בסימנויות $f'(x)$, $f''(x)$, $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, ו$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ עבור נגזרות ראשונה ושנייה | מצופה הבנה אינטואיטיבית בלבד של רעיון הגבול. לדוגמה: שיקול השיפוע של המיתר המחבר את הנקודות עם $x$ הקואורדינטות $2$ ו$(2 + h)$ על העקומה $y = x^3$. שימוש פורמלי בשיטה הכללית לגזירה מעקרונות הראשונים אינו נדרש. |
| להשתמש בנגזרת של $x^n$ (עבור כל $n$ רציונלי), יחד עם כפולות קבועות, סכומים והפרשים של פונקציות, ושל פונקציות מורכבות באמצעות כלל השרשרת | לדוגמה: מצא $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, נתון $y = \sqrt{2x^3 + 5}$. |
| להשתמש בנגזירות ב-שיפועים, משיקים ו-ניצבים, פונקציות עולות וירידות ו-קצבי שינוי | כולל קצבי שינוי מקושרים, לדוגמה: נתון קצב העלייה של רדיוס של עיגול, מצא את קצב העלייה של השטח עבור ערך ספציפי של אחד המשתנים. |
| למקם נקודות עצירה ולקבוע את טבען, ולהשתמש במידע על נקודות עצירה בעת ציור גרפים. | כולל שימוש בנגזרת השנייה לזיהוי מקסימומים ומינימום; יתכנו חלופות בשאלות בהן לא צוטה שיטה. ידע על נקודות קעירות אינו כלול. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
נגזירות מחשבות את שיפוע הכ curve בכל נקודה. השיפוע הוא ה-גבול של שיפועי מיתרים קצרים越来越, הנקראים הנגזרת.
הכללים
כתבו את הנגזרת כ-$f'(x)$ או $\dfrac{dy}{dx}$. הכלל הבסיסי הוא
$$\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n x^{n-1} \quad \text{for any rational } n.$$
נגזרו סכומים איבר-איבר, והשתמשו ב-כלל השרשרת לפונקציה בתוך פונקציה:
$$\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$
נגזור פעם נוספת ומקבלים את הנגזרת השנייה $f''(x)$ או $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.
שימוש בנגזרה
- משיק ונורמל. שיפוע הכ curve בנקודה הוא שיפוע ה-משיק שם. ה-נורמל מאונך למשיק, ולכן שיפועו הוא $-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$.
- עלייה או ירידה. הפונקציה היא פונקציה עולה כאשר $\dfrac{dy}{dx} > 0$, ופונקציה יורדת כאשר $\dfrac{dy}{dx} < 0$.
- קצב שינוי. הנגזרת היא קצב שינוי. קצבים מקושרים משתמשים בכלל השרשרת, לדוגמה $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$.
נקודות קיצון
נקודה סטטית היא שם $\dfrac{dy}{dx} = 0$. בדיקת טיבה נעשית באמצעות הנגזרת השנייה: $f''(x) > 0$ מובילה לנקודת מינימום, ו$f''(x) < 0$ מובילה לנקודת מקסימום. כאשר $f''(x) = 0$, הבדיקה אינה מכריעה: הנקודה עשויה להיות נקודת קמורה/סדירה, שם העקומה משנה את כיוון הקמירות (את אופן הכיפוף שלה) – יש לבדוק את הסימן של $\dfrac{dy}{dx}$ מיד לפני ואחרי כדי לקבל החלטה.
דוגמה מפורטת. לעקומה $y = 4x^{1/2} - x$ יש נקודת מקסימום ב$x = a$. מצאו $a$.
$$\frac{dy}{dx} = 2x^{-1/2} - 1 = 0 \;\Rightarrow\; \frac{2}{\sqrt{x}} = 1 \;\Rightarrow\; \sqrt{x} = 2 \;\Rightarrow\; x = 4.$$
ולכן $a = 4$.
חקור
השיפוע בנקודה
y = ax³ + bx² + cx + d
החלק את הנקודה לאורך העקומה. ה-משיק מראה את השיפוע $\frac{dy}{dx}$ שם — תלול יותר כשהעקומה מתכופפת יותר.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | שיפוע |
| equation of a straight line/ɪˈkweɪʒn əvə streɪt laɪn/ | משוואת ישר |
| parallel/ˈpærəlel/ | מקביל |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ניצב |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | נקודה סטציונרית |
| minimum point/ˈmɪnɪməm pɔɪnt/ | נקודת מינימום |
| maximum point/ˈmæksɪməm pɔɪnt/ | נקודת מקסימום |
| point of inflexion/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | נקודת פיתול |
| Integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | אינטגרציה |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | קבוע אינטגרציה |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | אינטגרל מוגדר |
| region/ˈriːdʒn/ | אזור |
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | אינטגרל בלתי-רגילי |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | נפח סיבוב |
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | אלגברה |
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | אנליזה מתמטית |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | מקדם |
1.8
אינטגרציה
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| להבין אינטגרציה כתהליך ההפוך לנגזירה, ולאנטגרל $(ax + b)^n$ (עבור כל $n$ רציונלי למעט $-1$), יחד עם כפולות קבועות, סכומים והפרשים | לדוגמה: $\int (2x^3 - 5x + 1) \text{d}x$, $\int \frac{1}{(2x + 3)^2} \text{d}x$. |
| לפתור בעיות הקשורות לחישוב קבוע אינטגרציה | לדוגמה: למצוא את משוואת העקומה העוברת דרך $(1, -2)$ עבורה $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \sqrt{2x + 1}$. |
| לחשב אינטגרלים מוגדרים | כולל מקרים פשוטים של אינטגרלים 'לא תקינים', כמו $\int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{2}} \text{d}x$ ו-$\int_{1}^{\infty} x^{-2} \text{d}x$. |
| להשתמש באינטגרציה מוגדרת כדי למצוא: - שטח של אזור המוגבל על ידי עקומה וקווים מקבילים לצירים, או בין עקומה לקו או בין שתי עקומות - נפח סיבוב סביב אחד הצירים. | נפח סיבוב עשוי להכליל אזור שאינו מוגבל על ידי ציר הסיבוב, לדוגמה: האזור בין $y = 9 - x^2$ ל-$y = 5$ מסובב סביב ציר ה-$x$. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
אינטגרציה היא הפועל ההפוך לגזירה. הפעלת הכלל החזקות הפוכה נותנת
$$\int (ax + b)^n \, dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \quad (n \neq -1).$$
ה-$+\,C$ הוא קבוע האינטגרציה. אם ידוע לכם נקודה אחת על העקומה, הצביבו אותה כדי למצוא $C$.
אינטגרלים מוגדרים ושטח
לאינטגרל מוגדר יש גבולות והוא נותן מספר:
$$\int_p^q f(x)\, dx = \big[F(x)\big]_p^q = F(q) - F(p).$$
שטח האזור בין עקומה לציר ה-$x$, מ-$x = p$ ל-$x = q$, הוא $\displaystyle\int_p^q y \, dx$. עבור השטח בין שתי עקומות, מבצעים אינטגרציה (עקומת עליונה $-$ עקומת תחתונה).
דוגמה מפורטת. העקומה $y = 4x^{1/2} - x$ חותמת שוב את ציר ה-$x$ ב$x = 16$. מצאו את השטח בין העקומה לציר ה-$x$ מגבול $x = 0$ לגבול $x = 4$.
$$\int_0^4 \left(4x^{1/2} - x\right) dx = \left[\frac{8}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \frac{8}{3}(8) - \frac{16}{2} = \frac{64}{3} - 8 = \frac{40}{3}.$$
לאינטגרל לא תקין יש גבול אינסופי או נקודת קצה בה הפונקציה שאינה מוגדרת; יש לחשב אותו כגבול. לדוגמה,
$$\int_1^{\infty}x^{-2}\, dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^{b}=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1,$$
ול-$\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\left[2x^{1/2}\right]_0^{1}=2$, שהוא סופי גם כאשר הפונקציה הכוללת אינטגרציה מתפוצצת ב$x=0$.
נפח סיבוב
כאשר אזור מסתובב במלואו סביב ציר, הוא יוצר גוף תלת-ממדי. נפח הסיבוב סביב ציר ה$x$ הוא
$$V = \pi \int_p^q y^2 \, dx,$$
וסביב ציר ה$y$ הוא $V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$. לדוגמה, האזור מתחת ל$y = \sqrt{x}$ בין $x = 0$ ל$x = 4$, המסתובב סביב ציר ה$x$, בעל נפח של $\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$.
חקור
שטח מתחת לעקומה
y = ax³ + bx² + cx + d
גררו את הגבולות. ה-אינטגרל המוגדר הוא השטח הצלול בין העקומה לציר x.
1.8
טיפים לבחינות
- הראו כל שורת אלגברה — ניקוד שיטתי איבוד על מעבר מדרגה לדרגה; השתמשו ב-דיסקרימיננטה $b^2 - 4ac$ כדי לקבוע את מספר השורשים הממשיים.
- עבדו ב-רדיאנים למידת זוויות (קשת $= r\theta$, שטח מרחק $= \frac{1}{2}r^2\theta$) ובגזירה של פונקציות טריגונומטריות.
- עבור גזירה, שווּ $\frac{dy}{dx} = 0$ עבור נקודות עצירה והשתמשו בגזירה השנייה כדי לסיווגן.
- עבור אינטגרציה, הוסיפו $+ c$ לאינטגרל לא מוגדר והשתמשו בגבולות לשטח; שטח מתחת לציר נותן אינטגרל שלילי.
שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.