SN.2 · Bragg diffraction and electron-gas heat capacity

Faire tourner un cristal dans un faisceau de rayons X cartographie ses plans atomiques, car la réflexion constructive ne se produit qu'à des angles discrets.

Prérequis : 8, 36.

• Appliquer la condition de Bragg pour déterminer les espacements interplanaires ou les angles de diffraction
• Estimer l'énergie de Fermi et la température de Fermi des électrons libres
• Distuer les contributions électroniques et réticulaires de la capacité thermique

La réflexion de Bragg sur des plans parallèles espacés de d interfère constructivement lorsque 2d sinθ=nλ, avec θ mesuré depuis la surface du plan (angle rasant), et non depuis la normale. Le premier ordre n=1 donne l'angle le plus petit. Pour λ=0.154 nm et un pic à θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. Si 2d<λ aucun ordre n'existe ; le sinus doit rester inférieur ou égal à 1.

Dans un cristal cubique, l'espacement des plans (hkl) est d=a/sqrt(h²+k²+l²) avec la constante de réseau a ; les plans (110) donnent a/√2. Un angle de Bragg mesuré permet donc de déterminer la constante de réseau. Les absences systématiques dues à la base (par exemple, les réseaux centrés en corps manquant pour h+k+l impair) apportent des informations structurales au-delà de la formule d'espacement.

Le modèle des électrons libres empile N électrons de conduction dans des états jusqu'au vecteur d'onde de Fermi k_F=(3π²n)^(1/3) pour une densité numérique n, donnant E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). Pour n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV et T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Puisque T_F dépasse largement la température ambiante, seule une fraction de l'ordre de T/T_F des électrons sont thermiquement excités.

Les métaux possèdent donc deux termes de capacité thermique à basse température : un terme électronique γT linéaire en T et un terme de réseau (Debye) βT³. Le tracé de C/T en fonction de T² donne une ordonnée à l'origine γ et une pente β. Près de la température ambiante, la partie du réseau s'approche de la valeur de Dulong-Petit et domine ; à basse température, le terme électronique γT l'emporte sur le terme de réseau βT³ qui décroît.

La diffraction de Bragg utilise l'angle theta par rapport au plan cristallin, et non par rapport à sa normale.

La capacité thermique des métaux à basse température présente des termes électroniques et réticulaires distincts : Un graphique de C/T en fonction de T² présente une ordonnée à l'origine gamma et une pente beta. Une droite identifie le régime de ce modèle.

Mesurer θ par rapport à la normale du plan plutôt qu'au plan lui-même, ou attribuer toute la capacité thermique à basse T aux électrons. Ce sont là les erreurs où échouent ces calculs.

Condition de Bragg : Réflexion constructive depuis les plans réticulaires lorsque 2d sinθ=nλ, avec θ mesuré par rapport au plan.

Énergie de Fermi : Électronique occupée la plus élevée à température nulle dans le modèle des électrons libres.