QM.4 · Finite-well bound states and hydrogenic quantum numbers

Une fonction d'onde liée peut s'étendre à l'extérieur d'un puits fini, même si l'énergie de la particule est inférieure au potentiel extérieur.

Prérequis : 5, 24, 37.

• Associer les états de puits fini à décroissance exponentielle et dériver les conditions de quantification dépendantes de la parité
• Interpréter les racines sans dimension des états liés et distinguer le confinement de la diffusion
• Utiliser les nombres quantiques hydrogéniformes, le moment angulaire et les mesures de probabilité radiale

Définir un puits symétrique V=−V₀ pour |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 et une masse identique partout. Une énergie liée se situe entre −V₀ et zéro. À l'intérieur, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ donne des solutions oscillatoires ; à l'extérieur, κ=√(−2mE)/$\hbar$ donne des queues décroissantes. Rejeter les exponentielles croissantes pour obtenir un état normalisable. La symétrie de réflexion permet des états pairs cos(kx) ou impairs sin(kx) à l'intérieur. Aux frontières finies sans interactions delta, ψ et ψ′ sont tous deux continus. L'appariement pair donne k tan(ka)=κ ; l'appariement impair donne −k cot(ka)=κ. Un puits fini n'exige pas que ψ s'annule à ses bords comme le ferait un mur infini.

Introduisez z=ka et ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Ensuite κa=√(ρ²−z²) et 0<z<ρ. Résolvez z tan z=√(ρ²−z²) pour un état pair, ou −z cot z=√(ρ²−z²) pour un état impair, sur des intervalles avec le signe approprié et loin des pôles de la tangente. L'énergie suit comme E/V₀=z²/ρ²−1. Pour ρ=1, la racine fondamentale se situe dans 0<z<1 et l'équation paire y est équivalente à z=cos z. La méthode de dichotomie ou un solveur convergé donne z≈0.739085 et E/V₀≈−0.453753. Puisque ρ<π/2, aucune branche d'état lié impair n'existe. En une dimension, un puits carré attractif possède toujours un état fondamental lié pair, aussi peu profond soit-il ; une queue seuil à E=0 n'est pas de carré intégrable.

Pour un état lié pair, écrivez ψ=A cos(kx) à l'intérieur et ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] à l'extérieur. La continuité fixe l'amplitude relative de la queue ; intégrez |ψ|² sur l'intérieur et les queues pour déterminer A. La probabilité hors du puits est non nulle et dépend de sa profondeur, de sa largeur et de l'état sélectionné. Les états liés ont des énergies discrètes et des asymptotes décroissantes normalisables. Un état de diffusion avec E>0 présente des ondes externes propagatives et est normalisé ou interprété selon une convention de continuum/flux. Une queue décroissante ne prouve pas que l'état viole la conservation de l'énergie, et l'amplitude brute de la queue ne constitue pas la probabilité extérieure tant qu'elle n'a pas été intégrée et normalisée.

Pour un ion coulombien à un électron de charge nucléaire Ze, utiliser le modèle central non relativiste et l'approximation noyau lourd sauf si la masse réduite est spécifiée. E_n≈−13.6 Z²/n² eV ; les nombres orbitaux autorisés sont n≥1, l=0,…,n−1 et m_l=−l,…,l. L² a pour valeur propre l(l+1)$\hbar$² et L_z=m_l$\hbar$ ; l'état fondamental 1s a l=0, malgré la règle historique des orbites circulaires de Bohr. La dégénérescence spatiale à n fixe est Σ_l(2l+1)=n² avant les corrections de spin et de structure fine. Si ψ=R_nl(r)Y_lm avec une partie angulaire normalisée, la probabilité radiale dans dr est r²|R|²dr, et non simplement |R|²dr. Pour l'hydrogène 1s, la densité radiale est 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³ : elle atteint son maximum en r=a₀ et possède une moyenne 3a₀/2, tandis que la densité ponctuelle tridimensionnelle est maximale à l'origine. Distinuer ces mesures avant de localiser un rayon le plus probable.

Un puits fini a V = -V0 pour $|x|<a$ et zéro à l'extérieur. Une énergie liée se situe strictement entre -V0 et zéro. Définissez

La parité paire donne un cosinus intérieur et des queues décroissantes. Le raccordement de la valeur et de la dérivée en a donne La parité impaire donne plutôt $-k\cot(ka)=\kappa$. Ne résolvez que dans les intervalles de parité valides; Une racine à un pôle tangentiel n'est pas un état lié.

Utilisez le potentiel zéro déclaré, faites correspondre ψ′ ainsi que ψ, et incluez la mesure de coquille radiale. Une queue liée et une onde voyageuse de continuum ont des régimes énergétiques différents.

état lié : État stationnaire normalisable avec probabilité confinée et énergie discrète dans le modèle spécifié.

densité de probabilité radiale : Probabilité par distance radiale, incluant la mesure de coquille sphérique après intégration angulaire.