CM.5 · Accelerating and rotating reference frames

Une personne immobile sur une plateforme tournante nécessite une force réelle vers l'intérieur, bien que son accélération relative à la plateforme soit nulle.

Prérequis : 26.

• Transformer l'accélération en utilisant les termes de translation et de rotation du référentiel
• Déterminer les directions centrifuge, de Coriolis et d'Euler à partir de produits vectoriels
• Séparer les forces apparentes des interactions réelles et tester les limites inertielles

Dans un référentiel en translation dont l'origine a une accélération A, l'équation de Newton devient m a′=F_real−mA. Un ascenseur accélérant vers le haut a donc N−mg=ma dans le référentiel terrestre, ou N−mg−ma=0 pour son passager immobile dans le référentiel de l'ascenseur. Ces prédictions sont identiques. Le terme supplémentaire est une force apparente due aux coordonnées accélérées choisies ; ce n'est pas un nouveau contact avec un autre corps. Une translation uniforme avec A=0 modifie la vitesse mais ne nécessite aucune force apparente.

Pour une base en rotation, dériver un vecteur ajoute Ω×à ce vecteur. Appliquer cela deux fois donne a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Ici r et v′ sont mesurés par rapport à l'origine mobile dans ses axes de rotation ; tous les vecteurs d'un calcul doivent être exprimés dans le même repère au même instant. Déplacer les trois derniers termes rotationnels du côté des forces donne la force de Coriolis −2mΩ×v′, centrifuge −mΩ×(Ω×r), et d'Euler −mΩdot×r. Une rotation constante élimine le terme d'Euler, pas celui de Coriolis.

Prendre Ω selon +z, une plateforme tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre vue d'en haut, et une particule à r selon +x. La force centrifuge est dirigée selon +x avec une grandeur mΩ²r. Si la particule se déplace vers l'extérieur avec v′ selon +x, alors Ω×v′ est +y, donc la force de Coriolis pointe vers −y. Inverser la vitesse relative inverse la force de Coriolis ; garder v′=0 la fait disparaître. La force de Coriolis est perpendiculaire à v′ et ne fournit aucun travail instantané sur ce mouvement relatif. La force centrifuge est dirigée vers l'extérieur de l'axe de rotation, pas nécessairement vers l'origine choisie dans une position arbitraire tridimensionnelle.

Un corps au repos sur la plateforme a a′=v′=0. Avec une rotation constante et une origine fixe, sa force réelle doit être mΩ×(Ω×r), dirigée vers l'intérieur, annulant le terme apparent sortant dans l'équation rotative. Si la rotation change, une force réelle tangentielle doit également équilibrer le terme d'Euler. Toujours vérifier Ω→0 et A→0 : le mouvement inertiel newtonien ordinaire doit revenir. Ne pas mélanger l'exigence centripète réelle vers l'intérieur avec une réaction réelle supplémentaire vers l'extérieur agissant sur le même corps ; les partenaires d'interaction appartiennent à des diagrammes de corps libre séparés.

Dans un référentiel en rotation, la force de Coriolis utilise la vitesse relative.

Pour m = 2 kg, Omega = 2 rad/s selon z, r = 1 m selon x et v' = 3 m/s selon x, La force d'Euler est nulle uniquement parce que Omega est constant. Ce sont des termes de coordonnées, pas des contacts physiques supplémentaires.

La vitesse relative v′ appartient au terme de Coriolis. Utiliser la vitesse inertielle complète compte la rotation deux fois.

Force de Coriolis : La force apparente du référentiel rotatif −2mΩ×v′ causée par le mouvement relatif.

force centrifuge : La force apparente du référentiel rotatif −mΩ×(Ω×r), dirigée loin de l'axe de rotation.