CM.4 · Constraints, variational equations and cyclic coordinates

La tension d'un pendule varie tout au long de son oscillation, mais son équation angulaire peut être dérivée sans résoudre pour la tension.

Prérequis : 1, 47.

• Déduire le mouvement d'Euler–Lagrange après avoir imposé une contrainte holonome
• Utiliser une coordonnée cyclique pour identifier une impulsion canonique conservée
• Linéariser un équilibre stable et vérifier la fréquence résultante

Une contrainte retire une coordonnée indépendante avant que vous ne formiez l'énergie cinétique. Pour un pendule de longueur fixe, choisissez θ depuis la verticale descendante : x=l sinθ et y=−l cosθ. La dérivation de ces deux coordonnées donne v²=l²θdot², pas l² sin²θ θdot². Ainsi T=ml²θdot²/2 et V=mgl(1−cosθ), avec zéro potentiel en bas. La longueur fixe est une contrainte holonome : c'est une relation entre les coordonnées et éventuellement le temps. Une contrainte de vitesse de roulement nécessite sa propre analyse ; ne traitez pas automatiquement chaque contrainte comme une substitution de coordonnée.

Pour des contraintes idéales et un système conservatif usuel, l'équation d'action stationnaire est d/dt(∂L/qdot)−∂L/∂q=0 avec L=T−V. Les variations s'annulent aux deux extrémités temporelles. Un pendule donne ∂L/∂θdot=ml²θdot et ∂L/∂θ=−mgl sinθ, donc ml²θddot+mgl sinθ=0. La dérivée par rapport à la quantité de mouvement agit sur chaque facteur dépendant du temps : pour un rayon variable, d(mr²θdot)/dt contient 2mr rdot θdot. La méthode variationnelle ne signifie pas que l'énergie mécanique est conservée dans un système dépendant du temps.

Pour un mouvement central planaire, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). L'angle θ est cyclique car L n'a pas de dépendance explicite en θ, bien que L dépende de θdot. Son impulsion canonique pθ=mr²θdot est constante. L'équation radiale est m rddot=mrθdot²−dV/dr. Le premier terme fait partie de l'accélération de coordonnée, pas d'une nouvelle force réelle sortante dans un référentiel inertiel. La conservation de pθ fait augmenter la vitesse angulaire lorsque r diminue ; une vitesse angulaire constante est une situation différente, pilotée externement.

Près d'un équilibre stable q0, développer V au second ordre et utiliser une inertie locale constante M : V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. La fréquence des petits déplacements est alors sqrt(V″/M). Pour un pendule, sinθ≈θ en radians, donc ω=sqrt(g/l) ; cette approximation exige une faible amplitude. Un V″ négatif indique une instabilité, non une oscillation à fréquence imaginaire mesurable. Vérifier d'abord l'équation non linéaire complète, puis énoncer l'approximation et comparer les unités : V″/M doit avoir pour unité l'inverse du carré du temps.

Pour une longueur de pendule fixée l, utiliser θ depuis la verticale descendante : x = l sin θ, y = -l cos θ. Les deux vitesses cartésiennes donnent $T=ml^2\dot\theta^2/2$ et $V=mgl(1-\cos\theta)$. L'équation d'Euler-Lagrange — est

Diviser par $ml^2$ avant linéarisation : L'approximation utilise des radians. Les variations aux extrémités s'annulent dans la dérivation de l'action stationnaire.

Une coordonnée cyclique est absente de L elle-même ; sa vitesse n'a pas besoin d'être absente. Ne pas négliger la dérivée temporelle d'un facteur variable r².

contrainte holonome : Contrainte écrite sous forme de relation entre les coordonnées et le temps.

coordonnée cyclique : Absente de L elle-même, sa quantité de mouvement canonique est donc conservée.