LM.1 · Counting statistics, uncertainty and dimensional models

Un détecteur avec une efficacité de dix pour cent ne registre pas exactement dix photons sur chaque cent. Le nombre de comptes fluctue même si l'efficacité reste stable.

Prérequis : 47.

• Utiliser les moyennes et fluctuations de comptage binomiales et de Poisson
• Propager les petites incertitudes en supposant des corrélations spécifiées
• Résoudre les contraintes d'exposants dimensionnels et vérifier les unités d'un modèle

Pour N particules incidentes indépendantes détectées chacune avec une probabilité p, le comptage X est binomial : moyenne Np et variance Np(1−p). L'écart type est sqrt[Np(1−p)], pas la variance elle-même. Avec un grand N et un petit p, une approximation de Poisson a une moyenne λ=Np et une variance λ, donc un écart type sqrt(λ). Pour N=200 et p=0.05, la moyenne exacte est 10 et l'écart type sqrt(9.5)≈3.08, tandis que Poisson donne sqrt(10)≈3.16. Aucun modèle ne garantit un comptage fixe. Des détections corrélées ou un temps mort peuvent invalider l'indépendance.

Pour une fonction mesurée lisse y(x1,…), linéariser les variations à l'aide de ses dérivées partielles. Les petites incertitudes standards indépendantes se combinent en quadrature : σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Des entrées corrélées nécessitent des termes croisés de covariance. Pour y=x^a, l'incertitude relative standard est approximativement |a|σ_x/|x|. Ainsi, l'énergie cinétique K=½mv² avec une incertitude de masse négligeable a une incertitude relative deux fois celle de la vitesse. Avec une incertitude de masse indépendante, combiner (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². Ces approximations nécessitent de petites erreurs et un modèle linéaire local approprié.

La dispersion aléatoire mesure la précision ; un biais de calibration commun affecte la justesse et ne disparaît pas par la moyenne de répétitions. Pour des lectures répétées indépendantes, l'incertitude standard de la moyenne diminue comme 1/sqrt(n), mais l'erreur systématique partagée ne s'annule pas. L'incertitude d'une dispersion physique et l'incertitude de sa moyenne estimée sont des quantités distinctes. Préciser si un pourcentage cité représente une incertitude standard, un intervalle de confiance ou une limite au cas le plus défavorable. Additionner les contributions absolues constitue une borne conservatrice, et non la règle de quadrature de l'erreur standard indépendante.

L'analyse dimensionnelle égalise les puissances de la masse, de la longueur et du temps, plutôt que leurs valeurs numériques. Pour une forme de longueur de Planck G^a $\hbar$^b c^d, les dimensions sont [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T et [c]=L/T. En exigeant une longueur, on obtient −a+b=0, 3a+2b+d=1 et −2a−b−d=0. Par conséquent a=b=1/2 et d=−3/2, de sorte que la longueur est égale à sqrt(G$\hbar$/c³). L'analyse dimensionnelle ne peut déterminer un coefficient sans dimension arbitraire ni prouver que les constantes choisies sont physiquement suffisantes. Rejeter une formule aux mauvaises unités avant d'y insérer des nombres.

Pour des incertitudes standards petites et indépendantes dans $K=mv^2/2$, différentier d'abord.

Avec des incertitudes relatives de 3% sur la masse et 2% sur la vitesse, Une borne au cas le plus défavorable utiliserait une somme, et non cette quadrature. Les corrélations nécessitent des termes de covariance.

Ne confondez pas la moyenne de comptage avec un décompte garanti, la variance avec l'écart-type, ni une erreur standard aléatoire avec un biais de calibration. La cohérence dimensionnelle est nécessaire mais non suffisante.

incertitude standard : Incertitude exprimée sous forme d'écart-type selon un modèle de mesure spécifié.

approximation de Poisson : Modèle de comptage rare pour des événements indépendants dont la variance est égale à la moyenne.