T.8 · Conditionnement, inférence bayésienne et erreur d'échantillonnage

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : tableaux de probabilités, espérance, variance et échantillonnage indépendant.

• Distinguer les probabilités conditionnelles, jointes et des événements indépendants
• Calculer les probabilités a posteriori avec un tableau de taux de base complet
• Utiliser la variance et la taille de l'échantillon pour déterminer l'erreur type de la moyenne

probabilité a posteriori : Probabilité conditionnelle à l'évidence observée après prise en compte des proportions a priori.

erreur type : Écart-type d'une statistique sur des échantillons répétés.

Pour P(B)>0, P(A|B)=P(A∩B)/P(B) : restreindre la population à B avant de calculer la fraction dans A. L'indépendance signifie P(A∩B)=P(A)P(B), ou encore P(A|B)=P(A) si le dénominateur est non nul. Des événements incompatibles avec des probabilités strictement positives ne peuvent pas être indépendants, car leur probabilité jointe est nulle. L'échantillonnage sans remise modifie généralement les probabilités ultérieures ; un dénominateur fixe pour des tirages successifs décrirait une expérience différente.

Construire les probabilités jointes en multipliant une proportion de catégorie a priori par la probabilité conditionnelle pertinente. Si D est la condition et + un résultat positif, P(D∩+)=P(D)P(+|D). La probabilité totale positive est P(D)P(+|D)+P(non D)P(+|non D), car ces cas sont disjoints et couvrent tous les résultats positifs. Bayes divise la première probabilité jointe par ce total. La sensibilité est P(+|D), tandis que la spécificité est P(−|non D) ; le taux de faux positifs est un moins la spécificité.

Pour un test hypothétique avec prévalence 2 %, sensibilité 90 % et spécificité 95 %, utiliser une population de 10,000 pour plus de clarté. Parmi 200 personnes atteintes, 180 testent positives. Parmi 9,800 non atteintes, 490 testent positives. Ainsi, 180 des 670 résultats positifs correspondent à la maladie : probabilité postérieure 18/67, soit environ 26.9 %. Inverser la conditionnelle donnerait 90 %, répondant à une question différente. Il s'agit d'un modèle mathématique, non d'une recommandation concernant des décisions cliniques.

Pour des observations identiquement distribuées et indépendantes de variance finie σ², la moyenne a pour espérance μ et variance σ²/n ; son erreur type est σ/√n. Il s'agit de la dispersion des moyennes d'échantillons répétés, pas de celle des observations individuelles. Quadrupler n réduit l'erreur type de moitié, et non d'un quart. Des données de population normale donnent une moyenne exactement normale ; sinon, une approximation du théorème central limite nécessite des conditions adéquates et une taille d'échantillon suffisante. Une corrélation invalide le calcul simple de la variance indépendante.

Soit P(A)=0.4, P(B)=0.5 et P(A∩B)=0.3. Alors P(A|B)=0.6, donc A et B ne sont pas indépendants, car 0.3≠0.4·0.5. Si une variable a un écart-type de 12, un échantillon indépendant de taille 36 a une erreur-type de la moyenne de 2. Augmenter la taille de l'échantillon à 144 donne 1 ; l'écart-type des observations individuelles reste 12.

Ne pas inverser P(+|D) en P(D|+). Inclure les faux positifs dans le dénominateur a posteriori. L'écart-type des observations individuelles et l'erreur-type de leur moyenne ont un comportement différent par rapport à la taille de l'échantillon.

Dans un modèle donné, 10 % des dispositifs présentent un défaut. Un test est positif pour 80 % des dispositifs défectueux et 5 % des dispositifs non défectueux. Trouver la probabilité d'un défaut étant donné un résultat positif en utilisant 1000 dispositifs attendus.

Solution détaillée

Les effectifs attendus sont 100 défectueux et 900 non défectueux. Les effectifs positifs sont respectivement $100(0.8)=80$ et $900(0.05)=45$. Le groupe conditionné contient 125 positifs, donc

Les effectifs négatifs 20 et 855 vérifient les totaux de lignes. La sensibilité 0.8 est $P(+\mid D)$, et non la condition inversée demandée. Ce sont des taux illustratifs de modèle, pas des affirmations de performance mesurée.

Des observations indépendantes ont une variance de 25. Trouver l'erreur type de leur moyenne pour n=100. Si chaque paire distincte a une covariance de 1, trouver la variance de la moyenne. Quadrupler n réduit-il nécessairement l'erreur type de moitié dans ce second modèle ?

Vérification après tentative

L'indépendance donne $\operatorname{Var}(\overline X)=25/n$ et à 100 l'erreur type est $5/10=0.5$. Avec une covariance de un,

À 100, elle est 1.24. L'erreur type tend vers un quand n croît, plutôt que vers zéro ; quadrupler n ne doit pas nécessairement la réduire de moitié. Les termes de covariance ne peuvent être omis qu'en cas d'incorrélation justifiée, l'indépendance étant une condition suffisante.