T.6 · Fonctions, branches inverses et composition

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Domaines de fonctions, équations quadratiques et composition.

• Distinguer injectivité et surjectivité en utilisant le domaine et le codomaine spécifiés
• Choisir et vérifier une branche inverse en composant dans les deux sens
• Tracer la composition répétée de fonctions tout en préservant le domaine

bijection : Une fonction qui est à la fois injective et surjective entre ses ensembles spécifiés.

involution : Une fonction dont la composition avec elle-même est l'identité sur son domaine.

Une fonction attribue exactement une sortie à chaque entrée autorisée. Injectif signifie que des sorties égales imposent des entrées égales ; surjectif signifie que chaque élément du codomaine spécifié est atteint. La carte x↦x² de R vers [0,∞) est surjective mais pas injective. De [0,∞) vers [0,∞) elle est les deux, donc bijective. De [0,∞) vers R, elle reste injective mais échoue sur la surjectivité. Conserver le domaine, l'image et le codomaine séparément lors de la vérification de chaque affirmation.

Une fonction inverse inverse une bijection. Résoudre y=f(x) pour x, puis utiliser le domaine original pour choisir une branche. Pour f(x)=(x−2)²−5 sur x≥2, l'inverse est 2+√(y+5) sur y≥−5. La branche moins retournerait des entrées hors du domaine choisi. Vérifier f⁻¹(f(x))=x pour x autorisé et f(f⁻¹(y))=y pour y autorisé ; une seule composition non vérifiée peut dissimuler une erreur de domaine.

Le graphe inverse reflète le graphe original selon y=x ; il ne prend pas les réciproques des valeurs de sortie. Une fonction auto-inverse, ou involution, satisfait f(f(x))=x partout où la composition est définie. Tant −x sur R que 1/x sur R excluant zéro sont des involutions. Une involution strictement croissante sur un intervalle doit être l'identité : si f(x)>x, la croissance donne f(f(x))>f(x)>x, et l'argument analogue élimine f(x)<x.

L'itération fⁿ désigne une composition répétée, et non la puissance (f(x))ⁿ. Calculez les premières compositions et vérifiez leurs domaines avant de chercher une période. Pour f(x)=1/(1−x) sur ℝ excluant 0 et 1, on a f²(x)=(x−1)/x et f³(x)=x. L'image reste dans le même domaine autorisé. Il faut donc réduire un nombre d'itérations modulo trois. Une formule affichée égale à x après simplification ne rétablit pas les entrées interdites.

Pour f(x)=(x−2)²−5 avec x≥2, f(5)=4 et f⁻¹(4)=2+√9=5. Le quadratique non restreint aurait deux entrées, −1 et 5, donnant la sortie 4. Pour g(x)=1/(1−x), l'orbite 3→−1/2→2/3→3 a une période de trois, donc g⁸(3)=2/3 ; le décompte concerne les compositions, pas les puissances huitièmes.

Changer un codomaine change la surjectivité. La réflexion selon y=x est un graphe inverse ; l'inversion des valeurs y est une opération différente. Ne supprimez pas les entrées exclues.

Restreignez $f(x)=(x-1)^2+2$ à $x\ge1$. Énoncez son image et son inverse, y compris les domaines. Vérifiez les deux compositions inverses.

Solution détaillée

L'image est $[2,\infty)$. Résoudre $y=(x-1)^2+2$ avec $x\ge1$ sélectionne $x=1+\sqrt{y-2}$. Ainsi $f^{-1}:[2,\infty)\to[1,\infty)$ a cette expression. Pour x autorisé, $1+\sqrt{(x-1)^2}=x$ car $x-1\ge0$. Pour y autorisé, $(\sqrt{y-2})^2+2=y$. La branche racine carrée négative appartient à une restriction différente, et non à une seconde inverse sur ce domaine.

Soit $h(x)=1/(1-x)$. Déterminez le domaine de $h\circ h\circ h$ et son expression. L'expression simplifiée peut-elle être prolongée aux points exclus sans modifier la composition originale ?

Vérification après tentative

La première étape nécessite $x\ne1$. La seconde exige $h(x)\ne1$, ce qui exclut x=0. Pour $x\ne0,1$, on obtient $h^2(x)=(x-1)/x$. Cela ne vaut jamais un, donc la troisième étape n'ajoute aucune exclusion. Ensuite, application de $h^3(x)=x$ sur $\mathbb R\setminus\{0,1\}$. La formule identité est définie plus largement, mais ajouter 0 ou 1 définit une extension, pas le composé original. Chaque entrée intermédiaire doit être autorisée avant toute simplification.