C.7 · Changements de coordonnées et théorèmes intégraux vectoriels

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Intégrales multiples, dérivées partielles et bords orientés.

• Transformer les intégrales doubles et triples avec leurs Jacobiens
• Appliquer les théorèmes de Green, Stokes et de divergence avec la bonne orientation
• Vérifier les singularités du domaine avant d'affirmer l'indépendance du chemin

divergence : La somme des dérivées partielles coordonnées d'un champ vectoriel mesurant le flux sortant local.

champ conservatif : Un champ vectoriel égal au gradient d'un potentiel scalaire avec des intégrales de ligne indépendantes du chemin.

Le changement de variables met à l'échelle l'aire ou le volume par le déterminant jacobien absolu. Les coordonnées polaires utilisent r dr dθ ; les coordonnées cylindriques utilisent r dr dθ dz ; les coordonnées sphériques avec phi mesuré depuis l'axe z positif utilisent ρ² sin(φ) dρ dφ dθ. Énoncer les conventions angulaires et transformer à la fois l'intégrande et la région. L'absence du jacobien transforme une intégrale de densité uniforme en une grandeur physique incorrecte.

Le théorème de Green égalise l'intégrale de circulation sur le contour plan orienté positivement P dx+Q dy avec l'intégrale double de Q_x−P_y sur la région. Les hypothèses usuelles exigent que les dérivées premières soient continues sur un ensemble ouvert contenant la région. Un trou nécessite sa propre frontière intérieure orientée négativement, ou un autre traitement valide du domaine manquant. Le théorème ne peut pas intégrer à travers une singularité de champ.

Le théorème de Stokes égalise la circulation sur la frontière d'une surface avec l'intégrale surfacique de rot F pointant la normale orientée. La règle de la main droite relie la direction du contour à la normale. Le théorème de la divergence égalise le flux sortant à travers une surface fermée avec l'intégrale volumique de div F. Circulation, flux, rotationnel et divergence sont distincts ; une surface fermée est requise pour le théorème de la divergence usuel.

Un champ gradient possède des intégrales de ligne indépendantes du chemin, déterminées par les différences de potentiel aux extrémités. Un champ sans rotation continuément différentiable sur un domaine ouvert simplement connexe est conservatif. L'absence de rotation seul sur un domaine avec un trou est insuffisant. Pour F=(−y/(x²+y²), x/(x²+y²)), l'origine est exclue ; la circulation sur le cercle unité est 2π, bien que le rotationnel soit nul partout où le champ est défini.

Pour F=(x,y,z), la divergence est 3. Le flux sortant à travers la sphère de rayon 2 est donc 3 fois son volume, soit 3·(4π·2³/3)=32π. Cela évite une paramétrisation surfacique. Pour le champ plan (-y,x), le théorème de Green donne la circulation antihoraire du cercle unité comme intégrale de 1−(−1)=2 sur le disque, d'où 2π. Inverser l'orientation change le signe de la circulation.

Une rotation nulle ne suffit pas lorsque le domaine possède un trou. Le flux sortant et la circulation antihoraire utilisent des théorèmes et des règles d'orientation différents.

Évaluer $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ sur $1\le x^2+y^2\le4$. Trouver le flux sortant de $F=(x,y,z)$ à travers la sphère unité.

Solution détaillée

L'anneau a des bornes polaires $1\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$. En incluant le jacobien,

F est continûment différentiable sur toute la boule et a une divergence égale à trois. Le théorème de la divergence donne un flux sortant de $3(4\pi/3)=4\pi$. Une orientation vers l'intérieur inverserait son signe.

Soit $G=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ sur le plan ponctué. Sa rotation scalaire y est nulle. Évaluer sa circulation sur le cercle unité antihoraire. Expliquer pourquoi le théorème de Green ne le rend pas nul.

Vérification après tentative

Paramétrer $r(t)=(\cos t,\sin t)$ pour $0\le t\le2\pi$. Puis $G(r(t))=(-\sin t,\cos t)=r'(t)$, donc $G\cdot r'=1$ et l'intégrale vaut $2\pi$. Le champ n'est pas défini à l'origine à l'intérieur du disque. Le théorème de Green exige la régularité nécessaire sur un voisinage de la région, et non seulement sur sa frontière. Un rotationnel nul sur un domaine ponctué n'établit pas un potentiel global ; un champ fermé non exact peut circuler autour de son trou.