A.5 · Polynômes et extensions de corps

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Division polynomiale, corps et dimension d'espace vectoriel.

• Tester l'irréductibilité d'un polynôme sur le corps spécifié
• Construire de petits corps finis à partir de polynômes irréductibles
• Utiliser les degrés d'extension et la loi des tours
• Utiliser les racines cyclotomiques et les relations entre coefficients pour calculer sommes et produits

polynôme irréductible : Un polynôme de degré positif sans factorisation en facteurs de plus petit degré positif sur le corps indiqué.

degré d'extension : La dimension d'un corps d'extension comme espace vectoriel sur son corps de base.

Un polynôme est irréductible sur un corps s'il a un degré positif et ne se factorise pas en polynômes de plus petit degré positif sur ce corps. Un polynôme quadratique ou cubique est irréductible exactement quand il n'a pas de racine dans ce corps. Ce test de racines seul échoue pour les degrés quatre ou supérieurs ; par exemple (x²+1)(x²+2) n'a pas de racine réelle mais est réductible sur ℝ. Nommer toujours le corps de base.

Le quotient F[x]/(p) est un corps lorsque p est irréductible. Réduire les puissances en utilisant p(alpha)=0, où alpha est la classe de résidu de x. Si F possède q éléments et p de degré d, le quotient a q^d éléments représentés par des polynômes de degré inférieur à d. Z/4Z a quatre éléments mais contient des diviseurs de zéro, c'est donc pas le corps à quatre éléments.

Sur F2, p(x)=x²+x+1 prend la valeur 1 aux deux points 0 et 1 et est irréductible. Dans son quotient, alpha²=alpha+1 car la soustraction équivaut à l'addition en caractéristique deux. Les quatre éléments sont 0,1, alpha, alpha+1. Les trois éléments non nuls doivent être inversibles ; calculer leurs produits plutôt que de traiter alpha comme un nombre réel ordinaire.

Pour des extensions de degré fini imbriquées K ⊂ L ⊂ M, la loi des tours donne [M:K]=[M:L][L:K]. Le degré d'un élément algébrique est le degré de son polynôme minimal. Une extension finie de degré deux ne contient pas d'élément de degré trois sur le corps de base. Sur ℚ, sqrt(2) a degré deux ; y adjoindre sqrt(3) produit une extension de degré quatre, car sqrt(3) n'est pas dans ℚ(sqrt(2)). Sur ℂ, les racines primitives de l'unité d'ordre n ont exactement l'ordre n et sont racines du polynôme cyclotomique Φ_n. Pour n=10, diviser x⁵+1 par x+1 pour exclure la racine d'ordre deux −1 : Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. Les formules de Viète donnent la somme 1 et le produit 1 de ses quatre racines primitives. Ne pas sommer toutes les racines dixièmes, ni supposer que toute racine dixième non triviale est primitive ; l'ordre d'une racine doit être vérifié. Pour un polynôme unitaire de degré d, le produit de ses racines est (−1)^d fois le coefficient constant.

Dans F2[alpha] avec alpha²+alpha+1=0, on multiplie alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. Ainsi alpha^−1=alpha+1. De plus, alpha³=1 et alpha n'est pas 1, donc son ordre multiplicatif est 3. Cela produit un corps à quatre éléments. En revanche, 2·2=0 dans Z/4Z, prouvant que le quotient n'est pas un corps.

La réductibilité des polynômes change selon le champ des coefficients. Le polynôme x²−2 est irréductible sur Q mais se scinde sur R.

Construire $\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1)$. lister ses éléments et trouver l'inverse de la classe de résidu $\alpha=[x]$.

Solution détaillée

Le polynôme quadratique prend la valeur un aux deux éléments de $\mathbb F_2$, donc il n'a pas de racine et est irréductible. Son quotient est un corps. La division laisse un représentant de degré inférieur à deux : $0,1,\alpha,1+\alpha$. La relation est $\alpha^2=\alpha+1$ en caractéristique deux. Par conséquent $\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha=1$, donc $\alpha^{-1}=\alpha+1$. Ce n'est pas $\mathbb Z/4\mathbb Z$, qui contient un diviseur de zéro non nul.

Est-ce que $x^4+4$ est irréductible sur $\mathbb Q$ ? L'absence de racines rationnelles répond-elle à cette question ? Une extension de degré deux de $\mathbb Q$ peut-elle contenir une racine d'un polynôme cubique irréductible sur $\mathbb Q$ ?

Vérification après tentative

La multiplication directe donne $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$, donc il est réductible sur $\mathbb Q$ malgré l'absence de racines réelles, et donc rationnelles. Le test d'absence de racines caractérise l'irréductibilité uniquement pour les degrés deux ou trois sur un corps. Si une racine cubique irréductible $\beta$ appartenait à une extension de degré deux L, alors $\mathbb Q\subset\mathbb Q(\beta)\subset L$ et la loi des tours rendraient 3 diviseur de 2. C'est impossible. La conclusion repose sur l'irréductibilité, et non simplement sur une équation cubique.