A.4 · Anneaux, idéaux et modules

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Anneaux, corps, sous-groupes additifs et homomorphismes.

• Distinguer unités, diviseurs de zéro et anneaux intègres
• Identifier les idéaux et interpréter les anneaux quotients
• Comparer les modules sur des anneaux avec les espaces vectoriels sur des corps
• Déduire les propriétés des anneaux booléens sans supposer la commutativité

idéal : Un sous-groupe additif d'un anneau absorbant la multiplication par tous les éléments de l'anneau.

torsion : Un élément est annulé par un scalaire non nul du module considéré.

Pour les exemples de domaine, d'idéal et de quotient ci-dessous, utiliser un anneau commutatif à unité 1 distinct de 0. Un problème source peut spécifier un anneau général ; ne pas supposer sa multiplication commutative sauf indication ou preuve. Une unité possède un inverse multiplicatif. Un diviseur de zéro non nul multiplie un certain élément non nul pour donner zéro. Un anneau intègre n'a pas de tels diviseurs de zéro ; la simplification d'un facteur non nul fonctionne alors. Un corps est un anneau intègre où tout élément non nul est une unité. Z est un anneau intègre mais pas un corps ; Z/6Z ne l'est ni.

Un idéal I est un sous-groupe additif qui absorbe la multiplication par tout élément de l'anneau. C'est plus fort qu'être un sous-anneau. Dans Z, nZ est un idéal ; les éléments du quotient sont des classes de résidus entiers modulo n. Dans un anneau commutatif, R/I est un corps si et seulement si I est maximal, et c'est un anneau intègre si et seulement si I est premier. L'idéal doit être propre dans les deux énoncés.

Un module permet des scalaires provenant d'un anneau plutôt qu'exigeant un corps. Tout groupe abélien est un Z-module par addition répétée, mais il ne possède pas nécessairement une base vectorielle. Dans Z/6Z considéré comme Z-module, 6 multipliant le résidu non nul 1 donne zéro ; c'est la torsion. Pour un espace vectoriel sur un corps, un scalaire non nul est inversible et ne peut annihiler un vecteur non nul.

Un sous-module est stable par addition et toutes les actions scalaires autorisées. Une application linéaire de modules conserve ces deux structures. Le noyau et l'image sont des sous-modules, et le quotient par le noyau est isomorphe à l'image. Ne pas appliquer le théorème du rang-noyau en dimension finie à un module arbitraire sans avoir établi un cadre de module libre approprié ; les opérations élémentaires sur les lignes entières et celles sur les champs permettent des divisions différentes. Dans un anneau booléen général, tout a satisfait a²=a. Ne pas supposer la commutativité pour le prouver : l'idempotence de a+a donne 4a=2a, donc 2a=0. En développant (a+b)²=a+b on obtient ab+ba=0, et la caractéristique deux rend −ba=ba ; par conséquent ab=ba. L'idempotence n'implique pas la nilpotence : dans F2, l'élément non nul 1 satisfait 1^n=1 pour tout entier positif n.

Dans Z/6Z, 2·3=0, donc 2 et 3 sont des diviseurs de zéro. Les unités sont 1 et 5 car leur pgcd avec 6 est 1. Dans Z, l'idéal 5Z donne le corps Z/5Z, tandis que 6Z donne un quotient avec des diviseurs de zéro. En tant que Z-modules, la carte de Z vers Z/6Z a pour noyau 6Z ; le quotient identifie les entiers différant d'un multiple de 6, plutôt que de produire un espace vectoriel réel.

Un ensemble peut être un sous-module sans être un espace vectoriel sur les rationnels. La division scalaire n'est valide que lorsque l'inverse du scalaire appartient à la structure.

Dans $\mathbb Z/12\mathbb Z$, énumérer les unités et les diviseurs de zéro non nuls. L'idéal $(4)$ est-il premier ou maximal ?

Solution détaillée

Les unités sont les résidus premiers avec 12 : $1,5,7,11$. Les résidus non nuls restants $2,3,4,6,8,9,10$ sont des diviseurs de zéro. Pour chaque tel a, $a\cdot(12/\gcd(a,12))=0$ modulo 12, avec le second facteur non nul. L'idéal $(4)=\{0,4,8\}$ donne un quotient isomorphe à $\mathbb Z/4\mathbb Z$. Ce n'est pas un anneau intègre, car $2\cdot2=0$, et ce n'est pas un corps. L'idéal n'est donc ni premier ni maximal.

En tant que $\mathbb Z$-module, $\mathbb Z/6\mathbb Z$ peut-il être libre ? Comparer les idéaux $(2)$ et $(x)$ dans $\mathbb Z$ et $\mathbb Q[x]$ respectivement, en utilisant leurs quotients.

Vérification après tentative

Un module libre non nul de rang $\mathbb Z$ n'admet aucun vecteur non nul annulé par un entier non nul : examiner chaque coordonnée entière. Mais $6[1]=0$ dans $\mathbb Z/6\mathbb Z$. Il n'est pas libre ; un argument de base de type corps est invalide. $\mathbb Z/(2)\cong\mathbb F_2$ est un corps, donc $(2)$ est maximal et premier. L'évaluation en zéro envoie $\mathbb Q[x]$ sur $\mathbb Q$ avec pour noyau $(x)$ ; son quotient est aussi un corps. Les deux arguments utilisent des idéaux propres dans les anneaux commutatifs à unité.