Champ d'application et prérequis
Cadre ACT, révision de février 2026. Les cas de classe ici ne constituent pas une forme officielle ACT.
- Additionner et mettre à l'échelle des vecteurs composante par composante
- Multiplier une matrice et un vecteur avec des dimensions correspondantes
- Interpréter les entrées et les unités dans un modèle quantitatif
Prérequis : Paires ordonnées ; Pythagore ; multiplication et addition.
Expliquer et choisir la méthode
Un vecteur bidimensionnel enregistre un déplacement ordonné ou une autre grandeur associée. Additionnez les composantes correspondantes et multipliez les deux par un scalaire. Le vecteur de A à B est B-A, pas A-B. Sa norme est √(u²²+v²²) dans un plan cartésien euclidien ; la direction et la norme sont des informations distinctes.
Une matrice organise des entrées en lignes et colonnes. N'additionnez que des matrices de même forme, entrée par entrée. Pour la multiplication, le nombre de colonnes du premier facteur doit être égal au nombre de lignes du second. Une matrice 2-par-3 multipliée par un vecteur 3-par-1 produit un résultat 2-par-1 : chaque sortie est le produit scalaire d'une ligne avec le vecteur.
L'ordre compte : la multiplication matricielle n'est généralement pas commutative. Si A fois B est défini, B fois A peut ne pas l'être ou produire un résultat différent. Pour une ligne contenant des quantités d'articles et une colonne contenant des prix unitaires dans le même ordre d'articles, le produit scalaire donne le coût total. Un ordre d'articles non correspondant produit une réponse numériquement correcte mais sans sens.
Étiquetez chaque composante et unité avant de calculer. Un vecteur de déplacement utilise des unités de distance, tandis qu'une entrée de matrice peut être un décompte, un coût ou un taux. Après la multiplication, interprétez les unités de la sortie. Les problèmes ACT peuvent fournir la définition de l'opération ; suivez cette définition plutôt que de supposer qu'un symbole inconnu signifie toujours une multiplication ordinaire.
Une matrice utilise des lignes et des colonnes étiquetées. Une ligne de quantités $(2,3)$ et une colonne de prix $(4,5)^T$ donnent un coût $2(4)+3(5)=23$. Les dimensions intérieures doivent correspondre avant qu'un produit matriciel n'existe. Un vecteur déplacement de $A$ à $B$ est $B-A$.
Exemple résolu. Les déplacements (3,4) et (-1,2) s'additionnent pour donner (2,6) ; le premier a une grandeur de 5. Deux rangées de magasins (2,1) et (1,3), avec des prix (4,5), donnent des coûts $2\times4+1\times5=13$ et $1\times4+3\times5=19$. La matrice [[2,1],[1,3]] multipliée par la colonne [4,5] donne la colonne [13,19]. Les entrées représentent des quantités multipliées par le prix unitaire.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Les points A et B en mètres sont $(1,-2)$ et $(7,6)$. Trouvez le déplacement de A à B et sa norme. Ensuite, trouvez l'extrémité après avoir ajouté un déplacement de $(-3,2)$ mètres à B.
Raisonnement. $\overrightarrow{AB}=B-A=(6,8)\,\mathrm{m}$. Magnitude $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+8^2}\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{m}$. Nouveau point final $B+(-3,2)=(4,8)$ mètres. La direction ne doit pas être inversée.
Pratique 2
Deux commandes d'un magasin ont des lignes de quantités $(3,2)$ et $(1,4)$ pour des stylos et des cahiers. Les prix sont respectivement 2 et 7 yuans. Donnez le produit matriciel et les coûts des deux commandes.
Raisonnement. $Q=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$, $p=\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}$ yuan par article. $Qp=\begin{pmatrix}3(2)+2(7)\\1(2)+4(7)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\30\end{pmatrix}$ yuans. L'ordre des articles doit correspondre à l'ordre des prix.
Pratique 3
A est 2 par 3 et B est 3 par 4. Indiquez la taille de AB et si BA est défini.
Raisonnement. AB a une dimension intérieure correspondante 3 et des dimensions extérieures 2 sur 4. BA nécessiterait 4=2, donc elle est non définie. Inverser un produit n'est pas anodin.
Limites et prochaine utilisation
Conservez explicitement la forme ligne/colonne et l'ordre des éléments. La magnitude d'un vecteur n'est pas la somme de ses composantes.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.