Champ d'application et prérequis
Cadre ACT, révision de février 2026. Les cas de classe ici ne constituent pas une forme officielle ACT.
- Choisissez des formes développées, factorisées ou sommet équivalentes pour une tâche
- Résolvez les équations linéaires et polynomiales en utilisant la structure
- Déterminez les régions d'inéquation quadratique à partir des signes plutôt que des racines seules
Prérequis : Regrouper les termes semblables ; substituer des paires ordonnées ; arithmétique signée.
Expliquer et choisir la méthode
Traduisez les relations en expressions avant de les manipuler. Une frais fixe plus un tarif par unité est un modèle affine linéaire, tandis qu'un produit de dimensions peut créer une quadraticité. Une forme équivalente doit préserver l'expression originale sur son domaine. Factorisez les termes communs et reconnaissez les identités avant de développer chaque produit.
Une équation linéaire peut avoir une, aucune ou une infinité de solutions après simplification ; vérifiez les coefficients nuls avant de diviser. Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif inverse son sens. Un produit polynomial est nul si au moins l'un des facteurs est nul. Conservez tous les facteurs, y compris un x extrait, pour éviter de perdre une racine nulle.
La forme factorisée d'une équation du second degré met en évidence ses racines et sa forme canonique met en évidence son extremum. Pour une inégalité, ordonnez les racines réelles et testez le signe dans chaque intervalle. Incluez les bornes uniquement pour ≤ ou ≥. Une parabole orientée vers le haut est négative entre deux racines réelles distinctes et positive à l'extérieur.
Utilisez la substitution dans la relation originale pour vérifier les valeurs candidates. Une question sur les coefficients développés peut nécessiter de combiner plusieurs contributions à la même puissance. Un polynôme de degré trois ne nécessite pas nécessairement la formule cubique générale : un facteur commun ou une racine connue peuvent le réduire à des facteurs plus simples. Choisissez la méthode selon la structure.
Une identité est vraie pour toute entrée autorisée. Commencez par $ax+b=cx+d$. Regroupez les termes : $(a-c)x=d-b$. Examinez $a-c$ avant de diviser. Si $a=c$ et $b=d$, toute valeur réelle fonctionne. Si seulement $a=c$, aucune valeur ne fonctionne. Sinon, $x=(d-b)/(a-c)$ donne une solution.
Exemple résolu. x²-5x+6=(x-2)(x-3), donc x²-5x+6<0 donne 2<x<3. x³-4x=x(x-2)(x+2), donnant les racines -2,0,2. L'expression 2(x-3)²+5 a un minimum de 5 à x=3. Dans (2x+1)(x-4), le coefficient de x est -8+1=-7.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Résolvez $x^3-9x=0$ et $(x+2)(x-5)\ge0$. Expliquez pourquoi diviser le polynome de degré trois par $x$ au début fait perdre une solution.
Raisonnement. Factoriser $x(x-3)(x+3)=0$, donnant $-3,0,3$. Diviser par $x$ supprime incorrectement la racine zéro autorisée. Pour l'inégalité, les racines sont $-2,5$ ; le produit est non négatif à l'extérieur des racines, incluant les extrémités, donc $x\le-2$ ou $x\ge5$.
Pratique 2
Écrivez $2x^2-12x+23$ sous forme canonique et indiquez son minimum. Trouvez le coefficient de $x$ dans $(2x-3)(x+4)$.
Raisonnement. La complétion du carré donne $2(x-3)^2+5$, avec un minimum de 5 à $x=3$. Le développement du produit est $2x^2+5x-12$, donc le coefficient est 5.
Pratique 3
Une imprimante facture 25 yuan pour la préparation d'un travail et 0.40 yuan par page. Écrivez la charge totale pour $n$ pages et résolvez l'inégalité budgétaire de 65 yuan pour des pages entières. Comparez cela avec l'expression de l'aire d'un rectangle aux côtés $x$ et $x+3$ mètres.
Raisonnement. $C=f+pn=25\,\mathrm{yuan}+(0.40\,\mathrm{yuan/page})(n\,\mathrm{pages})$. Un budget de $25+0.40n\le65$ donne $0\le n\le100$, avec un entier $n$. La charge est affine linéaire en $n$. Le rectangle a $A=x(x+3)=x^2+3x$ mètres carrés pour des longueurs numériques en mètres et $x>0$ ; la multiplication de deux longueurs variables crée un quadratique, plutôt qu'un frais fixe plus un taux.
Limites et prochaine utilisation
N'oubliez pas un facteur extrait, incluez une limite d'inégalité stricte, ou rapportez une coordonnée x de sommet lorsque la question demande la valeur minimale.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.