Champ d'application et prérequis
Cadre ACT, révision de février 2026. Les cas de classe ici ne constituent pas une forme officielle ACT.
- Appliquer le nombre et la quantité, l'algèbre et les fonctions
- Utiliser la géométrie analytique, euclidienne et trigonométrique
- Interpréter les statistiques, les probabilités et les modèles de compétences essentielles
Prérequis : Loi distributive ; racines principales ; $i^2=-1$.
Expliquer et choisir la méthode
La préparation aux mathématiques supérieures couvre les nombres, l'algèbre, les fonctions, la géométrie et les statistiques/probabilités. Les compétences essentielles combinent les taux, les unités et les proportions.
Pour une fonction, suivre l'entrée et la sortie. La composition applique d'abord la fonction intérieure.
La géométrie analytique relie les pentes, les distances et les équations. Les rapports du triangle rectangle nécessitent le bon angle de référence.
Modéliser un contexte avec des hypothèses énoncées, puis vérifier si le résultat est cohérent. Une calculatrice facilite les calculs mais ne peut pas choisir de modèle pour vous.
Un conjugué complexe change le signe imaginaire. $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ pour réel $a,b$. Ainsi $(2+i)/(2-i)=(2+i)^2/5=(3+4i)/5$. Le dénominateur est non nul ; distinguer une valeur exacte de son approximation décimale.
Exemple résolu. Si f(x)=2x+1 et g(x)=x², alors f(g(3))=f(9)=19. Mais g(f(3))=g(7)=49. L'ordre compte. Pour une vérification de probabilité, deux lancers indépendants de pièce équitable donnent P(deux faces)=1/2×1/2=1/4.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Cet aperçu présente les compétences. Chacune dispose de sa propre fiche et de son feuille d’exercices : 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 et 18. Travaillez-les dans cet ordre.
Entraînement 1
Calculer $(3-2i)/(1+i)$ sous la forme $a+bi$.
Raisonnement. Multiplier les deux parties par $1-i$. Le numérateur est $(3-2i)(1-i)=3-5i+2i^2=1-5i$. Le dénominateur est 2. La réponse est $1/2-(5/2)i$. En multipliant à nouveau par $1+i$, on obtient $3-2i$.
Pratique 2
Évaluer $32^{2/5}$ et $\sqrt{(-7)^2}$. Résoudre $z^2+16=0$ sur les nombres complexes.
Raisonnement. La racine cinquième de 32 est 2, donc $32^{2/5}=2^2=4$. La racine carrée principale est $|-7|=7$. Pour l'équation, $z^2=-16$ donne $z=4i,-4i$, tous deux non réels.
Pratique 3
Donner un exemple montrant que le produit de deux nombres irrationnels peut être rationnel, et un où il est irrationnel.
Raisonnement. $\sqrt2\sqrt2=2$ est rationnel. $\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$ est irrationnel. Ni la clôture ni la non-clôture pour tous les produits ne découlent uniquement du libellé « irrationnel ».
Entraînement 4
Classez $\sqrt{50}$ et $\sqrt{50}\sqrt2$ comme rationnels ou irrationnels. Évaluez $32^{2/5}$ et $2^{-3}$. Utilisez $\sqrt2$ et $-\sqrt2$ pour vérifier si la somme de nombres irrationnels est nécessairement irrationnelle.
Raisonnement. $\sqrt{50}=5\sqrt2$ est irrationnel, tandis que $\sqrt{50}\sqrt2=\sqrt{100}=10$ est rationnel. $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$ et $2^{-3}=1/2^3=1/8$. La somme de deux nombres irrationnels peut être nulle, ce qui est rationnel ; les nombres irrationnels ne sont pas stables par addition. Ces produits à racines paires utilisent des radicandes réels non négatifs.
Limites et prochaine utilisation
Les maths ACT améliorées utilisent quatre choix de réponse. Un ancien élément à cinq choix peut enseigner une compétence, mais ne doit pas définir le rythme actuel du test.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.