Champ d'application et prérequis
Cadre ACT, révision de février 2026. Les cas de classe ici ne constituent pas une forme officielle ACT.
- Distinuer les nombres rationnels et irrationnels sans supposer que leurs sommes conservent leur type
- Appliquer les règles des exposants et des radicaux sur le domaine autorisé
- Calculer avec des nombres complexes en utilisant i²=-1 et les conjugués
Prérequis : Loi distributive ; racines principales ; $i^2=-1$.
Expliquer et choisir la méthode
Un nombre rationnel est un rapport d'entiers avec un dénominateur non nul ; une décimale finie ou périodique est rationnelle. Un nombre réel irrationnel n'est pas un tel rapport. La stabilité des nombres rationnels sous l'addition et la multiplication n'implique pas celle des nombres irrationnels. Les racines exactes peuvent se simplifier : √18=3√2 reste irrationnel, tandis que √16=4 est rationnel.
Pour une base positive, a^(m/n) combine une racine n-ième et une puissance entière. Un exposant négatif forme un réciproque et nécessite une base non nulle. Distinuer √(x²)=|x| de x. Lorsqu'une racine paire est impliquée, respecter le domaine réel et la racine principale non négative. Distribuer les puissances sur les produits, pas sur les sommes : (a+b)² inclut le terme croisé.
L'arithmétique complexe utilise i²=-1. Additionner les parties réelles et imaginaires séparément, et multiplier par distribution avant de réduire i². Pour diviser par a+bi, multiplier le numérateur et le dénominateur par a-bi ; le dénominateur résultant est a²+b² lorsque l'original est non nul. Les racines complexes permettent des solutions à des équations telles que x²=-9 qui n'ont pas de racines réelles.
L'ACT amélioré inclut toujours certains sujets avancés sélectionnés, et aucune feuille de formules n'est fournie. Développer la familiarité avec les règles définissantes plutôt que de deviner à partir de l'affichage d'une calculatrice. Vérifier si la question demande des solutions réelles ou complexes, une racine exacte ou une approximation décimale. Les vérifications locales ici sont formatives, pas une version officielle cotée.
Un conjugué complexe change le signe imaginaire. $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ pour réel $a,b$. Ainsi $(2+i)/(2-i)=(2+i)^2/5=(3+4i)/5$. Le dénominateur est non nul ; distinguer une valeur exacte de son approximation décimale.
Exemple résolu. 16^(3/4)=2³=8. (2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i. Pour (1+i)/(1-i), multiplier par 1+i donne (1+i)²/2=2i/2=i. Les solutions de x²+9=0 sont ±3i ; aucune n'est réelle.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Calculer $(3-2i)/(1+i)$ sous la forme $a+bi$.
Raisonnement. Multiplier les deux parties par $1-i$. Le numérateur est $(3-2i)(1-i)=3-5i+2i^2=1-5i$. Le dénominateur est 2. La réponse est $1/2-(5/2)i$. En multipliant à nouveau par $1+i$, on obtient $3-2i$.
Pratique 2
Évaluer $32^{2/5}$ et $\sqrt{(-7)^2}$. Résoudre $z^2+16=0$ sur les nombres complexes.
Raisonnement. La racine cinquième de 32 est 2, donc $32^{2/5}=2^2=4$. La racine carrée principale est $|-7|=7$. Pour l'équation, $z^2=-16$ donne $z=4i,-4i$, tous deux non réels.
Pratique 3
Donner un exemple montrant que le produit de deux nombres irrationnels peut être rationnel, et un où il est irrationnel.
Raisonnement. $\sqrt2\sqrt2=2$ est rationnel. $\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$ est irrationnel. Ni la clôture ni la non-clôture pour tous les produits ne découlent uniquement du libellé « irrationnel ».
Entraînement 4
Classez $\sqrt{50}$ et $\sqrt{50}\sqrt2$ comme rationnels ou irrationnels. Évaluez $32^{2/5}$ et $2^{-3}$. Utilisez $\sqrt2$ et $-\sqrt2$ pour vérifier si la somme de nombres irrationnels est nécessairement irrationnelle.
Raisonnement. $\sqrt{50}=5\sqrt2$ est irrationnel, tandis que $\sqrt{50}\sqrt2=\sqrt{100}=10$ est rationnel. $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$ et $2^{-3}=1/2^3=1/8$. La somme de deux nombres irrationnels peut être nulle, ce qui est rationnel ; les nombres irrationnels ne sont pas stables par addition. Ces produits à racines paires utilisent des radicandes réels non négatifs.
Limites et prochaine utilisation
Ne pas déduire que deux termes irrationnels doivent avoir une somme irrationnelle, distribuer un carré sur une addition, ou remplacer √(x²) par x lorsque x peut être négatif.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.