Capacité

Un condensateur 电容器 stocke la charge. Le plus simple est formé de deux plaques conductrices 导体 parallèles avec un isolant 绝缘体 (un diélectrique 电介质, ou simplement vide 真空 / air) entre elles. Connecté à une pile, une charge $+Q$ s'accumule sur une plaque et $-Q$ sur l'autre, avec une différence de potentiel 电势差 $V$ aux bornes.

Comment les plaques se chargent. Connectez les plaques à une pile et les électrons circulent, via la pile, de la plaque reliée à la borne positif 接线端 vers la plaque reliée à la borne négative. Une plaque se retrouve avec une charge $+Q$ et l'autre acquiert $-Q$ : les charges sont toujours égales et opposées, donc le condensateur dans son ensemble reste neutre. Le flux s'arrête lorsque la p.d. entre les plaques est égale à la f.e.m. de la pile. Rien ne traverse l'espace ; c'est l'isolant qui maintient la séparation des charges.

La capacité 电容 $C$ de tout condensateur (ou tout conducteur isolé) est

Cela s'applique à :

• une sphère isolée portant une charge $Q$ à un potentiel $V$ (nul à l'infini). Pour un rayon $r$, $V = Q/(4\pi\varepsilon_{0}r)$, donc $C = 4\pi\varepsilon_{0} r$.
• non condensateur à plaques parallèles : charges $\pm Q$ sur les plaques, p.d. $V$ entre elles.

Unité : farad 法拉 (F) $= \text{C V}^{-1}$. Un farad est très grand, donc les vrais condensateurs varient de $\text{pF}$ à $\text{mF}$.

La capacité est constante pour un condensateur donné (déterminée par sa taille et son diélectrique). Doubler la charge double la tension, donc $C = Q/V$ reste inchangé.

Les définitions à deux points. Pour un condensateur à plaques parallèles : la charge sur une plaque par unité de différence de potentiel entre les plaques. Pour une sphère isolée (ou tout conducteur isolé) : la charge sur le conducteur par unité de potentiel. L'examinateur attend "charge par unité de p.d." (ou "par unité de potentiel") et, pour les plaques, que la charge soit celle d'une plaque et que la p.d. soit celle entre les plaques. "La charge stockée" est accepté ; "la charge totale sur les deux plaques" ne l'est pas, car cette totale est nulle.

Ce qui détermine la capacité. Pour les plaques parallèles, la capacité est proportionnelle à la surface des plaques et inversement proportionnelle à l'écartement $x$ ($C \propto 1/x$ : réduire l'écart de moitié double la capacité), et elle augmente lorsqu'un diélectrique remplace l'air. Une question qui énonce "$C$ est inversement proportionnel à $x$" puis éloigne les plaques à charge constante demande $V = Q/C \propto x$ : la p.d. augmente proportionnellement. À p.d. constante (toujours connecté à l'alimentation), c'est la charge qui diminue.

Exemple résolu. Un condensateur de $100\ \mu\text{F}$ est chargé jusqu'à $12\ \text{V}$. Trouver la charge stockée.

Exemple résolu. Une sphère métallique isolée de rayon $15\ \text{cm}$ est chargée à un potentiel de $9.0 \times 10^{3}\ \text{V}$. Trouver sa capacité et sa charge. Elle est ensuite déchargée vers la terre via une résistance de $120\ \text{M}\Omega$ : trouver la constante de temps de la décharge.

La constante de temps est $RC = (1.2 \times 10^{8})(1.67 \times 10^{-11}) = 2.0 \times 10^{-3}\ \text{s}$ : même à travers une résistance énorme, la sphère perd sa charge en millisecondes, car sa capacité est si faible. Remarquez que $4\pi\varepsilon_{0} = 1/(8.99 \times 10^{9})$, donc $C = r/(8.99 \times 10^{9})$ avec $r$ en mètres.

Combiner les condensateurs

Condensateurs en parallèle partagent la même p.d. $V$. La charge totale est la somme :

Une association parallèle a une capacité plus grande que chacun des condensateurs individuels.

Condensateurs en série transportent la même charge $Q$. La p.d. totale est la somme :

Une association en série a une capacité plus petite que chacun des condensateurs individuels.

Note : ces règles sont l'inverse de celles pour les résistances (les résistances s'additionnent en série ; les condensateurs s'additionnent en parallèle), car $C = Q/V$ a $V$ en bas tandis que $R = V/I$ a $I$ en bas.

Dériver les deux règles

"Dérivez une expression pour la capacité combinée" est une question de montrer que, et la grille d'évaluation veut que la physique soit expliquée, pas seulement l'algèbre.

• Série. Les condensateurs transportent la même charge $Q$ : la plaque reliée à la borne positive perd des électrons vers la plaque lointaine du condensateur suivant, donc chaque plaque dans la chaîne porte $\pm Q$. Les p.d. s'additionnent : $V = V_{1} + V_{2}$. Avec $V_{1} = Q/C_{1}$ et $V_{2} = Q/C_{2}$, et l'association définie par $V = Q/C$, diviser tout par $Q$ donne $1/C = 1/C_{1} + 1/C_{2}$.
• Parallèle. Les condensateurs ont la même p.d. $V$, car chacun est connecté directement aux bornes de l'alimentation. Les charges s'additionnent : $Q = Q_{1} + Q_{2} = C_{1}V + C_{2}V$, et $Q = CV$ pour l'association, donc $C = C_{1} + C_{2}$.

Deux condensateurs en série donnent toujours moins que le plus petit ; deux condensateurs identiques $C$ donnent $C/2$ en série et $2C$ en parallèle.

Exemple résolu. Un condensateur de $6.0\ \mu\text{F}$ est en série avec une paire parallèle de $2.0\ \mu\text{F}$ et $4.0\ \mu\text{F}$. Trouver la capacité totale, et la charge sur chaque condensateur quand $12\ \text{V}$ est appliqué au réseau.

Paire parallèle : $2.0 + 4.0 = 6.0\ \mu\text{F}$. En série avec $6.0\ \mu\text{F}$ : $1/C = 1/6.0 + 1/6.0$, donc $C = 3.0\ \mu\text{F}$. Charge totale $Q = CV = (3.0 \times 10^{-6})(12) = 3.6 \times 10^{-5}\ \text{C}$ : c'est la charge sur le condensateur $6.0\ \mu\text{F}$ (série, même charge), et elle est partagée par la paire parallèle dans le rapport de leurs capacités (même p.d., $6.0\ \text{V}$ sur chacune) : le condensateur $2.0\ \mu\text{F}$ porte $1.2 \times 10^{-5}\ \text{C}$ et le condensateur $4.0\ \mu\text{F}$ porte $2.4 \times 10^{-5}\ \text{C}$. Vérification : ils s'additionnent à $3.6 \times 10^{-5}\ \text{C}$.

Exemple résolu. Les condensateurs X et Y, chacun de capacité $C$, sont connectés en série aux bornes d'une alimentation de tension $V$ ; les condensateurs P et Q, chacun de $C$, sont connectés en parallèle aux bornes d'une alimentation identique. Comparer la charge prélevée par chaque alimentation et l'énergie stockée dans chaque montage.

Série : $C_{\text{s}} = C/2$, charge $Q_{\text{s}} = CV/2$, énergie $\tfrac{1}{2} C_{\text{s}} V^{2} = CV^{2}/4$. Parallèle : $C_{\text{p}} = 2C$, charge $2CV$, énergie $CV^{2}$. Le montage parallèle prélève quatre fois la charge et stocke quatre fois l'énergie, car à la même tension d'alimentation, l'énergie est $\tfrac{1}{2} C V^{2}$ et la capacité est quatre fois plus grande. On demande quel montage stocke plus d'énergie à partir d'une alimentation donnée, la réponse est toujours le parallèle.

Charger un condensateur de $0$ à $Q$ nécessite un travail, car chaque portion supplémentaire de charge est repoussée contre la p.d. déjà présente. Quand la charge est $q$, la p.d. est $V(q) = q/C$, donc ajouter une petite charge $dq$ nécessite un travail $V\,dq$. Le travail total est

En utilisant $V = Q/C$, c'est l'énergie 能量 stockée :

Exemple résolu. Trouver l'énergie stockée dans un condensateur de $100\ \mu\text{F}$ chargé à $12\ \text{V}$.

Exemple résolu. Le graphique de la charge $Q$ en fonction de la p.d. $V$ pour un condensateur est une droite passant par l'origine passant par $(10\ \text{V},\ 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C})$. Trouver la capacité et l'énergie stockée à $10\ \text{V}$, puis l'énergie supplémentaire stockée quand la p.d. est augmentée à $12\ \text{V}$.

Le gradient de $Q$ par rapport à $V$ est $C = 1.2 \times 10^{-3}/10 = 1.2 \times 10^{-4}\ \text{F} = 120\ \mu\text{F}$. L'énergie est l'aire sous la courbe : $\tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}(1.2 \times 10^{-3})(10) = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$. À $12\ \text{V}$ : $\tfrac{1}{2}CV^{2} = \tfrac{1}{2}(1.2 \times 10^{-4})(12)^{2} = 8.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$, donc l'énergie supplémentaire est $2.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$. Ne trouvez pas l'énergie supplémentaire à partir de la charge supplémentaire comme $\tfrac{1}{2}(\Delta Q)V$ : l'énergie n'est pas proportionnelle à la charge, donc soustrayez les deux aires.

Lire le graphique $Q$–$V$

Un graphique de $V$ par rapport à $Q$ est une droite passant par l'origine avec un gradient $1/C$. L'énergie stockée est l'aire sous la courbe jusqu'à une charge donnée $Q$, qui est le triangle $\tfrac{1}{2} Q V$. Le facteur $\tfrac{1}{2}$ est là parce que la p.d. moyenne pendant la charge est $V/2$ (elle passe de zéro à $V$), pas $V$.

Pourquoi la charge est « à moitié efficace »

Connecter un condensateur $C$ à une source idéale de f.é.m. $V$ par un fil. Le condensateur stocke $\tfrac{1}{2} C V^{2}$, mais la source fournit la charge $Q = CV$ à la f.é.m. $V$, délivrant $QV = CV^{2}$. L'autre moitié est perdue sous forme de chaleur dans le fil — quelle que soit sa résistance.

Répartition de la charge entre condensateurs

Un condensateur X entièrement chargé (capacitance $C$, p.d. $V$, charge $Q = CV$) est déconnecté de son alimentation et connecté en parallèle avec un condensateur Y non chargé de capacitance $3C$. La charge circule jusqu'à ce que les deux p.d. soient égales. Deux principes régissent tout :

1. La charge est conservée. La charge totale reste encore $Q$, maintenant répartie sur une association parallèle d'une capacitance totale $4C$, donc la p.d. commune est $V' = Q/(4C) = V/4$. X conserve $Q/4$ et Y reçoit $3Q/4$ (la charge se partage proportionnellement aux capacitances, puisque la p.d. est la même).
2. L'énergie n'est pas conservée. Avant : $\tfrac{1}{2} C V^{2}$. Après : $\tfrac{1}{2}(4C)(V/4)^{2} = \tfrac{1}{8} C V^{2}$. Trois quarts de l'énergie ont disparu : elle est dissipée 耗散 sous forme de chaleur dans les fils de connexion (et sous forme d'étincelle ou de rayonnement électromagnétique) pendant que la charge circule, quelle que soit la faible résistance.

Exemple résolu. Un condensateur $220\ \mu\text{F}$ chargé à $9.0\ \text{V}$ est connecté en parallèle avec un condensateur non chargé $440\ \mu\text{F}$. Trouver la p.d. finale et l'énergie perdue.

$Q = CV = (220 \times 10^{-6})(9.0) = 1.98 \times 10^{-3}\ \text{C}$ ; capacité totale $660\ \mu\text{F}$, donc $V' = 1.98 \times 10^{-3}/(660 \times 10^{-6}) = 3.0\ \text{V}$. Énergie avant : $\tfrac{1}{2}(220 \times 10^{-6})(9.0)^{2} = 8.9 \times 10^{-3}\ \text{J}$ ; après : $\tfrac{1}{2}(660 \times 10^{-6})(3.0)^{2} = 3.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$ ; perdue : $5.9 \times 10^{-3}\ \text{J}$, deux tiers de l'originale. Un condensateur connecté à un autre de capacité $kC$ perd toujours la fraction $k/(k+1)$.

Un condensateur $C$ chargé à $V_{0}$ est connecté via un interrupteur à une résistance 电阻器 de résistance 电阻 $R$. Lorsque l'interrupteur se ferme à $t = 0$, le condensateur se décharge.

Établir l'équation

Selon la deuxième loi de Kirchhoff 基尔霍夫第二定律 autour du circuit, $V_{C} = V_{R}$. En utilisant $V_{C} = Q/C$, $V_{R} = IR$ et $I = -dQ/dt$ :

Ceci se résout par une décroissance exponentielle 指数衰减 avec constante de temps $RC$.

Équations de décharge

La charge $Q$, la p.d. $V$ et le courant $I$ décroissent tous exponentiellement avec la même constante de temps :

avec $I_{0} = V_{0}/R$.

Lire les trois graphiques. Les trois courbes ont la même allure et la même constante de temps, donc une mesure de $\tau$ sur l'une quelconque donne $RC$. Le courant est maximal à l'instant où l'interrupteur se ferme, $I_{0} = V_{0}/R$, car la pleine p.d. $V_{0}$ est alors aux bornes de la résistance ; il diminue lorsque la p.d. diminue. L'aire sous le graphique $I$–$t$ correspond à la charge écoulée, donc l'aire totale est $Q_{0} = CV_{0}$, et la charge qui circule durant la première constante de temps est $Q_{0}(1 - e^{-1}) = 0.63\,Q_{0}$. La pente du graphique $Q$–$t$ est $-I$ : la plus raide au début, elle s'aplatit lorsque le courant s'estompe. (Pendant la charge à travers une résistance, le courant a la même allure décroissante, tandis que $V$ et $Q$ augmentent comme $V_{0}(1 - e^{-t/RC})$, l'image miroir de la courbe de décharge.)

Constante de temps

est la constante de temps 时间常数 (en secondes : $\Omega \cdot \text{F} = \text{s}$). C'est le temps nécessaire pour qu'une quantité décroissante chute à $1/e \approx 0.37$ (environ 37%) de sa valeur initiale. Après $2\tau$, elle est d'environ 13.5% ; après $5\tau$, elle est inférieure à 1%.

Exemple résolu. Un condensateur $100\ \mu\text{F}$ chargé à $12\ \text{V}$ se décharge à travers une résistance $47\ \text{k}\Omega$. Trouver la constante de temps et la tension après une constante de temps.

Après une constante de temps, la tension chute à $1/e$ de sa valeur initiale : $V = 12 \times 0.37 \approx 4.4\ \text{V}$.

Exemple résolu. Un condensateur $470\ \mu\text{F}$ est chargé à $24\ \text{V}$ puis déchargé à travers une résistance $5.6\ \text{k}\Omega$. Trouver (a) la charge et l'énergie initiales, (b) la constante de temps et le courant initial, (c) la p.d. après $4.0\ \text{s}$, (d) le temps pour que la p.d. chute à $6.0\ \text{V}$.

(a) $Q_{0} = CV_{0} = (470 \times 10^{-6})(24) = 1.1 \times 10^{-2}\ \text{C}$; $W = \tfrac{1}{2}CV_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}(470 \times 10^{-6})(24)^{2} = 0.135\ \text{J}$. (b) $\tau = RC = (5.6 \times 10^{3})(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$; $I_{0} = V_{0}/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$. (c) $V = V_{0} e^{-t/RC} = 24\, e^{-4.0/2.63} = 24 \times 0.219 = 5.3\ \text{V}$. (d) Réarranger avec des logarithmes : $t = -RC \ln(V/V_{0}) = -2.63 \ln(6.0/24) = 2.63 \times 1.386 = 3.6\ \text{s}$.

Garder la constante de temps sans arrondir ($2.632\ \text{s}$) dans le calcul et arrondir uniquement les réponses. Le réarrangement en (d) est celui le plus souvent demandé et souvent mal résolu : $\ln(V/V_{0})$ est négatif, donc $t$ sort positif.

Exemple résolu. D'après un graphique de décharge, la p.d. aux bornes d'un condensateur $2200\ \mu\text{F}$ passe de $6.0\ \text{V}$ à $2.2\ \text{V}$ en $4.5\ \text{s}$. Trouver la résistance de la résistance.

$2.2/6.0 = 0.367 \approx 1/e$, donc $4.5\ \text{s}$ est une constante de temps : $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{3}\ \Omega$. Si la chute ne va pas jusqu'à $1/e$, utiliser $RC = -t/\ln(V/V_{0})$ ; la réponse est la même dans les deux cas.

Pour trouver $\tau$ à partir d'une courbe : lire le temps pour atteindre $1/e$ de la valeur initiale. Ou prendre les logarithmes : $\ln(V/V_{0}) = -t/(RC)$, donc un tracé de $\ln V$ contre $t$ est une droite de pente $-1/(RC)$.

Utiliser le graphique logarithmique. Lors d'une expérience, tracer $\ln V$ (ou $\ln I$) sur l'axe $y$-source contre $t$. Les points doivent former une droite : sa pente est $-1/(RC)$, donc $RC = -1/\text{gradient}$, et son ordonnée à l'origine 截距 sur l'axe $\ln V$ est $\ln V_{0}$. Une droite est le test que la décroissance est bien exponentielle ; une courbe signifie qu'elle ne l'est pas. Prendre la pente à partir de deux points éloignés sur la droite de tendance, pas à partir de deux points de données, et indiquer $RC$ en secondes.

Lire les graphiques lors de la décharge

• $Q$ contre $V_{C}$ : comme $Q = C V$ toujours, c'est une droite passant par l'origine de pente $C$. La décharge fait passer le point de $(V_{0}, Q_{0})$ vers le bas jusqu'à $(0,0)$.
• $I$ contre $V_{C}$ : comme $I = V_{C}/R$, c'est une droite passant par l'origine de pente $1/R$, donc on peut trouver $R$.

Questions d'examen courantes

Étant donné une courbe de décharge $V(t)$ ou $Q(t)$ :

• lire la valeur initiale $V_{0}$ ou $Q_{0}$ à $t = 0$.
• lire le temps pour atteindre $V_{0}/e$ → constante de temps $\tau = RC$.
• étant donné $R$, trouver $C = \tau / R$ (ou l'inverse).
• prédire une valeur ultérieure avec la formule exponentielle.

Un condensateur comme composant lisseur

Un redresseur 整流器 (Sujet 21) convertit une tension alternative en une série de bosses positives. Un condensateur connecté en parallèle avec la charge les lisse. Près de chaque sommet 峰值, les diodes conduisent et le condensateur se charge à la tension maximale ; lorsque la tension d'alimentation baisse, les diodes cessent de conduire et le condensateur se décharge à travers la résistance de charge, maintenant la sortie élevée jusqu'à ce que la bosse suivante dépasse celle-ci et recharge le condensateur. La chute de la sortie est donc faible entre les sommets ; l'élévation et la chute restantes constituent l'ondulation 纹波.

L'ampleur de la chute dépend de la constante de temps de la décharge, $RC$, par rapport au temps entre les sommets. Une capacitance plus grande, ou une résistance de charge plus grande (un courant de charge plus petit), donne une constante de temps $RC$ plus grande, une décroissance plus lente et une ondulation plus faible ; une alimentation fortement chargée (petite $R$) présente une ondulation plus importante. On demande de dessiner la sortie lissée : la faire toucher chaque sommet, décroître légèrement entre eux, et ne jamais atteindre zéro.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• $C = Q/V$ définit la capacitance ; pour une sphère isolée $C = 4\pi\varepsilon_{0} r$. Énergie stockée $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2} = Q^{2}/2C$ : choisir la forme qui utilise ce que vous connaissez, et se souvenir que l'énergie n'est pas proportionnelle à la charge.
• Combiner les condensateurs à l'inverse des résistances (parallèle s'additionne, série inverse), et réduire un réseau étape par étape.
• Partage de charge : la charge est conservée, l'énergie ne l'est pas. Trouver la p.d. commune à partir de la charge totale et de la capacitance totale d'abord, puis les énergies.
• Décharge : $x = x_{0} e^{-t/RC}$ pour $Q$, $V$ et $I$ identiques ; $t = -RC \ln(x/x_{0})$ ; $\tau = RC$ est en secondes ($\Omega \cdot \text{F} = \text{s}$) et est le temps pour tomber à $37\%$, pas à zéro.
• Graphiques : le courant initial est $V_{0}/R$ ; l'aire sous $I$–$t$ est la charge ; la pente de $Q$–$t$ est $-I$ ; $\ln V$ contre $t$ est une droite de pente $-1/(RC)$ et ordonnée à l'origine $\ln V_{0}$.
• Convertir $\mu\text{F}$ et $\text{k}\Omega$ avant de multiplier : $\text{k}\Omega \times \mu\text{F}$ donne des millisecondes, pas des secondes.

Erreurs courantes

• Définir la capacité comme "la charge stockée" ou "la charge sur les deux plaques". C'est la charge sur une plaque par unité de p.d. entre les plaques.
• Ajouter des condensateurs en série comme s'ils étaient des résistances, ou oublier d'inverser la somme des inverses à la fin.
• Après le partage de charge, utiliser la tension de l'alimentation dans $\tfrac{1}{2}CV^{2}$ au lieu de la nouvelle p.d. commune, ou affirmer que l'énergie est conservée.
• Tracer le courant de décharge en partant de zéro. Il commence à sa valeur maximale, $V_{0}/R$.
• Traiter $\tau$ comme le temps de décharge complète ; après $5\tau$, il reste environ $1\%$.
• Omettre le signe moins dans $t = -RC \ln(V/V_{0})$ et rapporte un temps négatif.
• Trouver l'énergie supplémentaire lors de l'augmentation de la p.d. par la seule charge supplémentaire : soustraire deux aires (ou deux valeurs de $\tfrac{1}{2}CV^{2}$).
• Esquisser une sortie lissée qui retombe à zéro entre les pics, ou dire qu'une résistance de charge plus grande donne une ondulation plus grande.