Champs électriques

Un champ électrique 电场 est une région où une charge subit une travail 力 provenant d'autres charges. La puissance du champ électrique 电场强度 $E$ en un point est la force par unité de charge positive exercée sur une petite charge positive de test 检验电荷 placée à cet endroit :

Unité : $\text{N C}^{-1}$ (la même que $\text{V m}^{-1}$, comme nous le verrons). $E$ est un vecteur 矢量, pointant dans la direction de la force agissant sur une charge positif. La force sur une charge $q$ est

opposée au champ si $q$ est négatif.

La définition sur deux points. La puissance du champ électrique en un point est la force par unité de charge positive agissant sur une petite (de test) charge placée à cet endroit. Trois mots portent les points : force par unité de charge (pas « force sur une charge »), positif (ce qui fixe la direction), et petite ou de test (pour que la charge ne perturbe pas le champ qu'elle mesure). La version à choix multiples propose « force par unité de charge agissant sur une petite masse » et « force par unité de masse » comme leurres : un champ est défini par une charge, jamais par une masse.

Exemple résolu. Un proton accélère à $2.00\ \text{m s}^{-2}$ dans un champ électrique, sans autre force agissant. Trouvez la puissance du champ. ($m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

$qE = ma$, donc

Le même réarrangement dans l'autre sens donne l'accélération d'un électron dans un champ de $1500\ \text{V m}^{-1}$ : $a = eE/m_{\text{e}} = (1.60 \times 10^{-19})(1500)/(9.11 \times 10^{-31}) = 2.6 \times 10^{14}\ \text{m s}^{-2}$, énorme car la masse de l'électron est si petite. La gravité ($9.81\ \text{m s}^{-2}$) est négligeable face à elle, c'est pourquoi les questions d'examen sur les électrons entre plaques ignorent le poids.

Lignes de champ

• les lignes de champ 场线 indiquent la direction de la force agissant sur une charge positive de test.

• les lignes partent des charges positives et se terminent sur les charges négatives (ou vont à l'infini).

• les lignes ne se croisent jamais ; des lignes plus rapprochées signifient un champ plus fort.

• chaque ligne porte une flèche ; les lignes rencontrent la surface d'un conducteur à angle droit.

Ce qu'une ligne de champ représente. On vous demande « indiquez ce qu'une ligne de champ électrique représente », donnez les deux moitiés : sa direction montre la direction de la force sur une charge positif placée là, et l'espacement des lignes montre la puissance du champ (lignes plus proches, champ plus fort). Un croquis est noté exactement selon ces points : flèches dessinées, lignes ne se croisant pas, espacement uniforme où le champ est uniforme, et lignes radiales pour une charge ponctuelle ou une sphère.

Exemples : une charge ponctuelle positif 点电荷 a des lignes radiales pointant vers l'extérieur ; une charge négative a des lignes pointant vers l'intérieur ; deux charges opposées (un dipôle 偶极子) ont des lignes courbant de + à − ; deux plaques chargées parallèles donnent un champ uniforme 匀强场 de lignes parallèles également espacées.

Sphère conductrice chargée

La charge sur un conducteur 导体 isolé 孤立的 repose sur sa surface extérieure, répartie uniformément lorsque la sphère est seule. À l'extérieur de la sphère, les lignes de champ sont radiales, uniformément espacées et pointent vers l'extérieur (pour une charge positive), exactement le motif d'une charge ponctuelle au centre. À l'intérieur d'un conducteur creux (ou plein), le champ est nul : les champs de toutes les charges de surface s'annulent partout à l'intérieur, donc aucune ligne de champ n'entre. Deux graphiques suivent, et tous deux sont des favoris des examens. La puissance du champ $E$ est nulle jusqu'au rayon $R$, saute à sa valeur de surface $E_0$ et ensuite chute comme $1/r^{2}$ ; le potentiel $V$ est constante à l'intérieur (un champ nul signifie un gradient de potentiel nul) et ensuite chute comme $1/r$.

Lire les graphiques. Étant donné un graphique $E$–$x$ pour une sphère chargée, le rayon est la distance à laquelle $E$ saute de zéro, et la charge provient de n'importe quel point sur la courbe : $Q = 4\pi\varepsilon_{0} r^{2} E$. Étant donné « $E_0$ à la surface », la valeur à $2R$ est $E_0/4$ et à $3R$ est $E_0/9$ : esquissez la courbe passant par ces points, en commençant à $E_0$ sur la ligne de surface, jamais depuis l'origine.

Entre deux plaques parallèles séparées d'une distance $d$ avec une différence de potentiel 电势差 $V$ entre elles, le champ est uniforme (à part les effets de bord) avec une intensité de

Il pointe de la plaque au potentiel le plus élevé vers celle au potentiel le plus bas. L'unité $\text{V m}^{-1}$ en découle directement et vaut $\text{N C}^{-1}$.

Exemple résolu. Deux plaques parallèles séparées par une distance $5.0\ \text{mm}$ ont une différence de potentiel (d.p.) de $200\ \text{V}$ entre elles. Calculez l'intensité du champ et la force exercée sur un électron dans l'espace interplaques. ($e = 1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

Qu'est-ce qui modifie le champ ? Deux choses seulement : $E = V/d$ augmente si la différence de potentiel est augmentée ou si les plaques sont rapprochées plus près. Une résistance en série avec l'alimentation ne change rien : aucun courant ne circule une fois les plaques chargées, donc il n'y a pas de différence de potentiel aux bornes de la résistance et les plaques sont à la pleine tension d'alimentation. Entre les plaques à $+800\ \text{V}$ et $+1300\ \text{V}$, le champ pointe du potentiel plus élevé vers le plus bas ; deux potentiels positifs ne changent rien à la règle de direction.

Particule chargée dans un champ uniforme

Une charge $q$ dans un champ uniforme subit une force constante $F = qE$, donc une accélération constante $a = qE/m$ — tout comme une masse dans un champ gravitationnel uniforme.

• lancée au repos, elle accélère le long du champ (charge positive) ou à l'opposé (charge négative), gagnant de l'énergie cinétique 动能.
• entrant perpendiculairement au champ, elle suit une trajectoire parabolique 抛物线 — comme un projectile 抛体 sous l'effet de la gravité. C'est ainsi qu'un tube cathodique 阴极射线管 orientait autrefois son faisceau.

Deux forces, pas une seule. Une goutte d'huile « maintenue immobile » entre des plaques horizontales est la situation d'équilibre 平衡 préférée des examens : les deux forces agissent dessus (une force électrique et son poids ; le piège du QCM est « uniquement la force électrique »), elles sont égales et opposées. Pour une goutte négative, la force électrique est opposée au champ, donc la plaque supérieure doit être positif pour la maintenir en place.

Exemple résolu. Une goutte d'huile de masse $2.6 \times 10^{-15}\ \text{kg}$ porte une charge de $-4.8 \times 10^{-19}\ \text{C}$ et est maintenue immobile dans le vide entre des plaques horizontales séparées de $2.0\ \text{cm}$. Trouvez la d.p. entre les plaques et indiquez laquelle est positive.

La goutte est négative, donc la force qui agit sur elle est opposée au champ ; pour que cette force soit dirigée vers le haut, le champ doit pointer vers le bas, donc la plaque supérieure est positive. Notez que la charge est $3e$, trois électrons en excès, ce qui a permis à Millikan de démontrer que la charge existe par multiples de $e$.

Exemple résolu. Deux plaques parallèles dans le vide sont séparées par une distance $0.041\ \text{m}$ avec une d.p. de $250\ \text{V}$ entre elles. Un électron est lâché au repos depuis la plaque négative. Calculez (a) l'intensité du champ, (b) la force sur l'électron et son accélération, (c) le temps nécessaire pour atteindre la plaque positive, (d) son énergie cinétique à l'arrivée. ($m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$.)

(a) $E = V/d = 250/0.041 = 6.1 \times 10^{3}\ \text{V m}^{-1}$. (b) $F = eE = (1.60 \times 10^{-19})(6.1 \times 10^{3}) = 9.8 \times 10^{-16}\ \text{N}$ ; $a = F/m_{\text{e}} = 1.07 \times 10^{15}\ \text{m s}^{-2}$, dirigé vers la plaque positive. (c) À partir du repos avec une accélération constante, $d = \tfrac{1}{2} a t^{2}$, donc $t = \sqrt{2d/a} = \sqrt{2 \times 0.041 / (1.07 \times 10^{15})} = 8.8 \times 10^{-9}\ \text{s}$. (d) Méthode énergétique, aucune cinématique requise : $E_{\text{k}} = qV = (1.60 \times 10^{-19})(250) = 4.0 \times 10^{-17}\ \text{J}$, donc $v = \sqrt{2E_{\text{k}}/m_{\text{e}}} = 9.4 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. (Vérification : $v = at = (1.07 \times 10^{15})(8.8 \times 10^{-9}) = 9.4 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$.)

Exemple résolu (déflexion). Un électron se déplaçant horizontalement à une vitesse $2.0 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ entre dans le champ entre deux plaques horizontales séparées par une distance $18\ \text{mm}$, avec une d.p. de $400\ \text{V}$. Les plaques ont une longueur de $30\ \text{mm}$. Calculez la déflexion 偏转 de l'électron au moment où il quitte le champ.

Le mouvement horizontal n'est pas affecté : le temps passé dans le champ est $t = 0.030/(2.0 \times 10^{7}) = 1.5 \times 10^{-9}\ \text{s}$. Verticalement, $a = eE/m_{\text{e}} = eV/(m_{\text{e}} d) = (1.60 \times 10^{-19})(400)/[(9.11 \times 10^{-31})(0.018)] = 3.9 \times 10^{15}\ \text{m s}^{-2}$, donc la déflexion est $y = \tfrac{1}{2} a t^{2} = \tfrac{1}{2}(3.9 \times 10^{15})(1.5 \times 10^{-9})^{2} = 4.4 \times 10^{-3}\ \text{m}$, inférieure à la demi-ouverture de $9\ \text{mm}$, donc l'électron quitte bien le champ. Sa vitesse verticale à la sortie est $at = 5.9 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$, donc il sort avec un angle de $\tan\theta = 5.9/20$, soit environ $16°$ ; la trajectoire est une parabole, et après les plaques (absence de champ), il se déplace en ligne droite dans la direction qu'il avait à la sortie.

Pour deux charges ponctuelles $Q_{1}$ et $Q_{2}$ séparées par une distance $r$ dans le vide, chacune subit une force de grandeur

C'est la loi de Coulomb 库仑定律. Ici $\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ est la permittivité du vide 真空电容率, et $1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$. La force est dirigée selon la ligne joignant les charges : répulsive pour des charges de même signe, attractive pour des charges de signes opposés.

Énoncer la loi en mots. « Énoncer la loi de Coulomb » demande une phrase, pas une formule : la force (électrique) entre deux charges ponctuelles est directement proportionnelle au produit des charges et inversement proportionnelle au carré de leur séparation. Les deux proportions sont nécessaires, et les charges doivent être ponctuelles (ou des sphères traitées comme des charges ponctuelles situées à leur centre) dans le vide.

Exemple résolu. Calculez la force électrostatique entre deux charges ponctuelles de $+2.0\ \text{nC}$ et $+3.0\ \text{nC}$ séparées par une distance $4.0\ \text{cm}$. ($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$.)

Exemple résolu. Dans un atome d'hydrogène, le proton et l'électron peuvent être considérés comme des charges ponctuelles séparées par une distance $120\ \text{pm}$. Calculez la force électrique entre eux et comparez-la à leur attraction gravitationnelle. ($m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)

Gravité : $F_{\text{G}} = G m_{\text{p}} m_{\text{e}}/r^{2} = (6.67 \times 10^{-11})(1.67 \times 10^{-27})(9.11 \times 10^{-31})/(1.20 \times 10^{-10})^{2} = 7.0 \times 10^{-48}\ \text{N}$, soit environ $10^{39}$ fois plus faible. À l'intérieur des atomes, la gravité est négligeable.

Exemple résolu. Deux gouttes d'huile identiques dans le vide ont leurs centres séparés par une distance $3.8 \times 10^{-6}\ \text{m}$. Chacune porte la même charge et elles se repoussent avec une force de $1.0 \times 10^{-15}\ \text{N}$. Calculez la charge portée par chaque goutte et le nombre d'électrons en excès qu'elle contient.

soit $1.3 \times 10^{-18}/1.60 \times 10^{-19} \approx 8$ électrons. Des objets identiques portant des charges de même signe se repoussent toujours ; ne pas écrire « s'attirent » pour la direction.

Exemple résolu. Une sphère chargée X est fixée sur un support isolant. Une seconde sphère Y, de masse $2.0\ \text{g}$, pend à côté sur un fil isolant et se stabilise en équilibre avec le fil faisant un angle $12°$ par rapport à la verticale, son centre étant à $5.0\ \text{cm}$ du centre de X au même niveau horizontal. Trouver la force électrique sur Y et, si les sphères portent des charges égales, la charge sur chacune.

Trois forces agissent sur Y : son poids $mg$ (vers le bas), la tension 张力 $T$ (le long du fil) et la force électrique $F$ (horizontale, éloignée de X car les charges de même signe se repoussent). En projetant, on obtient $T\cos\theta = mg$ et $T\sin\theta = F$, donc

Ensuite, $F = Q^{2}/(4\pi\varepsilon_{0} r^{2})$ donne $Q = \sqrt{4\pi\varepsilon_{0} F r^{2}} = \sqrt{(4.2 \times 10^{-3})(0.050)^{2}/(8.99 \times 10^{9})} = 3.4 \times 10^{-8}\ \text{C}$. Un triangle vectoriel fermé des trois forces constitue également une méthode valide ; l'examen accepte les deux approches, mais il faut impérativement représenter les trois forces.

Exemple résolu (hélium). Un atome d'hélium peut être modélisé par un noyau de charge $+2e$ avec deux électrons en orbites circulaires diamétralement opposées de rayon $170\ \text{pm}$. Calculez la force résultante 合力 agissant sur un électron, puis sa vitesse orbitale.

Deux forces agissent sur l'électron : attraction vers le noyau à une distance $r$, et répulsion provenant de l'autre électron situé à une distance $2r$ de l'autre côté :

dirigée vers le noyau. Cette force résultante est la force centripète, $F = m_{\text{e}} v^{2}/r$, donc $v = \sqrt{F r/m_{\text{e}}} = \sqrt{(1.4 \times 10^{-8})(1.70 \times 10^{-10})/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. Le piège consiste à oublier le second électron, ou à placer l'autre électron à une distance $r$ plutôt qu'à $2r$.

Sphères traitées comme des charges ponctuelles

Un conducteur sphérique avec une charge totale $Q$ donne, en tout point à l'extérieur, le même champ qu'une charge ponctuelle $Q$ à son centre (mesurer $r$ depuis le centre). À l'intérieur d'un conducteur creux chargé, le champ est nul, donc le conducteur est une surface équipotentielle 等势面.

La loi de Coulomb donne la force entre deux charges. En divisant par la charge d'épreuve ($E = F/q$), il ne reste que le champ de la charge source $Q$ seul. Le champ à une distance $r$ d'une charge ponctuelle $Q$ est

Il pointe vers l'extérieur depuis une charge positive $Q$, vers l'intérieur vers une charge négative $Q$, et décroît comme $1/r^{2}$ — tout comme l'intensité du champ gravitationnel 重力场, sauf que la gravité est toujours attractive. Pour plusieurs charges, additionnez les champs vectoriellement (somme vectorielle 矢量和).

Exemple résolu. La Terre peut être traitée comme une sphère conductrice uniforme de rayon $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ portant une charge totale de $-4.80 \times 10^{5}\ \text{C}$ répartie sur sa surface. Calculez l'intensité du champ électrique à la surface et comparez-la à l'intensité du champ gravitationnel à cet endroit. ($M_{\text{E}} = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$.)

dirigé vers le centre (la charge est négative). Gravité : $g = GM/R^{2} = 9.83\ \text{N kg}^{-1}$, donc $E/g \approx 11$ ; en notation symbolique $E/g = Q/(4\pi\varepsilon_{0} G M)$, ce qui montre que le rapport dépend uniquement du rapport charge/masse de la sphère. Une sphère chargée de masse $m$ et de charge $q$ aurait besoin d'une charge de $qE = mg$ pour flotter dans ce champ : $q/m = g/E = 0.093\ \text{C kg}^{-1}$.

Exemple résolu. Deux charges ponctuelles de $+4.0\ \text{nC}$ et $+1.0\ \text{nC}$ sont séparées par une distance $30\ \text{cm}$. Où, sur la ligne les reliant, le champ résultant est-il nul ?

Entre les charges, les deux champs pointent dans des directions opposées ; appelons la distance depuis la charge $4.0\ \text{nC}$, c'est $x$. Un champ résultant nul nécessite des grandeurs égales :

deux fois plus loin de la charge la plus grande. Pour des charges opposées, les champs entre elles pointent dans la même direction et ne s'annulent jamais : le point de champ nul se trouve à l'extérieur, au-delà de la charge la plus petite.

Le potentiel électrique 电势 $V$ en un point est le travail fourni par unité de charge positive pour amener une petite charge d'épreuve positive de l'infini 无穷远 jusqu'à ce point :

Unité : $\text{V}$. Le potentiel est nul à l'infini. Pour une charge source positive $V > 0$, il est positif partout à l'extérieur ; pour une charge source négative $V < 0$, il est négatif.

La définition valant deux points. Le potentiel électrique en un point est le travail fourni par unité de charge positive pour amener une charge d'épreuve de l'infini jusqu'à ce point. Les deux points correspondent à travail fourni par unité (positive) de charge et de l'infini jusqu'au point. Le potentiel d'une charge positive est positif car il faut fournir un travail sur une charge d'épreuve positive pour la pousser contre la répulsion ; près d'une charge négative, c'est le champ qui effectue le travail, donc le potentiel est négatif. « Expliquez pourquoi le potentiel près d'un proton isolé est positif » se répond exactement avec ces mots.

Potentiel dû à une charge ponctuelle

Remarquez $1/r$ ici (par opposition à $1/r^{2}$ pour le champ). $V$ est un scalaire 标量 ; pour plusieurs charges, additionnez les potentiels (en conservant leur signe).

Exemple résolu. Trouvez le potentiel électrique $4.0\ \text{cm}$ créé par une charge ponctuelle de $+3.0\ \text{nC}$. ($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$.)

Comme le potentiel est un scalaire, le potentiel total dû à plusieurs charges est simplement la somme algébrique de chaque potentiel — aucune composante directionnelle à résoudre.

Deux sphères chargées sur une ligne

La question structurée préférée des examens place deux sphères chargées X et Y séparées par une certaine distance et trace le potentiel $V$ le long de la ligne joignant leurs centres (ou vous demande d'en déduire des conclusions). Tout découle de deux faits : le potentiel est un scalaire qui s'additionne avec son signe, et le champ correspond au gradient négatif de la courbe.

• Signe des charges. Oui $V$ est positif sur toute la ligne, les deux charges sont positives ; si $V$ change de signe, les charges sont opposées (positive près de la sphère positive).
• Où le champ est nul. À l'endroit où la courbe présente un minimum (gradient nul). Pour des charges de même signe, ce point se situe entre elles, plus proche de la charge la plus petite : $Q_{\text{X}}/x^{2} = Q_{\text{Y}}/(d - x)^{2}$. Pour des charges opposées, il n'y a aucun tel point entre elles : la courbe y traverse zéro, mais son gradient n'est pas nul, donc le champ ne l'est pas non plus.
• Rapport des charges. À l'endroit où $V = 0$ entre des charges opposées, $Q_{\text{X}}/x = Q_{\text{Y}}/(d - x)$ : les distances donnent directement le rapport. Pour des charges de même signe, utilisez le minimum plutôt (la racine carrée de la condition du champ).
• Force sur une charge placée en P. Lisez le gradient en P en traçant une tangente 切线 ; ensuite, $E$ est l'opposé du gradient, et $F = qE$.

Exemple résolu. Deux sphères métalliques isolées chargées X et Y ont leurs centres séparés de $1.2\ \text{m}$ dans le vide. Le potentiel le long de la ligne les reliant est positif partout et présente un minimum à $x = 0.50\ \text{m}$ du centre de X. Énoncez trois conclusions, puis trouvez la force exercée sur un proton maintenu en $x = 0.60\ \text{m}$, où le gradient de la courbe est $+180\ \text{V m}^{-1}$.

Conclusions : (1) les deux sphères sont positivement chargées, car le potentiel est positif partout ; (2) le champ électrique est nul en $x = 0.50\ \text{m}$, là où le gradient est nul ; (3) la charge sur Y est plus grande, car le point de champ nul est plus proche de X ; en fait $Q_{\text{Y}}/Q_{\text{X}} = (0.70/0.50)^{2} = 2.0$. En $x = 0.60\ \text{m}$ : $E = -180\ \text{V m}^{-1}$ (pointant vers X, puisque $V$ augmente vers Y), donc $F = eE = (1.60 \times 10^{-19})(180) = 2.9 \times 10^{-17}\ \text{N}$ vers X. Relâché, le proton accélère vers X, son accélération augmentant lorsque le gradient devient plus raide ; une force externe est nécessaire pour le maintenir immobile.

Décrire le mouvement. "Une particule chargée positivement est placée en P et relâchée. Décrivez et expliquez son mouvement." L'examinateur attend : la direction (vers un potentiel plus bas, en descendant la pente du graphique $V$) ; que la force, et donc l'accélération, n'est pas constante (elle suit le gradient, qui varie le long de la ligne) ; et que la particule accélère tout au long, car la force reste dans le sens du mouvement. Si P est le point de champ nul, la particule reste au repos, en équilibre instable : une légère perturbation dans n'importe quelle direction la fera partir.

Lien entre champ et potentiel

Le champ est égal au gradient de potentiel négatif 电势梯度 :

Entre des plaques parallèles $V$ change uniformément avec la position, donnant $E = V/d$ comme précédemment. Le signe moins signifie que le champ pointe vers un potentiel plus bas. Pour une charge ponctuelle, $-\dfrac{dV}{dr} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}} = E$.

La relation en une seule ligne. "Énoncez la relation entre le champ électrique et le potentiel électrique" : l'intensité du champ est égale à l'opposé du gradient de potentiel, $E = -\Delta V/\Delta x$. Sur un graphique $V$–$x$, $E$ est l'opposé de la pente d'une tangente ; sur un graphique $V$–$r$ pour une charge ponctuelle, la pente est la plus raide près de la charge, là où le champ est le plus fort, et le signe de $E$ est fixé par « le champ pointe vers un potentiel plus bas ». La version à champ uniforme $E = V/d$ est la même affirmation avec un gradient constant.

Équipotentielles. Une surface equipotentielle relie des points de même potentiel ; aucun travail n'est fourni pour déplacer une charge dessus, donc le champ est toujours perpendiculaire à elle. Autour d'une charge ponctuelle, les equipotentielles sont des sphères concentriques, s'éloignant les unes des autres lorsque $V$ diminue ; entre des plaques parallèles, ce sont des plans parallèles aux plaques. La surface d'un conducteur est une equipotentielle, c'est pourquoi les lignes de champ la rencontrent à angle droit.

Énergie potentielle électrique

Une charge $q$ située à un point de potentiel $V$ possède une énergie potentielle électrique 电势能 $E_{\text{P}} = qV$. Pour deux charges ponctuelles $Q$ et $q$ séparées par une distance $r$ :

• Charges de même signe : $E_{\text{P}} > 0$ — énergie stockée qui serait libérée si elles s'éloignaient l'une de l'autre.
• Charges opposées : $E_{\text{P}} < 0$ — un système lié 束缚 ; de l'énergie doit être fournie pour les séparer.

Dans les deux cas $E_{\text{P}} \to 0$ lorsque $r \to \infty$ tend vers l'infini.

Exemple résolu. Le proton et l'électron dans un atome d'hydrogène sont séparés de $5.3 \times 10^{-11}\ \text{m}$. Calculez l'énergie potentielle électrique du couple.

Le signe négatif fait partie de la réponse : les charges étant opposées, de l'énergie ($4.3 \times 10^{-18}\ \text{J}$) doit être fournie pour les éloigner jusqu'à l'infini. (L'électron possède aussi une énergie cinétique de moitié de cette valeur, donc l'énergie nécessaire pour ioniser 电离 l'atome est $13.6\ \text{eV}$ ; le « modèle d'exemple résolu » ci-dessous montre pourquoi.)

Charge traversant une p.d. Une charge $q$ déplacée à travers une différence de potentiel $V$ voit son énergie potentielle changer de $qV$, c'est pourquoi un électron accéléré à partir du repos à travers $250\ \text{V}$ arrive avec $250\ \text{eV}$ d'énergie cinétique quel que soit la forme du champ. Pour une QCM sur « déplacer P d'une distance $x$ le long des lignes de champ », le travail fourni est $qEx$, et son énergie potentielle diminue si elle se déplace dans le sens où la force la pousse.

Modèle d'exemple résolu

Un électron 电子 orbite autour d'un noyau 原子核 de charge $+Ze$ à une distance $r$. L'attraction de Coulomb fournit la force centripète 向心力 :

L'énergie totale est la somme de l'énergie cinétique et potentielle :

qui est négative (état lié).

Gravitationnel versus électrique

Les deux théories de champ ressemblent :

Le signe moins dans le potentiel gravitationnel 引力势 reflète que la gravité est toujours attractive ; le potentiel électrique prend le signe de la charge source.

Similitude et différence (une question standard à deux marques). Les deux potentiels sont proportionnels à $1/r$, tous deux nuls à l'infini, et tous deux scalaires ; mais le potentiel gravitationnel est toujours négatif (la force est toujours attractive) tandis que le potentiel électrique prend le signe de la charge et peut être positif. Concernant les champs : les deux obéissent à une loi en inverse du carré et sont représentés par des lignes radiales autour d'une source ponctuelle, mais les lignes de champ gravitationnel pointent toujours vers l'intérieur (attraction), alors que les lignes de champ électrique pointent vers l'extérieur depuis une charge positive et vers l'intérieur vers une charge négative.

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Quatre formules, deux avec $r^{2}$ et deux avec $r$ : $F = Q_1 Q_2 / 4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ et $E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ (inverse du carré), $V = Q/4\pi\varepsilon_0 r$ et $E_{\text{P}} = Qq/4\pi\varepsilon_0 r$. Décidez de laquelle utiliser avant d'écrire.
• Distuez un champ uniforme ($E = V/d$, entre plaques) d'un champ radial ($E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$, à l'extérieur d'une charge ponctuelle ou d'une sphère) ; $r$ pour une sphère est mesuré depuis le centre, pas la surface.
• Le champ pointe du potentiel élevé vers le potentiel bas et $E$ est l'opposé du gradient de potentiel : tracez une tangente sur un graphique $V$–$x$ pour le trouver.
• Le champ est un vecteur (additionnez les composantes, soustrayez celles qui s'opposent) ; le potentiel est un scalaire (additionnez avec signe). Entre des charges de même signe, il y a un point de champ nul ; entre des charges opposées, un point de potentiel nul.
• Une particule chargée dans un champ uniforme : $F = qE$, $a = qE/m$, $E_{\text{k}} = qV$ ; le long du champ, c'est la moitié verticale d'un mouvement de projectile, et le mouvement perpendiculaire au champ reste inchangé.
• La fiche de données donne à la fois $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ et $1/(4\pi\varepsilon_0) = 8.99 \times 10^{9}\ \text{m F}^{-1}$ ; l'un ou l'autre fonctionne, ne les mélangez pas.

Erreurs courantes

• Définir la force du champ comme "la force sur une charge" ou "force par unité de masse". C'est la force par unité de charge positive exercée sur une petite charge positive.
• Oublier de mettre $r$ au carré dans la loi de Coulomb et dans le champ, ou de le mettre au carré dans le potentiel ($V \propto 1/r$).
• Utiliser le diamètre, ou la distance depuis la surface d'une sphère, au lieu de la distance centre-à-centre.
• Tracer $E$ pour une sphère à partir de l'origine. Il est nul à l'intérieur et commence à $E_0$ en surface ; $V$ est constant à l'intérieur, pas nul.
• Lignes de champ sans flèches, qui se croisent, ou espacées inégalement dans un champ uniforme ; lignes non perpendiculaires à un conducteur.
• Oubler le signe négatif sur l'énergie potentielle de charges opposées, ou prendre la direction de $E$ à partir du signe de $V$ au lieu de son gradient.
• Oubler le deuxième électron dans l'atome d'hélium, ou le placer à une distance $r$ plutôt que $2r$.
• Utiliser $E = V/d$ pour une charge ponctuelle, ou $E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ entre des plaques.
• Donner un poids à un électron, ou utiliser la masse du proton pour un électron ; dans les questions sur les électrons entre plaques, le poids est négligeable.
• Oublier le poids dans une question de "goutte d'huile maintenue stationnaire", ou inverser la polarité de la plaque supérieure.