A.7 · Factorización LU y nulidad de mapas compuestos

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Operaciones elementales, sistemas triangulares y rango-nulidad.

• Resolver un sistema lineal factorizado mediante sustitución hacia adelante y hacia atrás
• Aplicar permutaciones de filas consistentemente cuando se requiera pivoteo
• Acotar la dimensión del núcleo de una composición usando intersecciones imagen-núcleo

sustitución hacia adelante: Resolver un sistema triangular inferior desde su primera ecuación hacia abajo.

nulidad: La dimensión del núcleo de un mapa lineal.

Una factorización A=LU expresa una matriz cuadrada como una matriz triangular inferior L y una triangular superior U. Con diagonal unitaria en L, la sustitución hacia adelante es especialmente sencilla. Una matriz invertible no necesariamente admite esta forma sin intercambios de filas: un pivote principal nulo puede requerir una permutación. Para PA=LU, resuelva Ly=Pb, luego Ux=y. La permutación actúa tanto en el lado derecho como en la matriz de coeficientes. Pivotes principales estrictamente positivos justifican la eliminación sin intercambios usual, no solo la invertibilidad.

En Ly=b, calcule y de arriba hacia abajo restando términos ya conocidos; divida por la diagonal actual a menos que sea uno. En Ux=y, calcule x de abajo hacia arriba. Para cada ecuación, sustituya hacia atrás en la fila original como verificación. Reutilizar LU para muchos lados derechos evita repetir la eliminación: la factorización densa requiere trabajo de orden cúbico en la dimensión, mientras que cada resolución triangular requiere trabajo de orden cuadrático. La aritmética exacta puede verificar ejemplos pequeños; el pivoteo numérico reduce algunos problemas de redondeo pero no puede eliminar la malcondicionamiento inherente.

Para B:V→W y A:W→Z, ker B está contenido en ker(A∘B), pero este último puede ser más grande. Los vectores adicionales son aquellos mapeados por B dentro de ker A. Restrinja B a ker(A∘B): su imagen es im B∩ker A y su kernel es ker B. El teorema rango-nulidad sobre este mapa restringido da dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A). La intersección, no todo el kernel de A, determina la nulidad adicional.

Para endomorfismos de R⁶ con nulidad A=2 y nulidad B=3, rango B=3 y la dimensión de la intersección puede variar de 0 a 2. Así la nulidad de A∘B varía de 3 a 5. Los límites dependen del espacio intermedio común: para subespacios de dimensiones r y s en un espacio de dimensión m, su intersección tiene dimensión entre max(0,r+s−m) y min(r,s). Invertir la composición puede cambiar su nulidad, aunque AB y BA estén definidos. Elija espacios compatibles antes de aplicar estas fórmulas.

Sea L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]], U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]], y b=(−1,−1,12). La sustitución hacia adelante da y=(−1,1,8). La sustitución hacia atrás da x₃=2, x₂=(1−4)/3=−1, y x₁=(−1−(−1)+2)/2=1. Por tanto x=(1,−1,2). Multiplicar Ux da y y multiplicar Ly da b, verificando independientemente el orden de factorización.

Resuelva con L primero y U segundo, y permute b si PA=LU. La nulidad de una composición no es automáticamente la suma de las dos nulidades; solo la intersección imagen-núcleo añade a la nulidad de B.

Sean $L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$, $U=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ y $b=(5,12)^T$. Resuelva LUx=b y verifique en la matriz multiplicada. Para PA=LU, ¿dónde actúa P al resolver Ax=b?

Solución resuelta

Primero resuelva Ly=b: $y_1=5$, $2y_1+y_2=12$, así $y_2=2$. Luego Ux=y da $x_2=1$ y $3x_1+1=5$, por lo tanto $x_1=4/3$. La matriz producto es $A=\begin{pmatrix}3&1\\6&4\end{pmatrix}$; aplicándola a $(4/3,1)^T$ da $(5,12)^T$. Si PA=LU, multiplique la ecuación original por P y resuelva Ly=Pb, seguido de Ux=y. Omitir P en b resuelve un sistema diferente.

Sean A y B endomorfismos de $\mathbb R^5$ con nulidades dos y tres, respectivamente. Encuentre todas las posibles nulidades de AB, y justifique tanto el límite como su alcanzabilidad.

Verificar después de intentar

El rango B es dos. Restrinja B a $\ker(AB)$ para obtener

Los dos subespacios en la intersección tienen ambos dimensión dos en cinco dimensiones, por lo que la dimensión de la intersección puede ser cero, uno o dos. Así, la nulidad es 3, 4 o 5. Para realizar cada caso, tome $\ker A=\operatorname{span}(e_1,e_2)$ e image B respectivamente $\operatorname{span}(e_3,e_4)$, $\operatorname{span}(e_1,e_3)$ o $\operatorname{span}(e_1,e_2)$. Elija cualquier B de rango dos sobre esa imagen. Estas construcciones prueban la alcanzabilidad más que solo un límite de intervalo amplio.