Para una función diferenciable en un dominio abierto, un extremo local interior tiene gradiente nulo. Esta condición es necesaria, no suficiente. Para dos variables en un punto crítico, sea D=f_xx f_yy−(f_xy)². Si D>0, f_xx>0 da un mínimo local estricto y f_xx<0 da un máximo local estricto; D<0 da un punto de silla. Estas pruebas requieren regularidad adecuada de las segundas derivadas cerca del punto.
Cuando D=0 la prueba de segunda derivada es inconclusiva, no evidencia de un punto de silla. Las funciones x⁴+y⁴ y x⁴−y⁴ tienen el mismo Hessiano nulo en el origen, pero una tiene un mínimo estricto y la otra cambia de signo. Evalúe en direcciones contrastantes o use una desigualdad directa. Para una forma cuadrática, la positividad definida ofrece una interpretación más general del Hessiano.
En una restricción suave g(x,y)=c con gradiente no nulo g, resuelve gradiente f=lambda gradiente g junto con g=c. Estas ecuaciones generan candidatos; no clasifican ni garantizan un extremo global. Si el gradiente de la restricción se anula, falla la condición de regularidad y las ecuaciones del multiplicador pueden omitir un extremo restringido. Tratar estos puntos por separado. Para x²+y²=a y xy=b>0, (x−y)²=a−2b muestra la necesidad de a≥2b. También es suficiente: toma s=√(a+2b), d=√(a−2b), x=(s+d)/2 y y=(s−d)/2. Estos valores reales tienen xy=b y x²+y²=a. Una condición de mínimo sola necesita esta verificación de alcanzabilidad para establecer la solvibilidad.
Una función continua en un conjunto factible compacto alcanza extremos globales. Para encontrarlos, compare todos los candidatos interiores y todas las piezas del límite, incluyendo esquinas y extremos. Para un rectángulo, optimice las restricciones en cada borde. Para un disco, la frontera circular puede usar un parámetro o multiplicador. Resolver solo el gradiente sin restricciones ignora posibles ganadores en el límite.
