I · Numerical methods

Matemáticas A-Level AQA 7357, sección I (Métodos numéricos), versión 1.3 (primera evaluación 2018). Notas originales de enseñanza.

Prerrequisitos: evaluación de funciones y análisis de signos de las secciones B y G.

Estos son ejemplos originales para docentes, no material oficial de AQA.

La pregunta

• La ecuación x³ − x − 1 = 0 no tiene una solución algebraica exacta, pero un ingeniero necesita la raíz con cuatro decimales. ¿Cómo se puede DEMOSTRAR que una respuesta aproximada es correcta hasta una precisión determinada?
• Antes de continuar, explique qué indica un cambio de signo y qué factores hacen que una respuesta decimal sea confiable.

El método

• Una función continua con signos opuestos en dos extremos tiene una raíz entre ellos. La bisección divide el intervalo a la mitad, conservando la mitad cuyos extremos aún difieren en signo; deténgase si el punto medio es en sí mismo una raíz.
• Iteración x siguiente = g(x) refina una estimación mediante un reordenamiento; un límite debe satisfacer L = g(L) y verificarse en la ecuación original. Newton-Raphson usa x siguiente = x − f(x)/f′(x) con derivada distinta de cero. La regla del trapecio estima una integral definida: (h/2)(y₀ + 2y₁ + … + 2yₙ₋₁ + yₙ).
• Bisección: Reducir a la mitad un intervalo raíz, conservando la mitad con cambio de signo; iteración: Repetir una actualización x siguiente = g(x) desde la estimación anterior; Newton-Raphson: La actualización de raíz x siguiente = x − f(x)/f′(x); regla del trapecio: Estimar una integral sumando franjas trapezoidales.

Verificar su trabajo

• Un cambio de signo prueba una raíz solo donde la función es CONTINUA: 1/x cambia de signo alrededor de x = 0 sin tener raíz allí. Reporte una raíz redondeada con su rango, como 1.3247 a cuatro decimales mostrados por un cambio de signo de f en [1.32465, 1.32475], para que la precisión sea demostrable.
• La iteración puede divergir o formar ciclos: verifique las iteraciones, el dominio y la ecuación original. La regla del trapecio sobreestima o subestima según la curvatura, no porque la función simplemente aumente.

Caso resuelto

• Known: f(x) = x² − 2 and x₀ = 1.5 for Newton–Raphson. f′(x) = 2x, so x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) = 1.5 − (2.25 − 2)/3 = 1.5 − 0.0833… = 1.4166667. A second step: f(1.4166667) ≈ 0.0069444, f′ ≈ 2.8333333, so x₂ ≈ 1.4142157, closing on √2.

Ejemplo:

Estime ∫₀² x² dx con dos franjas trapezoidales iguales y compárelo con el valor exacto, usando la misma secuencia. (Respuesta: h = 1, alturas 0, 1, 4, entonces A = (1/2)(0 + 2 × 1 + 4) = 3. El valor exacto es 8/3 ≈ 2.667 —la curva convexa hace que la estimación sea una sobreestimación.)

Límites y trampas

• Cada método tiene condiciones: la bisección necesita un cambio de signo continuo, Newton necesita una derivada distinta de cero y puede fallar por un mal inicio, y |g′(L)| < 1 es una condición de convergencia local suficiente cuando g′ es continua cerca del punto fijo L y el valor inicial está suficientemente cerca; no es necesaria. Más franjas mejoran una estimación trapezoidal pero nunca la hacen exacta por mera afirmación.

Advertencia:

Todo cambio de signo prueba una raíz, incluido uno a través de una discontinuidad. Esta afirmación es falsa: el razonamiento del valor intermedio necesita continuidad en todo el intervalo —a través de una asíntota la función puede saltar de negativa a positiva sin tener ninguna raíz.

Clave:

Métodos numéricos: acotar una raíz con un cambio de signo continuo y bisección; iterar con verificación de convergencia; Newton-Raphson usa la tangente; la regla del trapecio estima integrales, siendo la curvatura la que determina la dirección del error.