AQA A-level Mathematics 7357, sección B (Álgebra y funciones), versión 1.3 (primera evaluación 2018). Notas originales de enseñanza.
Requisitos previos: Álgebra GCSE: índices, radicales, factorización y resolución de cuadráticas.
Estos son ejemplos originales para docentes, no material oficial de AQA.
2.2
Álgebra y funciones
La pregunta
Dos estudiantes resuelven x² − 4x + 1 = 0. Uno completa el cuadrado y obtiene respuestas exactas; el otro sustituye en la fórmula y redondea pronto, desviándose en una décima. ¿Qué separa un método exacto de uno que deriva?
Antes de leer, indique qué información necesita cada método de solución y cómo verificaría una respuesta final.
El método
Una cuadrática se puede resolver factorizando, completando el cuadrado (a(x − h)² + k dando el vértice (h, k)) o usando la fórmula. El discriminante b² − 4ac cuenta las raíces reales antes de cualquier resolución.
Una función asigna a cada entrada de su dominio exactamente una salida. Una inversa existe solo si la función es inyectiva en su dominio; restrinja primero x² a x ≥ 0. La composición fg(x) = f(g(x)) aplica g primero, y fg y gf generalmente difieren. Las transformaciones gráficas se leen de la forma factorizada a·f(b(x − h)) + k: escala por 1/b y a, luego desplaza por h y k.
completando el cuadrado: Reescribir una cuadrática como a(x−h)²+k para leer el vértice y resolver exactamente; discriminante: La cantidad b²−4ac que decide cuántas raíces reales existen; función: Una regla que da exactamente una salida para cada entrada permitida; dominio: El conjunto de entradas permitidas de una función.
El cuadrado completado da el vértice (2, −1); una inversa es una reflexión en y = x tras restringir el dominio
Verificar su trabajo
Verifique cada solución candidata en la ECUACIÓN ORIGINAL, especialmente después de elevar al cuadrado (que puede añadir raíces falsas) o dividir por una expresión (que puede perder el caso cero). Mantenga los radicales exactos hasta el redondeo solicitado; redondear durante el cálculo es cómo se pierde una décima.
Para una supuesta inversa, verifique f(f⁻¹(x)) = x en el dominio de la inversa, y establezca explícitamente ese dominio; la inversa de x² existe solo en una rama restringida.
Caso resuelto
Conocido: x² − 4x + 1 = 0. Completa el cuadrado: (x − 2)² − 4 + 1 = 0, así que (x − 2)² = 3. Reordenado: x − 2 = ±√3. La sustitución da x = 2 + √3 ≈ 3.732 o x = 2 − √3 ≈ 0.268. Verificación: (2 − √3)² − 4(2 − √3) + 1 = 7 − 4√3 − 8 + 4√3 + 1 = 0 ✓.
Ejemplo:
Para f(x) = x² − 4 con dominio x ≥ 0, encuentre la inversa y su dominio usando la misma secuencia: relación conocida → reordenar → seleccionar rama → indicar dominio y rango. (Respuesta: de y = x² − 4, x = √(y + 4) usando la rama x ≥ 0, entonces f⁻¹(x) = √(x + 4) con dominio x ≥ −4 y rango y ≥ 0.)
Límites y trampas
La fórmula siempre funciona, pero se prefieren formas exactas cuando las raíces son radicales; un decimal es una aproximación. La composición depende del orden, y una gráfica transformada debe verificarse rastreando un punto conocido, no solo la fórmula.
Advertencia:
La función f(x) = x² tiene inversa en todos los números reales. Esta afirmación es falsa: dos entradas comparten cada salida (2 y −2 dan 4), por lo que la correspondencia inversa no es una función; el dominio debe restringirse primero, por ejemplo a x ≥ 0, obteniendo f⁻¹(x) = √x.
Clave:
Álgebra y funciones: completa el cuadrado o usa la fórmula con el discriminante como contador de raíces; verifica candidatos en la ecuación original. Las funciones necesitan dominios declarados; las inversas requieren ramas uno-a-uno, y las transformaciones gráficas se leen desde la forma factorizada.
Explorar
Dominios, inversas y composición
Indicar el dominio y el rango
Compara el modelo con el caso resuelto y explica un cambio.
