La pregunta
- Una muestra se reduce a la mitad cada 3.5 horas, pero el laboratorio necesita el nivel en 5 horas —ninguna tabla lo proporciona. ¿Cómo reemplaza una fórmula la tabla faltante?
- Antes de leer, diga qué necesita el modelo y = Ae^(kt) como entrada, y cómo un gráfico logarítmico podría recuperar k a partir de los datos.
El método
- En y = Ae^(kt), A es la cantidad inicial y k es la tasa proporcional: positiva para crecimiento, negativa para descomposición. La vida media es ln 2/|k|; el tiempo de duplicación es ln 2/k.
- El logaritmo es la inversa de la exponencial: y = a^x significa x = log_a y, definido solo para y positivo. Las leyes logarítmicas siguen de las leyes de exponentes: log(uv) = log u + log v, log(u/v) = log u − log v, log(uᵏ) = k log u. Resolver a^x = b da x = ln b / ln a. Graficar ln y frente a t convierte y = Ae^(kt) en la línea recta ln y = ln A + kt.
- vida media: El tiempo para que una cantidad en descomposición caiga a la mitad de su valor inicial; logaritmo: El exponente al que debe elevarse una base dada para producir un número positivo específico.
*Las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas; ln y frente a t es una línea recta, y la vida media es ln 2 / 0.2 ≈ 3.47 horas
Verificar su trabajo
- Un ajuste exponencial es un modelo: verifique su unidad de tiempo declarada y rango antes de predecir, y compare una predicción con una medición fresca (un residuo) antes de confiar en ella. Un k negativo significa descomposición; una cantidad inicial negativa usualmente contradice el contexto.
- En las ecuaciones logarítmicas, registre primero el dominio original: cada argumento de cada logaritmo debe ser positivo, por lo que los candidatos generados después de combinar logaritmos deben verificarse contra él.
Caso resuelto
- Conocido: y = 80e^(−0.2t), y en gramos, t en horas. La mitad de la cantidad significa 40 = 80e^(−0.2t), entonces e^(−0.2t) = 1/2. Aplicando ln: −0.2t = −ln 2, entonces t = ln 2/0.2 ≈ 3.466 horas. La misma k da la vida media para cualquier cantidad inicial.
Ejemplo:
Resuelva 3^x = 20 usando la misma secuencia: tome logaritmos → aplique la ley de potencias → divida → interprete. (Respuesta: x ln 3 = ln 20, entonces x = ln 20/ln 3 ≈ 2.727. Verificación: 3^2.727 ≈ 20.)
Límites y trampas
- Las leyes logarítmicas se aplican solo a argumentos positivos; ln(x + y) NO tiene ley de suma (ln 2 + ln 3 = ln 6 ≠ ln 5). El modelo exponencial necesita que su unidad de tiempo coincida con k; una tasa efectiva anual del 10% significa k = ln 1.1, no k = 0.1.
Advertencia:
Para x e y positivos, ln(x + y) = ln x + ln y. Esta afirmación es falsa: la ley del producto es ln(xy) = ln x + ln y; no hay ley para una suma dentro de un logaritmo, como lo muestra x = y = 1 (ln 2 ≈ 0.69 pero ln 1 + ln 1 = 0).
Clave:
Exponenciales y logaritmos: y = Ae^(kt) con vida media ln 2/|k|; los logaritmos invierten exponenciales, siguen las leyes del producto/cociente/potencia y convierten un ajuste exponencial en una línea recta. Verifique dominios y unidades antes de resolver.