La pregunta
- La sección transversal de un plato satelital y el borde de una rueda son ambos círculos, pero solo el borde puede escribirse como (x − a)² + (y − b)² = r² con un centro que se lee a simple vista. ¿Qué te proporciona esa ecuación?
- Antes de continuar, di qué controlan cada uno los parámetros a, b y r, y cómo podría encontrarse una dirección tangente sin derivación.
El método
- Una recta que pasa por (x₁, y₁) con pendiente m es y − y₁ = m(x − x₁). Las rectas paralelas comparten m; las pendientes finitas perpendiculares satisfacen m₁ × m₂ = −1.
- Un círculo con centro (a, b) y radio r es (x − a)² + (y − b)² = r². El radio hacia un punto de contacto es perpendicular a la tangente allí, así que la pendiente de la tangente es el recíproco negativo del radio. Un diámetro subtiende un ángulo recto en la circunferencia.
- Pendiente: el cambio en y por unidad de cambio en x; círculo: el conjunto de puntos a distancia fija de un centro; tangente: una línea que toca el círculo en un punto, perpendicular al radio allí.
*Pendiente del radio 4/3 y pendiente de la tangente −3/4 multiplican para dar −1: líneas perpendiculares
Verificar su trabajo
- Verifica que un punto propuesto esté sobre el círculo sustituyendo en (x − a)² + (y − b)² = r² antes de construir una tangente en él. Completa el cuadrado para rescatar un centro de la forma expandida x² + y² + px + qy + s = 0 — y ajusta también el lado derecho.
- Intersecta una recta con el círculo mediante sustitución: una raíz repetida significa tangencia, dos raíces una cuerda, y un discriminante negativo ninguna intersección.
Caso resuelto
- Conocido: el círculo x² + y² = 25 y el punto (3, 4) sobre él (3² + 4² = 25 ✓). El radio de (0, 0) a (3, 4) tiene pendiente 4/3, así que la pendiente de la tangente es −3/4 por m₁ × m₂ = −1. La tangente es y − 4 = −(3/4)(x − 3), que se reordena a 3x + 4y = 25.
Ejemplo:
Encuentra el centro y radio de x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 usando la misma secuencia: agrupa términos → completa cada cuadrado → lee la forma. (Respuesta: (x − 2)² + (y + 1)² = 25, así el centro es (2, −1) y el radio es 5; nota que los signos entre paréntesis se invierten en el centro.)
Límites y trampas
- La regla del recíproco negativo necesita pendientes finitas y no nulas; un radio horizontal da una tangente vertical, expresada como x = constante. Una cuerda bisecada por un radio perpendicular es un atajo de triángulo rectángulo: media-cuerda, radio y distancia al centro obedecen Pitágoras.
Advertencia:
La tangente en un punto de un círculo tiene la misma pendiente que el radio hacia ese punto. Esta afirmación es falsa: el radio y la tangente son perpendiculares en el punto de contacto, así que sus pendientes multiplican para dar −1 — en (3, 4), el radio tiene 4/3 y la tangente tiene −3/4.
Clave:
Geometría analítica: rectas por punto-pendiente, círculos por (x − a)² + (y − b)² = r². Las tangentes usan la relación radio-perpendicular; las intersecciones usan sustitución y el discriminante.