E · Trigonometry

AQA A-level Mathematics 7357, sección E (Trigonometría), versión 1.3 (primera evaluación 2018). Notas de enseñanza originales.

Prerrequisitos: trigonometría de triángulos rectángulos GCSE y valores exactos.

Estos son ejemplos originales para docentes, no material oficial de AQA.

La pregunta

• Dos estudiantes reciben A = 30°, a = 7 y b = 10. Uno informa un triángulo; el otro insiste en que hay dos, y ambos son rectángulos. ¿Qué información separa los casos?
• Antes de continuar, diga qué regla asocia lados con ángulos opuestos, y qué comprobación adicional necesita una respuesta de seno inverso.

El método

• En la circunferencia unitaria, el punto en el ángulo θ es (cos θ, sin θ), por lo que los signos siguen al cuadrante y los valores exactos provienen de los triángulos 30-60-90 y 45-45-90. Un radián es el ángulo cuyo arco es igual al radio: s = rθ y área de sector = r²θ/2 requieren radianes.
• La ley de senos asocia lados opuestos y ángulos: a/sin A = b/sin B. La ley de cosenos a² = b² + c² − 2bc cos A usa el ángulo opuesto a a. En el caso ambiguo, sin B = b sin A / a puede dar B o su suplemento 180° − B — ambos deben probarse contra el ángulo restante.
• círculo unitario: El círculo de radio 1 sobre el cual (cos θ, sin θ) es el punto en ángulo θ; radián: El ángulo subtendido por un arco de longitud igual al radio; ley de senos: La regla a/sin A = b/sin B que empareja lados opuestos y ángulos; ley de cosenos: La regla a² = b² + c² − 2bc cos A; caso ambiguo: La situación de la ley de senos donde dos triángulos pueden ajustarse a los mismos datos.

Verificar su trabajo

• Elija la regla según la información conocida: un par lado-ángulo correspondiente requiere la ley de senos; dos lados con el ángulo INCLUIDO entre ellos, o tres lados, requieren la ley de cosenos. Para el área, ab sin C / 2 necesita el ángulo ENTRE a y b.
• Verifique cada ángulo candidato: el ángulo restante C = 180° − A − B debe ser positivo, y todos los lados positivos. La función arcoseno de una calculadora devuelve solo el valor principal agudo —el suplemento es un candidato separado.

Caso resuelto

• Conocido: lados 6 y 8 encierran 60°. Use la ley de cosenos: c² = 6² + 8² − 2 × 6 × 8 × cos 60° = 36 + 64 − 96 × 0.5 = 52. Por lo tanto, c = √52 = 2√13 ≈ 7.21. El área es (1/2) × 6 × 8 × sin 60° = 24 × (√3/2) = 12√3.

Ejemplo:

Para A = 30°, a = 7, b = 10, encuentre los valores posibles de B usando la misma secuencia: conocido → ley de senos → ambas ramas → verificación de validez. (Respuesta: sin B = 10 × sin 30°/7 = 5/7, así que B ≈ 45.6° o B ≈ 180° − 45.6° = 134.4°. Ambos dejan un tercer ángulo positivo, por lo que DOS triángulos se ajustan.)

Límites y trampas

• El caso ambiguo necesita contar: con h = b sin A y A agudo, a < h no da soluciones, a = h da un triángulo rectángulo, h < a < b da dos, y a ≥ b da uno. Las ecuaciones trigonométricas en un intervalo deben listar todas las soluciones: sin x = 1/2 en [0, 2π) tiene tanto π/6 como 5π/6.

Advertencia:

El valor de arcoseno de la calculadora es el único ángulo posible en un problema de la ley de senos. Esta afirmación es falsa: el seno es positivo en dos cuadrantes, por lo que el suplemento 180° − B es un segundo candidato que debe verificarse, lo cual es exactamente el caso ambiguo.

Clave:

Trigonometría: círculo unitario para valores y signos, radianes para arcos y sectores, ley de senos con su caso ambiguo, ley de cosenos para ángulos incluidos, y ab sin C / 2 para el área —siempre con una verificación de validez del ángulo restante.