D · Sequences and series

AQA A-level Mathematics 7357, sección D (Secuencias y series), versión 1.3 (primera evaluación 2018). Notas originales de enseñanza.

Prerrequisitos: secuencias aritméticas de GCSE y ecuaciones simultáneas.

Estos son ejemplos originales para docentes, no material oficial de AQA.

La pregunta

• Un ahorrador deposita la misma cantidad cada año, mientras que una inversión crece en un mismo porcentaje anual. Después de ocho años, ¿qué saldo puede calcularse exactamente en una sola línea?
• Antes de continuar, indique cuál de los dos crece por adición y cuál por multiplicación, y qué necesita cada fórmula de suma.

El método

• Una sucesión aritmética añade una diferencia constante: uₙ = a + (n − 1)d. Su serie se suma emparejando extremos: Sₙ = n(a + uₙ)/2. Una sucesión geométrica multiplica por una razón constante: uₙ = arⁿ⁻¹, con Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) para r ≠ 1.
• Una suma geométrica infinita existe solo cuando |r| < 1, porque los términos disminuyen hacia cero: S∞ = a/(1 − r). Una relación de recurrencia define cada término a partir del anterior y necesita un valor inicial; una sucesión periódica se repite tras un número fijo de pasos.
• Sucesión aritmética: Sucesión con una diferencia constante entre términos; sucesión geométrica: Sucesión con una razón constante entre términos; relación de recurrencia: Regla que da cada término a partir del valor precedente; sucesión periódica: Sucesión cuyos términos se repiten tras un número fijo de pasos.

Verificar su trabajo

• Recupere a y d a partir de dos términos dados mediante ecuaciones simultáneas antes de usar una fórmula: u₃ = 10 y u₇ = 22 dan 4d = 12, por lo tanto d = 3 y a = 4. El conteo de términos debe ser un entero positivo; se rechaza una fracción o raíz negativa, sin redondear hacia el lugar correcto.
• Verifique una suma afirmada contra los primeros términos directamente, y compruebe un objetivo mínimo contra los enteros en AMBOS lados del cruce.

Caso resuelto

• Datos: a = 5, d = 3, n = 8. El octavo término es u₈ = 5 + 7 × 3 = 26. La suma es S₈ = n(a + uₙ)/2 = 8(5 + 26)/2 = 124. Cada uno de los cuatro pares de extremos suma 31, y 4 × 31 = 124 ✓.

Ejemplo:

Para a = 12, r = 0.5, encuentre la suma infinita y el primer n cuya suma parcial exceda 23.9, usando la misma secuencia: datos → fórmula → sustitución → verificación de entero. (Respuesta: S∞ = 12/(1 − 0.5) = 24. Las sumas parciales son Sₙ = 24(1 − 0.5ⁿ): S₇ = 24(1 − 1/128) = 23.8125 < 23.9 y S₈ = 24(1 − 1/256) = 23.90625 ≥ 23.9, así que n = 8.)

Límites y trampas

• La fórmula de suma infinita no es válida en r = 1 o r = −1, donde los términos no disminuyen; una razón negativa converge si su MAGNITUD es menor que 1. Una recurrencia requiere preservar el orden de operación exactamente: B siguiente = 1.1B + 50 difiere de 1.1(B + 50).

Advertencia:

Toda serie geométrica tiene una suma finita al infinito. Esta afirmación es falsa: la suma existe solo cuando |r| < 1. En r = 2 los términos crecen sin límite, y en r = −1 las sumas parciales oscilan indefinidamente —ninguna converge.

Clave:

Secuencias y series: aritmética suma (emparejar extremos para sumar), geométrica multiplica (Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r), y S∞ = a/(1−r) solo para |r| < 1). Recupere parámetros de los términos dados y exija respuestas enteras para conteos.