G · Differentiation

AQA Matemáticas nivel A 7357, sección G (Diferenciación), versión 1.3 (primera evaluación 2018). Notas de enseñanza originales.

Prerrequisitos: manipulación algebraica y notación de funciones de la sección B.

Estos son ejemplos originales para docentes, no material oficial de AQA.

La pregunta

• La curva distancia-tiempo de un automóvil sigue curvándose, por lo que ninguna "velocidad" única abarca todo el trayecto — sin embargo, el velocímetro muestra un número ahora. ¿Qué significa geométricamente ese número?
• Antes de continuar, explique cómo difiere la pendiente de una tangente de la velocidad promedio entre dos instantes.

El método

• La derivada es el límite del cociente de diferencias [f(x+h) − f(x)]/h cuando h → 0: la pendiente de la tangente y la tasa instantánea. Para y = axⁿ, dy/dx = anxⁿ⁻¹; las formas trigonométricas y exponenciales siguen: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, en radianes.
• Un punto estacionario tiene dy/dx = 0; clasifíquelo mediante el cambio de signo de la derivada o el signo de la segunda derivada (positiva: mínimo local; negativa: máximo local). Las reglas de la cadena, producto y cociente manejan formas compuestas, conservando cada factor de tasa interna.
• derivada: La tasa de cambio instantánea, la pendiente de la tangente; punto estacionario: Un punto donde la derivada es cero; segunda derivada: La derivada de la derivada, mide cómo cambia la pendiente.

Verificar su trabajo

• Una derivada nula es solo un candidato: y = x³ es estacionaria en 0 pero sigue creciendo, así que la clasificación requiere el cambio de signo o f″. En un intervalo restringido, compare también los valores de los bordes — el extremo global puede estar en un extremo.
• Después de diferenciar un producto como xeˣ, verifique en una entrada sencilla: la regla del producto da eˣ + xeˣ, que en x = 0 es 1, no 0. Multiplicar las derivadas separadas daría el valor incorrecto allí.

Caso resuelto

• Conocido: y = x³ − 3x, entonces dy/dx = 3x² − 3. Estacionario donde 3x² − 3 = 0: x = ±1. La segunda derivada es 6x: en x = 1 es 6 > 0, entonces (1, −2) es un mínimo local; en x = −1 es −6 < 0, entonces (−1, 2) es un máximo local.

Ejemplo:

Para y = x³ − 3x en x = 2, encuentre las ecuaciones de la tangente y la normal usando la misma secuencia: punto de f → pendiente de f′ → ecuaciones de línea. (Respuesta: y = 2 en x = 2 y la pendiente es 9, entonces la tangente es y − 2 = 9(x − 2) y la normal es y − 2 = −(1/9)(x − 2).)

Límites y trampas

• La derivada proporciona la pendiente, no la coordenada y — el punto siempre proviene de la curva original. Una tangente horizontal (pendiente 0) tiene una normal vertical, expresada como x = constante, ya que el recíproco negativo de cero no existe.

Advertencia:

Cada punto con derivada cero es un máximo o mínimo local. Esta afirmación es falsa: y = x³ tiene dy/dx = 0 en x = 0 pero la derivada 3x² permanece positiva en ambos lados —un punto de inflexión estacionario, sin ningún extremo.

Clave:

Diferenciación: la derivada es el límite de la pendiente de la secante, que proporciona la pendiente de la tangente y la tasa de cambio. Los candidatos a puntos estacionarios provienen de f′ = 0 y se clasifican mediante el cambio de signo o f″; las tangentes y normales utilizan el punto de f y la pendiente de f′.