H · Integration

Matemáticas A-Level AQA 7357, sección H (Integración), versión 1.3 (primera evaluación 2018). Notas originales de enseñanza.

Prerrequisitos: diferenciación de la sección G.

Estos son ejemplos originales para docentes, no material oficial de AQA.

La pregunta

• La gráfica de velocidad de un corredor desciende por debajo del eje del tiempo durante un momento y luego sube nuevamente. El "área bajo la curva" es casi cero —¿acaso el corredor no se movió?
• Antes de continuar, explique qué significa un área signada y cómo difiere la distancia total del desplazamiento.

El método

• La integración invierte la diferenciación: una antiderivada de axⁿ es axⁿ⁺¹/(n+1) + C para n ≠ −1, mientras que 1/x se integra como ln|x| + C. Una integral definida de a a b representa una acumulación signada: F(b) − F(a).
• El área signada se cancela donde la curva cruza el eje, por lo que el área total positiva requiere que la integral se DIVIDA en cada cruce. El Teorema Fundamental conecta ambas direcciones: derivar una función de acumulación devuelve el integrando.
• Antiderivada: Una función cuya derivada sea el integrando dado; Integral definida: La acumulación signada de una función entre dos límites; Teorema Fundamental: El enlace bidireccional que establece que derivar la función de acumulación devuelve el integrando.

Verificar su trabajo

• Verifique cada antiderivada diferenciándola de nuevo, y mantenga la constante C para las integrales indefinidas —un punto proporcionado la fija. El caso n = −1 es independiente: 1/x se integra como ln|x|, nunca usando la regla de la potencia con división por cero.
• Antes de calcular el área total, encuentre los cambios de signo del integrando en el intervalo y divida la integral allí; una velocidad con cambio de signo produce respuestas diferentes para el desplazamiento y la distancia total.

Caso resuelto

• Datos: v(t) = 3t² − 3 para 0 ≤ t ≤ 2. Una antiderivada es t³ − 3t. Desplazamiento = [t³ − 3t] evaluado de 0 a 2 = (8 − 6) − 0 = 2 m. Pero v = 0 en t = 1, por lo tanto la distancia total = −[t³ − 3t] de 0 a 1 + [t³ − 3t] de 1 a 2 = 2 + 4 = 6 m.

Ejemplo:

Encuentre el área entre y = x² y el eje x desde ⟨0⟩ hasta ⟨1⟩, luego la estimación de rectángulos del extremo derecho con ⟨4⟩ franjas, usando la misma secuencia. (Respuesta: exacta ∫₀¹ x² dx = ⟨1⟩/3 ≈ ⟨0.333⟩; la estimación es (1/4)(1/16 + ⟨1⟩/4 + ⟨9⟩/16 + ⟨1⟩) = ⟨15⟩/32 ≈ ⟨0.469⟩, una sobreestimación para esta curva convexa creciente.)

Límites y trampas

• La integración es el límite de las sumas de rectángulos; un recuento finito de franjas solo la estima, y el error depende de la curvatura. No integre a través de una discontinuidad como 1/x en x = 0, y recuerde que el área signada puede ser cero mientras que el área total es positiva.

Advertencia:

Una integral definida siempre es igual al área total positiva entre la curva y el eje. Esta afirmación es falsa: la integral es SIGNADA —las regiones por debajo del eje cuentan negativamente, por lo que el desplazamiento puede ser pequeño o cero mientras que la distancia total recorrida es grande.

Clave:

Integración: las antiderivadas se verifican diferenciando de nuevo, con C fijada por un punto proporcionado; las integrales definidas son acumulaciones signadas F(b) − F(a); el área total necesita una división en cada cambio de signo, y el Teorema Fundamental vincula la acumulación con el integrando.