Domains, inverses and composition
| English | Español |
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| domain/dəˈmeɪn/ | dominio |
Which inputs are allowed?
- A square-root model returns a real output only for some inputs. Its formula alone does not specify a complete function.
- This lesson studies domain 定义域: The set of allowed inputs to a function.
¿Cuáles entradas están permitidas?
- Un modelo de raíz cuadrada devuelve una salida real solo para algunas entradas. Su fórmula sola no especifica una función completa.
- Esta lección estudia el dominio: El conjunto de entradas permitidas para una función.
Choose the mathematical structure
- State the domain and range. For an inverse, first ensure the function is one-to-one on its domain. Composition fg means apply g first, then f; the intermediate output must be an allowed input to f.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Elija la estructura matemática
- Establece el dominio y el rango. Para una inversa, primero asegúrate de que la función sea uno a uno en su dominio. La composición fg significa aplicar g primero, luego f; la salida intermedia debe ser una entrada permitida para f.
- Establezca las entradas permitidas y las unidades antes de calcular. Una ecuación debe expresar la relación, no solo registrar una entrada de calculadora.
Which description correctly defines domain?
The set of allowed inputs to a function.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For f(x)=√(x-2), x≥2 and the range is y≥0. From y=√(x-2), x=y²+2. Thus f inverse(x)=x²+2 with x≥0. For g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.
Trabaje a través de un caso verificado
- Verifique el resultado contra las cantidades iniciales. Sustituya en la relación original, o compare la gráfica y la respuesta numérica según corresponda.
Para f(x)=√(x-2), x≥2 y el rango es y≥0. De y=√(x-2), se obtiene x=y²+2. Por tanto, f inversa(x)=x²+2 con x≥0. Para g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.
Domains, inverses and composition
State the domain and range
Compare the model with the worked case and explain one change.
For f(x)=2x+3, find f inverse(11).
Solve 2x+3=11, giving x=4.
Test a tempting shortcut
- Squaring can introduce extraneous solutions. Restricting a parabola's domain is essential before claiming an inverse. A horizontal translation inside f has the opposite sign to the graph's movement.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Every quadratic function on all real numbers has an inverse function. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Pruebe un atajo tentador
- Elevar al cuadrado puede introducir soluciones extrañas. Restringir el dominio de una parábola es esencial antes de afirmar la existencia de una inversa. Una traslación horizontal dentro de f tiene signo opuesto al movimiento del gráfico.
- Cuando un atajo falla, identifique la suposición que rompe. Mantenga un valor exacto hasta el redondeo final solicitado.
Toda función cuadrática definida en todos los números reales tiene una función inversa. Esta afirmación es falsa. Explique qué definición o suposición viola.
For f(x)=2x+3 and g(x)=x², find fg(4).
Apply g first: g(4)=16; then f(16)=2×16+3=35.
Every quadratic function on all real numbers has an inverse function.
Squaring can introduce extraneous solutions. Restricting a parabola's domain is essential before claiming an inverse. A horizontal translation inside f has the opposite sign to the graph's movement.
Interpret a new situation
- Check f(f inverse(x))=x on the inverse domain. Use a sketch to test whether a horizontal line meets the original graph more than once.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprete una situación nueva
- Verifique que f(f inversa(x))=x en el dominio de la inversa. Utilice un boceto para probar si una línea horizontal corta el gráfico original más de una vez.
- Una solución completa proporciona el resultado matemático y explica lo que significa. Verifique si es posible en el contexto declarado.
For f(x)=√(x-2), find f(11).
Substitute into the square root: √(11-2)=√9=3.
Match each part of a complete solution to its purpose.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question.
Use this in your course
- 7357 · A-level · B. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The set of allowed inputs to a function. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Use esto en su curso
- 7357 · A-level · B. Coincide con el nivel objetivo y el plan de estudios antes de asignar extensiones.
- Proporcione el método antes de la respuesta final, y use las reglas de calculadora y fórmulas del examen. Revise una respuesta incorrecta localizando el primer paso inválido.
El conjunto de entradas permitidas para una función. Elija la relación, muestre el método, verifique sus supuestos e interprete el resultado.