Matemáticas A-Level AQA 7357, sección A (Demostración), versión 1.3 (primera evaluación 2018). Notas originales para docentes.
Requisitos previos: manipulación algebraica del GCSE.
Estos son ejemplos originales para docentes, no material oficial de AQA.
1.2
Demostración
La pregunta
La fórmula n² + n + 41 produce números primos para n = 0, 1, 2, hasta 39. Un estudiante concluye que siempre es primo. ¿Cómo puede un solo número destruir cuarenta confirmaciones?
Antes de continuar, indique qué tipo de argumento podría validar una afirmación sobre TODOS los casos y qué podría refutarla sobre UN SOLO caso.
El método
Una demostración deductiva parte de definiciones enunciadas y sigue lógicamente: los enteros impares 2a+1 y 2b+1 suman 2(a+b+1), que es par —demostrado para cada par.
Un contraejemplo refuta una afirmación universal con un solo caso válido de fallo: en n = 41, el valor es 41 × 43 = 1763, no primo. Una demostración por contradicción asume la negación y deriva una imposibilidad: si √2 = p/q en términos mínimos, entonces p² = 2q² obliga a que p sea par, y al escribir p = 2r se deduce que q también es par —contradiendo los términos mínimos, por lo tanto √2 es irracional.
Deducción: Demostrar una afirmación mediante pasos lógicos a partir de hechos aceptados; contraejemplo: Un único caso válido que desmiente una afirmación universal; contradicción: Asumir la negación y derivar una imposibilidad.
La deducción prueba todos los casos, un contraejemplo desmiente una afirmación, la contradicción asume lo contrario y la refuta
Verificar su trabajo
Comprobar n = 0, 1, 2, …, 39 es una evidencia fuerte pero no una demostración: la afirmación concierne a TODO entero positivo. Una demostración debe cubrir todos los casos a la vez —mediante álgebra general, mediante agotamiento de una lista finita completa o mediante contradicción.
Antes de aceptar una demostración, verifique su estructura: ¿parte de supuestos en lugar de partir de la conclusión? ¿Ataca la contradicción el supuesto enunciado? Verificar ejemplos confirma la aritmética pero no reemplaza el argumento general.
Caso resuelto
Conocido: el contraejemplo candidato n = 41. Sustitución: n² + n + 41 = 41² + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41 × 43 = 1763. El valor tiene un factor de 41, por lo que no es primo; un solo caso fallido es suficiente para refutar la afirmación universal (n = 40, dando 1681 = 41², también falla).
Ejemplo:
Verificar si la suma de dos números pares siempre es par mediante deducción: escribir los dos números como 2a y 2b y demostrar la estructura. (Respuesta: 2a + 2b = 2(a + b), que es un múltiplo de 2, por consiguiente par para cada par — no se necesitan ejemplos.)
Límites y trampas
Cada método requiere una forma específica: la deducción necesita variables generales, el agotamiento requiere una lista de casos genuinamente completa, y la contradicción exige que la imposibilidad se derive directamente de la negación. Una prueba sobre enteros no cubre automáticamente los números reales, y una identidad demostrada para todos los valores difiere de una ecuación verdadera solo en soluciones particulares.
Advertencia:
Verificar una afirmación para los primeros cien enteros prueba que es cierta para todo entero positivo. Esta afirmación es falsa: una muestra finita es evidencia, nunca una demostración; n² + n + 41 sobrevive 40 comprobaciones (n = 0 a 39) y falla en la 41ª (n = 40 da 1681 = 41²), por lo que solo un argumento general o un contraejemplo resuelven una afirmación universal.
Clave:
Prueba: la deducción parte de definiciones con variables generales; un contraejemplo invalida una afirmación de «todos los valores» con un solo caso; la contradicción asume la negación y deriva una imposibilidad. Los ejemplos verifican e infirman, pero nunca prueban algo universal.
