Raíces irracionales e infinitos primos
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| proof by contradiction/pruːf baɪ ˌkɒntrəˈdɪkʃn/ | demostración por contradicción |
¿Por qué √2 no puede ser una fracción exacta?
- Una calculadora imprime finitos dígitos de √2. Esos dígitos no pueden decidir si existe una razón exacta de enteros.
- Esta lección estudia la demostración por contradicción: una demostración que asume la negación de una afirmación y deriva una imposibilidad.
Elija la estructura matemática
- Para probar que √2 es irracional, asuma √2=p/q para enteros coprimos p,q con q distinto de cero. Entonces p²=2q² fuerza que p sea par; escribir p=2r fuerza que q también sea par. Esto contradice la coprimalidad. Para demostrar que hay infinitos primos, asuma una lista finita completa de primos y construya un número sin divisor primo listado.
- Establezca las entradas permitidas y las unidades antes de calcular. Una ecuación debe expresar la relación, no solo registrar una entrada de calculadora.
¿Qué descripción define correctamente la demostración por contradicción?
Una demostración que asume la negación de una afirmación y deriva una imposibilidad.
Trabaje a través de un caso verificado
- Verifique el resultado contra las cantidades iniciales. Sustituya en la relación original, o compare la gráfica y la respuesta numérica según corresponda.
De p²=2q² y p=2r, obtenga q²=2r². Tanto p como q tendrían el factor 2, contradiciendo la mínima expresión. Para una supuesta lista completa de primos p₁,…,pₖ, defina N=p₁⋯pₖ+1. N>1 tiene un divisor primo, pero cada primo listado deja residuo 1 al dividir N. Ese divisor es un nuevo primo, contradiciendo la completitud. El propio N no necesita ser primo: 2×3×5×7×11×13+1=30031=59×509.
Raíces irracionales e infinitos primos
Para demostrar que √2 es irracional, asuma √2=p/q para enteros coprimos p,q con q distinto de cero
Clasifique cada argumento y explique la condición que lo hace válido o incompleto.
Si p=2r y p²=2q², ¿qué coeficiente multiplica a r² en q²?
4r²=2q², por lo tanto q²=2r².
Pruebe un atajo tentador
- El paso del cuadrado par necesita justificación: un entero impar 2r+1 tiene cuadrado impar 4r(r+1)+1. La demostración de primos necesita un nuevo divisor primo, no la afirmación de que producto más uno es siempre primo. Una contradicción debe atacar el supuesto declarado.
- Cuando un atajo falla, identifique la suposición que rompe. Mantenga un valor exacto hasta el redondeo final solicitado.
El producto de cualquier lista finita de primos más uno es siempre primo. Esta afirmación es falsa. Explique qué definición o suposición viola.
Para la lista de primos 2,3,5, calcule el número producto-más-uno.
2×3×5+1=31.
El producto de cualquier lista finita de primos más uno es siempre primo.
El paso del cuadrado par necesita una justificación: un entero impar 2r+1 tiene cuadrado impar 4r(r+1)+1. La prueba de primos necesita un nuevo divisor primo, no una afirmación de que producto-más-uno sea siempre primo. Una contradicción debe atacar la suposición enunciada.
Interprete una situación nueva
- Para una demostración desconocida, plantee el supuesto contrario con precisión, preserve sus condiciones y nombre la contradicción exacta. Las aproximaciones decimales o una lista finita grande no resuelven estas dos afirmaciones.
- Una solución completa proporciona el resultado matemático y explica lo que significa. Verifique si es posible en el contexto declarado.
Encuentre el residuo cuando 30031 se divide por 13.
30031=13×2310+1.
Emparejar cada parte de una solución completa con su propósito.
Una suposición justifica el modelo; una comprobación verifica el resultado; la interpretación lo conecta con la pregunta.
Use esto en su curso
- 7357 · Nivel A · A. Coincida el nivel objetivo y el plan de estudios antes de asignar extensiones.
- Proporcione el método antes de la respuesta final, y use las reglas de calculadora y fórmulas del examen. Revise una respuesta incorrecta localizando el primer paso inválido.
Una demostración que asume la negación de una afirmación y deriva una imposibilidad. Elige la relación, muestra el método, verifica sus supuestos e interpreta el resultado.