J · Vectors

Matemáticas A-Level AQA 7357, sección J (Vectores), versión 1.3 (primera evaluación 2018). Notas originales de enseñanza.

Prerrequisitos: geometría analítica de la sección C y Pitágoras.

Estos son ejemplos originales para docentes, no material oficial de AQA.

La pregunta

• Un dron vuela desde A(1, 2) hasta B(5, 5), pero el software de misión solicita también el trayecto de retorno. ¿Qué fórmula única proporciona tanto el desplazamiento de ida como su inverso exacto?
• Antes de continuar, explique qué necesita un vector de desplazamiento además de una distancia, y cómo difiere el trayecto de retorno.

El método

• Un vector lleva magnitud y dirección. Los vectores de posición localizan puntos desde un origen; el desplazamiento de A a B es AB = b − a, y BA = −AB lo invierte. Sume y reste componentes; un múltiplo escalar mantiene un vector paralelo.
• El producto escalar a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b| cos θ mide el ángulo: los vectores perpendiculares tienen a·b = 0, y a·a = |a|². La magnitud proviene de Pitágoras: |(4, 3)| = 5.
• vector: Una cantidad con magnitud y dirección; desplazamiento: El vector desde un punto hasta otro, b − a; producto escalar: La suma de productos de componentes, igual a |a||b| cos θ.

Verificar su trabajo

• Mantener el orden de la resta: BA = −AB, por lo que invertir los extremos invierte cada componente. Un supuesto paralelismo necesita una relación de múltiplo escalar entre los vectores; un dibujo solo no es una demostración.
• Para la colinealidad de tres puntos, demostrar que dos desplazamientos son paralelos Y comparten un punto común; vectores paralelos en diferentes posiciones no prueban nada sobre una única recta.

Caso resuelto

• Datos: a = (4, 1) y b = (1, 3). El producto escalar es a·b = 4 × 1 + 1 × 3 = 7. Las magnitudes son |a| = √17 y |b| = √10, así que cos θ = 7/(√17 × √10) ≈ 0.537, dando θ ≈ 57.5°. Como a·b ≠ 0, los vectores no son perpendiculares.

Ejemplo:

Con A(1, 2) y B(5, 5), encontrar el desplazamiento AB, su magnitud y el desplazamiento de retorno, usando la misma secuencia. (Respuesta: AB = (5, 5) − (1, 2) = (4, 3); |AB| = √(4² + 3²) = 5; BA = (−4, −3), la misma magnitud en dirección opuesta.)

Límites y trampas

• Un vector responde "cuánto Y hacia dónde"; una distancia es solo un escalar. El producto escalar ve la dirección: es máximo cuando los vectores se alinean, cero cuando son perpendiculares, y negativo cuando se oponen.

Advertencia:

AB y BA tienen los mismos componentes. Esta afirmación es falsa: BA = −AB invierte cada componente —de B a A es (−4, −3), no (4, 3). Solo las magnitudes coinciden.

Clave:

Vectores: desplazamiento = final − inicio, invertido por el trayecto de retorno; componentes se suman; múltiplos escalares permanecen paralelos; el producto escalar da el ángulo, con perpendicularidad exactamente en a·b = 0.