Límites y Continuidad

Por qué importa. Hace unos 2,400 años, el pensador griego Zenón argumentó que una corredora nunca puede terminar una carrera: primero debe recorrer la mitad de la distancia, luego la mitad de lo que queda, después la mitad de eso, y así sucesivamente para siempre. Según él, una cantidad infinita de pasos no puede completarse. La respuesta tardó más de dos mil años: las distancias $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots$ se acercan tanto a $1$ como queramos, por lo que su límite es exactamente $1$. Newton y Leibniz construyeron el cálculo sobre esta idea en las décadas de 1660-1680, y Augustin-Louis Cauchy le dio una definición rigurosa en 1821. Cada derivada e integral de este curso es un límite.

El cálculo es las matemáticas del cambio y de la acumulación. Responde dos grandes preguntas: ¿a qué velocidad cambia algo ahora mismo y cuánto se ha acumulado hasta ahora? La Unidad 1 construye la única herramienta sobre la que descansan ambas preguntas: el límite.

Comienza con un acertijo. El velocímetro de un coche marca $60$ km/h. ¿Qué significa eso en un instante único? La velocidad es distancia sobre tiempo. Pero en un instante no transcurre tiempo ni se recorre distancia, por lo que la fracción parece ser $\tfrac{0}{0}$ – indefinida.

• La tasa promedio de cambio utiliza un intervalo completo: el cambio en una cantidad dividido por el cambio en otra. Se divide por cero y, por tanto, es indefinida cuando el cambio en la entrada sería cero.
• La tasa instantánea de cambio es lo que deseamos obtener en un punto. Es el valor al que se aproxima la tasa promedio conforme el intervalo se reduce hacia cero longitud.

El truco inteligente no es sustituir cero (indefinido), sino observar hacia qué se aproxima la tasa promedio conforme el intervalo se hace cada vez más pequeño. Ese valor aproximado es un límite. Así, el cálculo nos permite describir el cambio en un instante: como un límite de tasas promedios sobre intervalos cada vez más cortos. Esta sola idea impulsa la derivada (Unidad 2) y, invertida, la integral (Unidad 6). Todo lo demás en esta unidad define límites con cuidado y los calcula de manera fiable.

Dada una función $f$, el límite de $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $c$ es un número real $R$ si $f(x)$ puede hacerse arbitrariamente cercano a $R$ al tomar $x$ suficientemente cercano a $c$ – pero no igual a $c$. Lo escribimos

Las últimas palabras son el corazón de un límite: describe el comportamiento de $f$ cerca de $c$, no el valor en $c$. La función puede estar indefinida en $c$, o definida pero igual a otra cosa; el límite no le importa.

Un límite puede mostrarse de tres formas: gráficamente, numéricamente (una tabla) y analíticamente (álgebra). Aprender a transitar entre estas representaciones es una habilidad fundamental.

(Nota: la definición epsilon-delta de un límite no se evalúa en el Examen AP, por lo que este folleto no la utiliza.)

Una gráfica es a menudo la forma más rápida de leer un límite. Para encontrar $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, desliza tu dedo a lo largo de la curva hacia $x = c$ desde ambos lados y pregunta: ¿hacia qué altura se dirige la curva?

• Traza desde la izquierda (entradas menores que $c$): esto da el límite lateral izquierdo, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
• Traza desde la derecha (entradas mayores que $c$): esto da el límite lateral derecho, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
• Estos son los límites laterales. Si ambos apuntan a la misma altura $R$, entonces existe el límite bilateral y $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.

Crucialmente, ignora el propio punto. Las gráficas marcan la diferencia entre el límite y el valor:

• Un círculo abierto marca una altura que la curva se acerca pero no alcanza: un "agujero".
• Un círculo cerrado marca el valor real $f(c)$.

Un límite no existe (escrito frecuentemente como DNE) cuando los lados opuestos difieren (un salto), cuando la función es desacotada (crece sin límite) o cuando oscila cerca de $c$ con fluctuaciones que no se reducen hacia un valor. La oscilación por sí sola no impide un límite: $x\sin(1/x)\to0$ cuando $x\to0$. Por ejemplo:

Observe la escala de una gráfica: una vista general puede ocultar comportamientos importantes cerca de un punto, así que confirme con álgebra cuando sea posible.

Comparación resuelta: valores cercanos y un punto

En esta gráfica creada por el docente, lea las alturas de aproximación antes del punto relleno.

Ambos límites laterales en 2 son iguales a 2, por lo que el límite bilateral es 2. El punto relleno da $f(2)=4$. Esta es una discontinuidad evitable: defina $f(2)=2$ para hacer la función continua.

Aquí el límite lateral izquierdo en 0 es 1, el derecho es 3, y $f(0)=2$. Los límites laterales desiguales significan que el límite bilateral no existe. Ninguna elección de $f(0)$ cambia las ramas cercanas; el salto no puede eliminarse modificando un solo punto.

Cuando tiene datos o fórmula sin gráfica, una tabla de valores estima numéricamente el límite. Elija entradas que se acerquen a $c$ desde ambos lados y observe las salidas.

Por ejemplo, para estimar $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (que es $\tfrac{0}{0}$ en $x=2$):

Ambos lados marchan hacia $4$, así que estimamos que el límite es $4$. Una tabla solo sugiere un valor; es una estimación numérica, no una prueba.

La mayoría de los límites se hallan analíticamente mediante teoremas de límite. Si $\lim_{x\to c} f(x)$ y $\lim_{x\to c} g(x)$ existen, el límite de una combinación es esa misma combinación de los límites:

• Suma / resta: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
• Producto: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
• Cociente: $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, siempre que el límite del denominador no sea $0$.
• Compuesta: si $g$ es continua en $\lim_{x\to c} f(x)$, entonces $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.

Regla práctica: para funciones construidas con polinomios, raíces, etc., intente primero la sustitución directa – sustituya $x = c$. Si obtiene un número real, ese es el límite. Los límites laterales obedecen los mismos teoremas, evaluados desde una sola dirección.

La sustitución directa a veces produce la forma indeterminada $\tfrac{0}{0}$. Esto no significa que falte el límite, sino que debe reescribir la función en una forma equivalente que elimine la dificultad, y luego sustituir. Tres movimientos estándar:

• Factorizar y simplificar una función racional. Ejemplo: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
• Multiplicar por el conjugado para simplificar un radical. Ejemplo: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
• Usar formas alternativas de funciones trigonométricas (identidades) para simplificar.

El factor cancelado es la razón por la que la gráfica original tenía un agujero: las dos funciones coinciden en todas partes excepto en $x=c$, por lo que comparten el mismo límite allí.

Este es un tema de habilidades, no nuevo contenido: elige la herramienta correcta para el límite frente a ti.

1. Intenta la sustitución directa primero. Una respuesta real significa que has terminado.
2. ¿Obtienes $\tfrac{0}{0}$? Reescribe – factoriza y cancela, usa el conjugado, o una identidad trigonométrica – y luego sustituye.
3. ¿Un número distinto de cero sobre $0$ (como $\tfrac{5}{0}$)? El límite es infinito o DNE – verifica el signo desde cada lado (mira las asíntotas verticales abajo).
4. Cuando $x\to\pm\infty$? Compare los términos dominantes (véase límites en infinito).
5. ¿Atrapado entre dos funciones? Puede aplicarse el teorema del emparedado 夹逼定理.

El teorema del embotellamiento (o teorema del sándwich) halla un límite atrapando la función entre otras dos. Si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ cerca de $c$, y

Los dos resultados famosos demostrados de esta manera, usados a lo largo del cálculo, son:

Otro tema de habilidades: el mismo límite vive en una gráfica, una tabla y una forma algebraica, y deberías poder traducir entre ellas. Una gráfica muestra la forma y cualquier agujero o salto; una tabla da evidencia numérica; el álgebra da un valor exacto y una razón. Las respuestas sólidas usan una representación para confirmar otra.

Una función es discontinua en $c$ cuando su gráfica se «rompe» allí. Tres tipos comunes son:

• Discontinuidad removible – un solo hueco. El límite bilateral existe, pero el punto está ausente o mal ubicado.
• Discontinuidad de salto – los límites laterales existen pero difieren, por lo que la curva salta.
• Discontinuidad infinita – la función tiende a $\pm\infty$ en una asíntota vertical.

Comparación resuelta: clasificar y justificar una reparación

En 2, $A(x)=(x^2-4)/(x-2)$ se simplifica a $x+2$ para $x\ne 2$. Su límite es 4; defina $A(2)=4$ para eliminar el hueco. En contraste, $B(x)=1$ para $x<2$ y 3 para $x\ge 2$ tiene límites laterales finitos desiguales 1 y 3. Cambiar $B(2)$ no puede eliminar su salto. Para $C(x)=1/(x-2)$, el lado izquierdo tiende a $-\infty$ y el derecho a $+\infty$: una discontinuidad infinita, sin un límite finito disponible como reparación.

La continuidad se define mediante una prueba de tres partes. Una función $f$ es continua en $x=c$ si y solo si se cumplen las tres condiciones:

En palabras: el punto está ahí, el límite está ahí, y ambos coinciden. Si alguna falla, $f$ es discontinua en $c$. Esta prueba es la columna vertebral de casi toda pregunta de continuidad, así que apréndela como una lista de verificación.

Una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto de ese intervalo. Rara vez se verifica punto por punto, porque familias enteras son continuas en sus dominios:

Las funciones polinómicas, racionales, potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en cada punto de sus dominios.

Así, una función racional es continua en todas partes excepto donde su denominador es cero; $\ln x$ es continua para $x>0$; etc. Conocer esto te permite declarar la continuidad rápidamente y correctamente.

Si el límite existe en un agujero, la discontinuidad es evitable: redefine la función en ese único punto para que sea igual al límite, y la gráfica se repara. Formalmente, establece el valor faltante como $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.

Para una función definida a trozos, la continuidad en un punto de ruptura $x=c$ requiere que las dos piezas se unan: el valor de la pieza izquierda, el valor de la pieza derecha y $f(c)$ deben ser iguales. Este es un escenario común en exámenes: se resuelve un parámetro (una constante desconocida) que hace coincidir las piezas:

Ejemplo resuelto. Encontrar la constante $k$ que haga que esta función sea continua en $x=2$:

• Límite lateral izquierdo: $\displaystyle \lim_{x\to 2^-}(kx+1) = 2k+1$.
• Límite lateral derecho y valor: $\displaystyle \lim_{x\to 2^+}(x^2-k) = f(2) = 4-k$.
• Igualamos las ecuaciones: $2k+1 = 4-k$, por lo tanto $3k=3$ y $k=1$.

Verificación: con $k=1$ ambas partes dan $3$ en $x=2$, por lo que se cumplen las tres condiciones de la prueba de continuidad.

La idea de un límite se extiende a límites infinitos. Cuando una función crece sin cota cerca de $x=c$, escribimos $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Esto describe una asíntota vertical en $x=c$: la gráfica se acerca a la línea vertical $x=c$ y se dispara hacia $\pm\infty$.

Esto sucede donde un número distinto de cero se divide por algo que se acerca a $0$, como en un cero de un denominador que no se cancela. Siempre verifica cada lado por separado – los dos lados pueden dispararse en direcciones opuestas (uno a $+\infty$, otro a $-\infty$).

Ejemplo resuelto. Calcule $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}\frac{x+2}{x-1}$ y $\displaystyle \lim_{x\to 1^+}\frac{x+2}{x-1}$.

La sustitución da $\tfrac{3}{0}$: un número no nulo dividido por $0$, por lo que cada límite lateral es infinito. Determine el signo desde cada lado:

• Para $x$ justo debajo de $1$ (pruebe $x=0.99$): numerador $\approx 3$, denominador $=-0.01$, un número negativo pequeño. Entonces $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}\frac{x+2}{x-1} = -\infty$.
• Para $x$ justo encima de $1$ (pruebe $x=1.01$): numerador $\approx 3$, denominador $=+0.01$. Entonces $\displaystyle \lim_{x\to 1^+}\frac{x+2}{x-1} = +\infty$.

La recta $x=1$ es una asíntota vertical, y el límite doble no existe.

También podemos hacer que la entrada crezca: los límites en el infinito describen el comportamiento final de una función cuando $x\to\pm\infty$. Si las salidas convergen hacia un valor finito $L$, entonces $y=L$ es una asíntota horizontal.

Para una función racional, compare los grados del numerador y el denominador:

• grado superior < grado inferior $\Rightarrow$ el límite es $0$ (asíntota $y=0$);
• grado superior = grado inferior $\Rightarrow$ el límite es la razón de los coeficientes principales;
• grado superior > grado inferior $\Rightarrow$ la función es ilimitada (sin asíntota horizontal).

Ejemplo resuelto. Halla $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-5x}{6x^2+1}$.

Los grados son iguales ($2$ y $2$), por lo que el límite es la razón de los coeficientes principales. Para demostrarlo, divida cada término por $x^2$:

Entonces $y=\tfrac{1}{2}$ es una asíntota horizontal.

En general, comparamos las magnitudes relativas (tasas de crecimiento relativo) de funciones: a largo plazo, una exponencial supera a cualquier polinomio, y un polinomio supera a cualquier logaritmo. En el examen, “cuando $t\to\infty$, ¿qué cantidad es mayor/dónde se estabiliza la tasa?” se responde con un límite en el infinito.

El Teorema del Valor Intermedio es un teorema de existencia – garantiza que existe un valor sin indicar dónde:

Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$, y $d$ es cualquier número entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces hay al menos un número $c$ en $(a,b)$ tal que $f(c)=d$.

Una curva ininterrumpida no puede saltarse una altura entre sus extremos – debe pasar por cada una de ellas.

Habilidad para el examen – cómo justificar usando el TVI. Estas preguntas aparecen casi todos los años (por ejemplo, “¿Debe haber un valor $c$ tal que $R(c)=155$?” o “¿Existe un momento en que $r'(t)=-6$?”). Una justificación de puntuación completa tiene tres pasos:

1. Declara la continuidad. Di que la función es continua en $[a,b]$ (a menudo porque es diferenciable, o se da como continua).
2. Muestra que $d$ está atrapado. Calcula los dos valores en los extremos y muestra que el objetivo $d$ se encuentra entre ellos, p. ej. $f(a) < d < f(b)$.
3. Concluya nombrando el teorema. “Por el Teorema del Valor Intermedio, existe un $c$ en $(a,b)$ tal que $f(c)=d$.”

Saltarse la declaración de continuidad, o no mostrar que $d$ está entre los extremos, pierde el punto – el teorema requiere ambas condiciones.

Ejemplo resuelto. Demuestre que $f(x)=x^3-x-1$ tiene una raíz entre $x=1$ y $x=2$.

1. $f$ es un polinomio, por lo que es continuo en $[1,2]$.
2. $f(1)=1-1-1=-1$ y $f(2)=8-2-1=5$, entonces $f(1) < 0 < f(2)$.
3. Por el Teorema del Valor Intermedio, existe un $c$ en $(1,2)$ tal que $f(c)=0$.

El teorema no dice nada sobre dónde está $c$ ni cuántos valores de ese tipo hay (aquí $c\approx 1.32$, encontrado con una calculadora).

Errores comunes con el TVI.

• Usarlo en una función que no es continua en todo el intervalo: $g(x)=\tfrac{1}{x}$ tiene $g(-1)=-1$ y $g(1)=1$, pero $g$ nunca es $0$, porque $g$ se rompe en $x=0$.
• Leyéndolo hacia atrás: una recta continua $f$ puede alcanzar una altura fuera de $[f(a),f(b)]$ también, y puede alcanzar $d$ más de una vez. El teorema solo garantiza al menos una $c$ para cada $d$ entre los valores de los extremos.

• Un límite describe hacia qué $f(x)$ se acerca, lo cual no necesita ser igual a $f(a)$ — el límite bidireccional existe solo si ambos lados coinciden.
• Intenta la sustitución directa primero; para una forma $\tfrac00$, factoriza y cancela o racionaliza antes de sustituir.
• Una función es continua en $a$ cuando el límite existe, $f(a)$ está definida y son iguales.
• Usa el Teorema del Valor Intermedio para garantizar una raíz: una función continua que cambia de signo en $[a,b]$ toma todos los valores intermedios.
• Lea las asíntotas horizontales a partir del comportamiento final (límites en $\pm\infty$) y las asíntotas verticales en los ceros del denominador que permanecen después de cancelar factores comunes; verifique los límites laterales.

Errores comunes.

• Decir que un límite no existe porque $f(a)$ no está definido. Un hueco en la gráfica no impide que exista el límite.
• Detenerse en $\tfrac00$ y escribir «$0$» o «indefinido». $\tfrac00$ indica que hay que factorizar, racionalizar o simplificar; no es una respuesta.
• Usar el teorema del valor intermedio sin indicar que la función es continua en el intervalo cerrado: en el examen, la justificación no recibe puntos sin esa condición.
• Escribir $\lim_{x\to a} f(x) = \infty$ y luego decir que el límite es un número. Un límite infinito describe un comportamiento no acotado (una asíntota vertical); el límite no existe como número real.
• Hallar una asíntota horizontal sustituyendo por un número grande en lugar de comparar los términos principales.

Práctica. Las preguntas 3 y 4 siguen el estilo de apartados recientes de respuesta libre (el teorema del valor intermedio a partir de una tabla; el teorema del sándwich con dos funciones que acotan).

1. Halla $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$.
2. Encuentra $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}$.
3. Una función continua $f$ cumple $f(1)=4$, $f(3)=-2$ y $f(5)=6$. ¿Cuál es el número mínimo de soluciones que $f(x)=0$ debe tener en $1\le x\le 5$? Justifica tu respuesta.
4. Para todo $x$ cercano a $1$, $2x+1 \le k(x) \le x^2+2$. Halla $\displaystyle\lim_{x\to 1}k(x)$ e indica qué más necesitas saber para concluir que $k$ es continua en $x=1$.
5. Sea $f(x)=\dfrac{2x^2-8}{x^2-x-2}$. Halla todas las asíntotas verticales, asíntotas horizontales y discontinuidades removibles.
6. Halla $k$ para que la función dada por $f(x)=x^2+k$ para $x<2$ y $f(x)=3x-1$ para $x\ge 2$ sea continua en $x=2$.

Respuestas.

1. Factoriza: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ para $x\ne3$, por lo que el límite es $6$.
2. $\dfrac{\sin 3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}\to 3\cdot 1 = 3$.
3. Al menos dos. $f$ es continua en $[1,3]$ y $[3,5]$; $f(1)=4>0>-2=f(3)$ y $f(3)=-2<0<6=f(5)$, por lo que, según el teorema del valor intermedio, hay un cero en $(1,3)$ y otro en $(3,5)$.
4. Ambas cotas son iguales a $3$ en $x=1$ (y $x^2+2-(2x+1)=(x-1)^2\ge0$), por lo que, según el teorema del sándwich, $\lim_{x\to1}k(x)=3$. $k$ es continua en $1$ solo si también se cumple $k(1)=3$.
5. $f(x)=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}$. Discontinuidad removible (hueco) en $x=2$, donde el límite es $\tfrac{2\cdot4}{3}=\tfrac83$; asíntota vertical $x=-1$; asíntota horizontal $y=2$ (cociente de los coeficientes principales).
6. El límite por la izquierda $4+k$ debe ser igual a $f(2)=5$, por lo que $k=1$.