Diferenciación: Definición y Propiedades Fundamentales

Comprensión duradera (CHA-2): Las derivadas nos permiten determinar tasas de cambio en un instante aplicando límites al conocimiento sobre tasas de cambio en intervalos.

Objetivo de aprendizaje CHA-2.A: Determinar tasas de cambio promedio utilizando cocientes de diferencias.

• CHA-2.A.1 Los cocientes de diferencias $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ y $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ expresan la tasa de cambio promedio de una función sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-2.B: Representar la derivada de una función como el límite de un cociente de diferencias.

• CHA-2.B.1 La tasa de cambio instantánea de una función en $x=a$ puede expresarse mediante $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ o $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, siempre que el límite exista. Estas son formas equivalentes de la definición de la derivada y se denotan como $f'(a)$.

Comprensión Duradera (CHA-2): Las derivadas nos permiten determinar las tasas de cambio instantáneas aplicando límites al conocimiento sobre las tasas de cambio en intervalos.

Objetivo de Aprendizaje CHA-2.B: Representar la derivada de una función como el límite de un cociente de diferencias.

• CHA-2.B.2 La derivada de $f$ es la función cuyo valor en $x$ es $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, siempre que este límite exista.
• CHA-2.B.3 Para $y=f(x)$, las notaciones para la derivada incluyen $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ y $y'$.
• CHA-2.B.4 La derivada puede representarse gráfica, numéricamente, analítica y verbalmente.

Objetivo de Aprendizaje CHA-2.C: Determinar la ecuación de una recta tangente a una curva en un punto dado.

• CHA-2.C.1 La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

Comprensión duradera (CHA-2): Las derivadas nos permiten determinar tasas de cambio instantáneas aplicando límites al conocimiento sobre las tasas de cambio en intervalos.

Objetivo de aprendizaje CHA-2.D: Estimar derivadas.

• CHA-2.D.1 La derivada en un punto puede estimarse a partir de información proporcionada en tablas o gráficos.
• CHA-2.D.2 Se puede utilizar tecnología para calcular o estimar el valor de la derivada de una función en un punto.

Comprensión duradera (FUN-2): Reconocer que la derivada de una función también puede ser una función nos permite desarrollar conocimiento sobre los comportamientos relacionados de ambas.

Objetivo de aprendizaje FUN-2.A: Explicar la relación entre diferenciabilidad y continuidad.

• FUN-2.A.1 Si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. En particular, si un punto no pertenece al dominio de $f$, entonces tampoco pertenece al dominio de $f'$.
• FUN-2.A.2 Una función continua puede dejar de ser diferenciable en un punto de su dominio.
  • Ejemplos ilustrativos para FUN-2.A.2:
    • Los límites laterales del cociente diferencial no son iguales, como en $f(x)=|x|$ en $x=0$.
    • La recta tangente es vertical y no tiene pendiente, como en $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=0$.

Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar las reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.A: Calcular derivadas de funciones conocidas.

• FUN-3.A.1 La aplicación directa de la definición de derivada y de reglas específicas puede utilizarse para calcular la derivada de funciones de la forma $f(x)=x^{r}$.

Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de Aprendizaje FUN-3.A: Calcular derivadas de funciones familiares.

• FUN-3.A.2 Las sumas, diferencias y múltiplos constantes de funciones pueden derivarse utilizando las reglas de derivación.
• FUN-3.A.3 La regla de la potencia combinada con las propiedades de suma, diferencia y múltiplo constante se puede utilizar para encontrar las derivadas de funciones polinómicas.

Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de Aprendizaje FUN-3.A: Calcular derivadas de funciones conocidas.

• FUN-3.A.4 Pueden utilizarse reglas específicas para encontrar las derivadas de las funciones seno, coseno, exponencial y logarítmica.

Comprensión Duradera (LIM-3): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede emplearse para determinar un límite.

Objetivo de Aprendizaje LIM-3.A: Interpretar un límite como una definición de la derivada.

• LIM-3.A.1 En algunos casos, reconocer una expresión correspondiente a la definición de la derivada de una función cuya derivada se conoce ofrece una estrategia para determinar un límite.

Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de Aprendizaje FUN-3.B: Calcular derivadas de productos y cocientes de funciones diferenciables.

• FUN-3.B.1 Las derivadas de productos de funciones diferenciables se pueden encontrar utilizando la regla del producto.

Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar las reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de Aprendizaje FUN-3.B: Calcular derivadas de productos y cocientes de funciones diferenciables.

• FUN-3.B.2 Las derivadas de cocientes de funciones diferenciables se pueden encontrar utilizando la regla del cociente.

Comprensión perdurable (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.B: Calcular derivadas de productos y cocientes de funciones diferenciables.

• FUN-3.B.3 Reorganizar las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante mediante identidades permite la diferenciación utilizando las reglas de derivación.