Aplicaciones Contextuales de la Diferenciación

Una vez que puedas calcular derivadas, las usas para describir el mundo real. La derivada $f'(x)$ es la tasa de cambio instantánea de $f$ con respecto a su entrada. Leer y reportar esta tasa correctamente es una habilidad evaluada.

Las unidades importan. La unidad de $f'(x)$ es la unidad de $f$ dividida por la unidad de $x$. Si $C(t)$ es un número de acres y $t$ está en semanas, entonces $C'(t)$ está en acres por semana. En el examen, "Interpretar el significado de $g'(140)$ usando unidades correctas" requiere una oración completa: el valor, la cantidad, la palabra de tasa "por", y el momento. Por ejemplo: "$g'(140)=2.3$ significa que en $x=140$, la cantidad está aumentando a razón de aproximadamente $2.3$ unidades por unidad de $x$."

Para una partícula que se mueve sobre una línea, tres funciones del tiempo están vinculadas mediante diferenciación:

• posición $s(t)$;
• velocidad $v(t)=s'(t)$ – con signo; su signo indica la dirección;
• aceleración $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Lecturas clave (partes frecuentes del examen):

• La partícula está en reposo cuando $v(t)=0$.
• Se mueve hacia la derecha/arriba cuando $v(t)>0$ y hacia la izquierda/abajo cuando $v(t)<0$; cambia de dirección donde $v$ cambia de signo.
• La rapidez es $|v(t)|$. La rapidez está aumentando cuando $v$ y $a$ tienen el mismo signo (la partícula acelera), y disminuyendo cuando tienen signos opuestos.

Ejemplo resuelto. Una partícula se mueve con $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Entonces $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, así que está en reposo en $t=1$ y $t=3$, y cambia de dirección en cada uno. En $t=2$, $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (moviéndose a la izquierda) y $a(2)=6(2)-12=0$; justo después, $a>0$ mientras $v<0$, por lo que está desacelerando allí. Distingue cuidadosamente entre velocidad (tiene dirección) y rapidez (no la tiene) – el examen evalúa exactamente esta diferencia.

La misma idea de derivada modela cualquier cantidad cambiante: un tanque que se vacía, una población que se expande, una taza que se enfría. Siempre que un problema diga "la tasa a la que...", está describiendo una derivada. Lee las unidades para saber qué tasa de qué cantidad tienes, luego interpreta en contexto.

En un problema de tasas relacionadas, varias cantidades cambian juntas con el tiempo, y conoces algunas tasas pero quieres otra. El motor es la regla de la cadena: diferencia una relación con respecto al tiempo $t$. Cada variable se convierte en una función de $t$, por lo que cada derivada toma un factor "$\,/\,dt$". También pueden ser necesarias las reglas del producto y del cociente.

Un procedimiento confiable – y una plantilla de crédito completo en el examen:

1. Nombra las variables y escribe las tasas dadas y la tasa desconocida (ej. "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/día, encuentra $\dfrac{dV}{dt}$").
2. Escribe una ecuación que relacione las cantidades (a menudo una fórmula geométrica o de volumen).
3. Diferencia ambos lados con respecto a $t$ (regla de la cadena) – antes de sustituir números.
4. Sustituye los valores conocidos en el instante de interés, y resuelve para la tasa desconocida.
5. Indica la respuesta con unidades y el signo correcto (una cantidad decreciente tiene una tasa negativa).

Ejemplo resuelto. Se inyecta aire en un globo esférico de modo que su volumen crece a $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. ¿A qué ritmo crece el radio cuando $r=5\ \text{cm}$? Comienza con $V=\tfrac43\pi r^3$ y diferencia con respecto a $t$ primero:

Sustituir $r=5$ demasiado pronto es el error clásico – diferencia la relación general, luego sustituye.

Cerca de un punto de tangencia, una curva suave se parece a su recta tangente – esto es linealidad local. Así, la recta tangente proporciona una aproximación lineal (linealización) de la función cerca de ese punto:

Úsala para estimar $f$ en un $x$ cercano a $a$.

Ejemplo resuelto. Estima $\sqrt{4.1}$. Toma $f(x)=\sqrt{x}$ y $a=4$: $f(4)=2$ y $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ así que $f'(4)=\dfrac14$. Entonces $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (el valor verdadero es $2.0248\ldots$). Debido a que $\sqrt{x}$ es cóncava hacia abajo, la tangente queda por encima de la curva, por lo que esto es una ligera sobreestimación – justifica sobre/sub con el signo de $f''$.

Cuando la sustitución directa en un cociente de límites da la forma indeterminada $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$, puedes usar la Regla de L'Hôpital:

siempre que exista el límite del lado derecho. Diferencia el numerador y el denominador por separado (esto no es la regla del cociente), luego intenta el límite nuevamente. Primero confirma que la forma realmente sea $\tfrac{0}{0}$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$ – aplicar la regla a cualquier otra forma es un error.

Ejemplo resuelto. Evalúa $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. La sustitución da $\tfrac00$, así que diferencia arriba y abajo: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – confirmando el famoso límite de la Unidad 1.

• En problemas de movimiento: la velocidad es la derivada de la posición, la aceleración es la derivada de la velocidad; la rapidez aumenta cuando la velocidad y la aceleración comparten un signo.
• Para tasas relacionadas, diferencia la ecuación que relaciona las cantidades con respecto al tiempo, luego sustituye los valores dados al final.
• Usa la recta tangente para una aproximación lineal cerca de un punto conocido; es precisa solo cerca de él.
• Lee el signo de una tasa: positivo significa que las cantidades se mueven juntas, negativo significa opuesto.
• Siempre indica las unidades e interpreta la respuesta en contexto.